Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (różniczkowalność funkcji)
1 Przydatne definicje i pojęcia
Definicja 1.1.
Niech funkcja f : D → R, gdzie D ⊂ Rn jest zbiorem niepustym i otwartym. Niech a ∈ IntD.
Powiemy, że f jest różniczkowalna w punkcie a, jeżeli istnieje forma liniowa (odwzorowanie liniowe) F :Rn→Rn taka, że
h→0lim
f(a + h) − f(a) − F (h)
||h|| = 0.
Formę liniową F nazywamy wówczaspochodną f w punkcie a. Będziemy ją oznaczać symbolem f(a) lub Df (a).
Uwaga 1.
Możemy teraz powiedzieć trochę więcej o gradiencie. Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punk- cie a, to istnieje dokładnie jeden wektor v∈Rn, że
f(a)u = u◦ v
dla każdego v∈Rn. Wektor v jest wtedy gradientem funkcji f w punkcie a. Wnioski:
a) jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a, to posiada w tym punkcie gradient ∇f(a);
b) ponieważ mamy wtedy równość f(a)u =∇f(a) ◦ u, to widać, że gradient może posłużyć do wyznaczenia pochodnej funkcji.
Wniosek 1.1. Jeśli funkcja f posiada pochodne cząstkowe w punkcie a, to jest różniczkowalna w tym punkcie, o ile
h→0lim
f(a + h) − f(a) −ni=1∂x∂fi(a)hi
||h|| = 0.
Wtedy Df (a)h =ni=1∂x∂f
i(a)hi dla każdego h∈Rn.
Wniosek 1.2. Jeśli funkcja f posiada pochodną kierunkową w punkcie a w kierunku dowol- nego wektora liniową względem tego kierunku, to jest różniczkowalna w tym punkcie, o ile
limh→0
f(a + h) − f(a) − fh(a)
||h|| = 0.
Wtedy Df (a)h = fh(a) dla każdego h∈Rn.
Twierdzenie 1.1. Warunek konieczny różniczkowalności.
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie a, to jest w tym punkcie ciągła.
Twierdzenie 1.2. Warunek wystarczający różniczkowalności
Jeżeli funkcja f posiada w punkcie a ciągłe pochodne cząstkowe, to jest w tym punkcie różnicz- kowalna i zachodzi równość z wniosku 1.1.
Strona 20
Rozważmy teraz funkcję dwóch zmiennych f : D ⊂ R2 → R różniczkowalną w punkcie (x0, y0)∈ IntD. Z założenia różniczkowalności wynika, że istnieje dokładnie jedna płaszczyzna styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0, y0, z0) dana równaniem:
z − z0 =∇f(a) ◦ (x − x0, y − y0) = ∂f
∂x(x0, y0)(x− x0) + ∂f
∂y(x0, y0)(y− y0).
Uwaga 2.
Reguły różniczkowania i działania algebraiczne na pochodnych funkcji znane dla funkcji jednej zmiennej przenoszą się dla funkcji wielu zmiennych.
Definicja 1.2. Niech funkcja f : D → R, gdzie D ⊂ Rn jest zbiorem niepustym i otwartym.
Powiemy, że funkcja f jest klasy C1(D), jeśli jest różniczkowalna w zbiorze D i wszystkie jej pochodne cząstkowe są funkcjami ciągłymi w D.
2 Zadania
1. Korzystając z definicji zbadać rózniczkowalność podanych funkcji we wskazanych punktach:
(i) f (x, y) = x3+ xy, (x0, y0) = (1,−2) (ii) g(x, y, z) = xysinz, (x0, y0, z0) = (0, 0, π).
2. Zbadać różniczkowalność funkcji f : Rk → R w x0 = Θ oraz wyznaczyć pochodna (o ile istnieje):
(i) f (x) =x ,
(ii) f (x) =x, x, , − iloczyn skalarny w Rk, (iii) f (x, y) =|xy|,
(iv) f (x, y, z) =√
x4+ y4+ z4.
3. Zbadać różniczkowalność funkcji f :R2 →R w punkcie (0,0) (i) f (x, y) =
x3+y3
x2+y2, (x, y) = Θ,
0, (x, y) = Θ, (ii) f (x, y) =
x·y2
x2+y2, (x, y) = Θ, 0, (x, y) = Θ, (iii) f (x, y) =
x3+y6
x2+y4, (x, y) = Θ,
0, (x, y) = Θ, (iv) f (x, y) =
xysinx2+y1 2, (x, y) = Θ,
0, (x, y) = Θ.
(v) f (x, y) =
xy2
x2+y2 dla x2+ y2 > 0,
0 dla x2+ y2 = 0, (vi) f (x, y) =
x2y2
x2+y2 dla x2+ y2 > 0, 0 dla x2+ y2 = 0, (vii) f (x, y) =
x2y3
x4+y4 dla x2+ y2 > 0,
0 dla x2+ y2 = 0, (viii) f (x, y) =
x + y + x4x+y3y2 dla x2+ y2 > 0, 0 dla x2+ y2 = 0.
4. Czy istnieje funkcja f :R2 →R taka, że (i) f jest ciagła w punkcie x 0,
(ii) ∂f∂x i ∂f∂y istnieja w tym punkcie, (iii) Df nie istnieje w tym punkcie?
5. Czy istnieje funkcja f :R2 →R taka, że
Strona 21
(i) f jest ciagła w punkcie x 0,
(ii) pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie x0 istnieje we wszystkich kierunkach, (iii) Df nie istnieje?
6. Zbadać, czy odwzorowanie f jest klasy C1. (i) f (x, y) = xsin√
x2+ y2, (ii) f (x, y) = xcos√
x2+ y2, (iii) f (x) =
x2sinx1 , x = Θ, x ∈Rk.
0, x = Θ.
7. Uzasadnić, że podane funkcje są różniczkowalne w swoich dziedzinach (wyznaczyć te dzie- dziny):
(i) f (x, y) = arctg (x + y), (ii) f (x, y, z) = x2+sinx32+yy+z2+2.
8. Napisać równania płaszczyzn stycznych do wykresów funkcji we wskazanych punktach:
(i) f (x, y) = arctgx1+y2 , (x0, y0, z0) = (1, 0,π4).
(ii) f (x, y) = xy, (x0, y0, z0) = (2, 4, 16).
9. Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni z = x4− 3y2, która jest równoległa do płaszczyzny 4x + 12y− z − 5 = 0.
Strona 22
