Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (najmniejsza i największa wartość funkcji na zbiorze)
1 Przydatne definicje i pojęcia
Niech D ⊂Rn będzie niepustym zbiorem.
Definicja 1.1.
Rozważmy funkcję f : D → R. Liczba m jest najmniejszą wartością funkcji f na zbiorze D, jeżeli istnieje punkt a ∈ D taki, że f(a) = m i f(x) f(a) dla każdego x ∈ D. Liczba M jest największą wartością funkcji f na zbiorze D, jeżeli istnieje punkt a ∈ D taki, że f(a) = M i f(x) f(a) dla każdego x ∈ D.
Liczbym i M nazywamy odpowiednio minimum globalnym i maksimum globalnym funkcji f na zbiorze D.
Twierdzenie 1.1.
Jeśli funkcja f : D →R osiąga w punkcie a ∈ IntD wartość największą lub najmniejszą, to ma w tym punkcie maksimum lub minimum lokalne.
Twierdzenie 1.2.
Funkcja ciągła na zbiorze zwartym jest ograniczona i osiąga w tym zbiorze wartość największą i najmniejszą.
2 Zadania
1. Znaleźć najmniejsza i najwi eksz a wartość funkcji f : R2 →R (o ile istnieja ) oraz narysować jej wykres, jeśli:
(i)f(x, y) = (x2+y2)exp(−(x2+y2)), (ii) f(x, y) = (x2+y2+ 1)exp(−(x2 +y2)), (iii) f(x, y) = (x2+y2)exp(4− exp(x2+y2)), (iv) f(x, y) = xy.
2. Znaleźć najmniejsza i najwi eksz a wartość funkcji f : U ⊂ R2 → R lub f : U ⊂ R3 → R na zbiorze D, jeśli:
(i)f(x, y) = x2− xy + y2, D = {(x, y) : |x| + |y| 1}, (ii) f(x, y) = x2− y2, D jest kołem x2 +y2 4,
(iii) f(x, y) = x2+ 2xy − 4x + 8y, D jest obszarem ograniczonym prostymi: x = 0, y = 0, x = 1, y = 2,
(iv) f(x, y) = x2y(4 − x − y), D jest obszarem ograniczonym prostymi: x = 0, y = 0, x + y = 6, (v) f(x, y, z) = (x + y + z)e−(x+2y+3z), D = {(x, y, z) : x 0, y 0, z 0},
(vi) f(x, y, z) = x + y + z, D = {(x, y, z) : x2 +y2 z 1}.
Strona 31
