probabilistyka matematyka, II stopień lista 7 1. Podać przykład ciągu zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni Ω, zbieżnego według rozkładu, który nie jest zbieżny według prawdopodobieństwa. 2. Wykazać, że jeśli X, X

probabilistyka matematyka, II stopień

lista 7

1. Podać przykład ciągu zmiennych losowych określonych na tej samej przestrzeni Ω, zbieżnego według rozkładu, który nie jest zbieżny według prawdopodobieństwa.

2. Wykazać, że jeśli X, X 1 , X 2 , . . . są zmiennymi losowymi, t.że X n

−→ X, gdzie P (X = c) = 1, D c ∈ R, to X n

−→ c. P

3. Udowodnić, że jeśli X n

−→ X, a, b ∈ R, to aX D n + b −→ aX + b. ^D

4. Niech µ, µ 1 , µ 2 , . . . będą miarami skupionymi na zbiorze liczb całkowitych nieujemnych. Wykazać, że µ _n −→ µ ⇐⇒ ∀ ^s k∈N ∪{0} µ _n ({k}) −→ µ({k})

5. Udowodnić, że jeśli X _n −→ X, Y ^D _n −→ 0, ^D to X _n + Y _n −→ X. ^D 6. Udowodnić, że jeśli X n

−→ X, Y D n

−→ c, D to X n + Y n

−→ X + c. D

7. Podać przykład zmiennych losowych X _n , Y _n , X, Y t.że X _n −→ X ^D oraz Y _n −→ Y, ^D ale nieprawda, że X n + Y n

−→ X + Y. D

8. Udowodnić, że jeśli X n

−→ X, Y D n

−→ 0, D to X n Y n

−→ 0. D

9. Udowodnić, że jeśli X n

−→ X, Y D n

−→ a, D to X n Y n

−→ aX. D

10. (owad i mrówki) Owad składa jaja zgodnie z rozkładem Poissona z parametrem a. W nocy mrówki kradną mu jaja: szansa, że dane jajo zostanie ukradzione, wynosi q. Następnego dnia historia się powtarza (liczba złożonych jaj ma ten sam rozkład, co poprzedniego dnia i jest niezależna od przeszłości), itd. Jaki jest rozkład graniczny liczby jaj ocalonych przed mrówkami?

11. Niech X _n −→ X, ^D lim

n→∞ a _n = a, a - punkt ciągłości dystrybuanty F _X . Udowodnić, że lim _n F _X

(a _n ) = F (a).

12. Dane są dwa ciągi zmiennych losowych (X n ), (Y n ), gdzie X n ∼ Exp( _n ¹ ) natomiast Y n ∼ U [0, _n ¹ ]. Zbadać zbieżność tych ciągów według rozkładu.

13. Dane są dwa ciągi zmiennych losowych (X n ), (Y n ), gdzie X n ∼ Exp( √

n) natomiast P (Y n = 0) = ¹ ₂ + ¹ _n , P (Y n = 1) = ¹ ₂ − _n ¹ . Zbadać zbieżność tych ciągów według rozkładu.

14. Niech (X _n ) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie U [0, 1] oraz Y _n = n · min(X ₁ , . . . , X _n ).

Czy istnieje taka zmienna losowa Y , że Y n

−→ Y ? D