Rachunek Prawdopodobie´ nstwa

Rachunek Prawdopodobie´ nstwa

1. Kombinatoryka - zadania na ´ cwiczenia

Zad. 1.1 Ile wynosi suma cyfr wszystkich liczb 9-cio cyfrowych o r´o˙znych niezerowych cyfrach?

Zad. 1.2 W urnie znajduje si¸e 8 ponumerowanych kul. Na ile sposob´ow mo˙zna wylosowa´c z urny 5 kul, losuj¸ac je

a) jednocze´snie gar´sci¸a, b) kolejno bez zwracania, c) kolejno ze zwracaniem?

Zad. 1.3 Na ile sposob´ow mo˙zna podzieli´c 12-osobow¸a grup¸e student´ow na:

a) trzy grupy licz¸ace 5, 4 i 3 student´ow, b) cztery r´ownoliczne grupy?

Zad. 1.4 W szufladzie znajduje si¸e 6 bia lych pi leczek, 3 czerwone i 5 niebieskich.

Opr´o˙zniamy szuflad¸e po kolei wyjmuj¸ac pi leczki. Na ile sposob´ow mo˙zna to zrobi´c tak, aby ostatnia wyj¸eta pi lka by la niebieska?

Zad. 1.5 Obliczy´c liczb¸e wszystkich mo˙zliwych sposob´ow rozmieszczenia k cz¸astek w n rozr´o˙znialnych kom´orkach a₁, . . . , a_n, przy czym dla i = 1, . . . , n wiadome jest,

˙ze kom´orka a_i zawiera dok ladnie k_i cz¸astek, je´sli:

a) cz¸astki s¸a rozr´o˙znialne, b) cz¸astki s¸a nierozr´o˙znialne.

Zad. 1.6 Na ile sposob´ow mo˙zna rozmie´sci´c 20 identycznych kul w pi¸eciu r´o˙znych szufladkach tak, aby w ka˙zdej szufladce by ly przynajmniej dwie kule?

Zad. 1.7 W szufladzie znajduje si¸e 10 par skarpetek. Na ile sposob´ow mo˙zna wyj¸a´c 4 skarpetki tak, aby nie by lo w´sr´od nich ani jednej pary?

Zad. 1.8 Ile jest najkr´otszych dr´og przej´scia kraty wymiaru n x k z lewego dolnego rogu do prawego g´ornego?

Rachunek Prawdopodobie´ nstwa 1. Kombinatoryka - zadania domowe

Zad. 1.1 Ile jest liczb siedmiocyfrowych symetrycznych i parzystych?

Zad. 1.2 Ile spo´sr´od 4-cyfrowych liczb zbudowanych z cyfr 1, 2, . . . , 9, w kt´orych ˙zadna cyfra si¸e nie powtarza, zawiera cyfr¸e 5?

Zad. 1.3 Mamy pi¸eciu m¸e˙zczyzn i dziesi¸e´c kobiet. Ile jest mo˙zliwo´sci podzia lu tych os´ob na pi¸e´c r´ownolicznych grup tak, aby w ka˙zdej z nich znalaz l si¸e jeden m¸e˙zczyzna?

Zad. 1.4 W szufladzie jest 9 kul ponumerowanych od 1 do 9. Losujemy kolejno 2 kule nie zwracaj¸ac ich do szuflady. Z cyfr na wylosowanych kulach tworzymy liczby dwucyfrowe. Ile mo˙zna otrzyma´c liczb o cyfrach nieparzystych?

Zad. 1.5 Na ile sposob´ow mo˙zna przedstawi´c liczb¸e 50 w postaci sumy 4 nieujemnych, ca lkowitych liczb x₁, x₂, x₃, x₄?

Zad. 1.6 W cukierni znajduj¸a si¸e ptysie, eklery, szarlotki, bezy i serniki. Czego jest wi¸ecej: r´o˙znych paczek z lo˙zonych z 10 ciastek wybranych spo´sr´od wymienionych rodzaj´ow, czy r´o˙znych paczek z lo˙zonych z 15 ciastek, ale takich, ˙ze w ka˙zdej paczce znajduje si¸e przynajmniej jedno ciastko ka˙zdego rodzaju?

Zad. 1.7 Na ile sposob´ow mo˙zna podzieli´c 12 p¸aczk´ow mi¸edzy 4 osoby, tak by ka˙zda z nich dosta la przynajmniej jeden?

Zad. 1.8 Mamy 5 rodzaj´ow piernik´ow. Na ile sposob´ow mo˙zna z nich wybra´c 6 piernik´ow?

Zad. 1.9 Ile jest r´o˙znych wynik´ow rzutu a) k nierozr´o˙znialnych ko´sci sze´sciennych?

b) n nierozr´o˙znialnych ko´sci czworo´sciennych?

Zad. 1.10 Ile jest ci¸ag´ow niemalej¸acych o d lugo´sci 7 i wyrazach ze zbioru {1, . . . , 50}, kt´ore na trzecim miejscu maj¸a liczb¸e 20?