1 Przydatne definicje i pojęcia

Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (dziedzina, wykres, poziomice, granice)

1 Przydatne definicje i pojęcia

Poniżej używać będziemy oznaczeń f : D_f ⊂ Rⁿ → R, mając na myśli funkcję n zmiennych o dziedzinie D_f o wartościach rzeczywistych. Jeśli będziemy omawiać funkcję dwóch zmiennych, to napiszemy f (x, y), dla trzech zmiennych, napiszemy f (x, y, z), a dla n-zmiennych - f (x) = f (x₁, x₂, . . . , x_n).

Definicja 1.1.

Wykresem funkcji f n-zmiennych nazywamy zbiór

(x₁, x₂, . . . x_n, x_n+1)∈Rⁿ⁺¹ : (x₁, x₂, . . . , x_n)∈ D_f, x_n+1= f (x₁, x₂, . . . , x_n)^.

Natomiast poziomicą lub warstwicą wykresu funkcji f odpowiadającą poziomowi h ∈ R nazy- wamy zbiór punktów dziedziny, dla których funkcja f przyjmuje wartość h, czyli

{(x₁, x₂, . . . x_n)∈ D_f : f (x₁, x₂, . . . , x_n) = h} . Definicja 1.2.

Powiemy, że funkcja n zmiennych f jest ograniczona na zbiorze A ∈ D_f, jeśli istnieje taka liczba M > 0, że |f(x)|  M dla każdego x ∈ A.

Definicje funkcji ograniczonej z dołu, ograniczonej z góry są podobne do odpowiednich defi- nicji dla funkcji jednej zmiennej.

Definicja 1.3. (Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie)

Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym zbiorze A ∈ Rⁿ, który ma punkt skupienia x₀. Powiemy, że funkcja f ma w punkcie x₀ granicę właściwą g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu{xm} ⊂ A punktów w przestrzeniRⁿzbieżnego do x₀, otrzymamy lim_m→∞f (x_m) = g.

Granicę tę w R² zapisujemy zazwyczaj jako:

(x,y)→(xlim0,y0)f (x, y) = g, a w R³ - jako

(x,y,z)→(xlim0,y0,z0)f (x, y, z) = g.

Wniosek 1.1.

Z definicji granicy wynika, że funkcja f nie ma granicy w punkcie x₀, jeżeli z sąsiedztwa tego punktu można wybrać dwa różne ciągi punktów {x^_m}, {x^_m} takie, że limm→∞x^_m = lim_m→∞x^_m = x₀, ale lim_m→∞f (x^_m)= limm→∞f (x^_m).

Strona 10

Definicja 1.4. (Cauchy’ego granicy właściwej funkcji w punkcie)

Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym zbiorze A ∈Rⁿ, który ma punkt skupienia x₀. Powiemy, że funkcja f ma w punkcie x₀ granicę właściwą g wtedy i tylko wtedy, gdy

∀ε>0 ∃δ>0 d(x, x₀) < δ =⇒ d(f(x), g) < ε Uwaga 1.

Analogicznie można sformułować definicję granicy niewłaściwej funkcji w punkcie oraz gra- nicy funkcji w przypadku, gdy wszystkie współrzędne punktu (albo niektóre z nich) dążą do nieskończoności.

Uwaga 2.

Działania arytmetyczne na granicach funkcji wielu zmiennych są analogiczne, jak dla funkcji jednej zmiennej.

2 Zadania

1. Wyznaczyć i narysować dziedziny funkcji dwóch (lub trzech) zmiennych:

(i) f (x, y) =√

xsiny, (ii) f (x, y) = arc sin



y−√ x, (iii) f (x, y) = √ ^x2y

x²+y²−25, (iv) f (x, y) = ln_9−x^x2+y₂²_−y⁻⁴₂, (v) f (x, y, z) =√

x +√

y− 1 +√

z− 2, (vi) f(x, y, z) = arc sin(x²+ y²+ z² − 2).

2. Znaleźć poziomice wykresów funkcji dwóch zmiennych i na tej podstawie naszkicować te wykresy:

(i) f (x, y) = 2− x²− y², (ii) f (x, y) = _1+x¹_2+y2, (iii) f (x, y) =−√

9− y², (iv) f (x, y) = 3(x²+ y²), (v) f (x, y) = 6− 3x − 2y, (vi) f(x, y) = 1 −√

2x− x² + 4y− y², (vii) f (x, y) =√

x²+ y², (viii) f (x, y) = siny, (ix) f (x, y) = e^x−y.

3. Zbadać, które z podanych funkcji, są ograniczone, ograniczone z dołu, ograniczone z góry w swoich dziedzinach naturalnych:

(i) f (x, y) = sinx + cosy, (ii) f (x, y, z) = x²+ y⁴, (iii) f (x, y, z) = _x2+y2¹_+z2+4, (iv) f (x, y) = x² + y²− z, (v) f (x, y) = _x2^xy_+y2.

4. Niech f : _R² →R. Zbadać istnienie granicy (wykorzystać definicję Heinego lub Cauchy’ego) lim(x,y)→(0,0)f (x, y) dla:

(i) f (x, y) = x− 2y + 1, (ii) f(x, y) = ^x_y2²+3⁺¹, (iii) f (x, y) = (x² + 6y⁴+ 3)cos(x + y).

5. Korzystając z definicji granicy niewłaśćiwej funkcji, uzasadnić, że (i) lim(x,y)→(0,0) 1

x⁴+y⁴ =∞,

Strona 11

(ii) lim(x,y)→(1,0)ln((x− 1)²+ y²) =−∞.

6. Niech f : R²(R³)\ {Θ} → R. Czy istnieje granica lim_(x,y)→Θf (x, y), lim_(x,y,z)→Θf (x, y, z), jeśli:

(i) f (x, y) = ^x_x³₂^+y_+y³₂, (ii) f (x, y) = _x2^x_+y² ₂, (iii) f (x, y) = _x^x₄²_+y^y2₄, (iv) f (x, y) = _x^x₂²_+y^y2₄, (v) f (x, y) = _x^xy_2+y²₄, (vi) f (x, y) = ^sin(x³+y³)

x²+y² , (vii) f (x, y) = _x2+y¹ ₂, (viii) f (x, y) = ^exp



−_x2+y2¹ 

x⁴+y⁴ , (ix) f (x, y) = ^exp



−_x2+y2¹ 

x⁸+y⁸ , (x) f (x, y) = √ ^x2+y2

x²+y²+1−1, (xi) f (x, y) = (1 + x²· y²)^−x2+y21 , (xii) f (x, y) = _x^x·y_2+y²₂, (xiii) f (x, y) = ^1−cos(x²+y²)

[x²+y²]x²y² , (xiv) f (x, y) = ^sin(x⁴+y⁴)

x²+y² , (xv) f (x, y) =

√x²y²+1−1

x²+y² , (xvi) f (x, y, z) =

√x²y²z²+1−1 x²+y²+z²

(xvii) f (x, y) =











xsiny+ysinx

xy , gdy xy = 0,

sinxx , gdy x= 0, y = 0,

sinyy , gdy x = 0, y= 0.

Strona 12