Przestrzenie Banacha
1. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej każdy zbiór domkniety i ograniczony jest zwarty. Ale w przestrzeni X nieskończenie wymiarowej domknieta kula ¯ B nie jest zbiorem zwartym, tzn. istnieja ci agi z tej kuli, z których nie można wybrać żadnego podci agu zbieżnego. Udowodnić ten fakt dla kuli o środku Θ ∈ X i promieniu 1 w nastepuj acych przykładach przestrzeni X:
(i) X - przestrzeń wszystkich ciagów nieskończonych o wyrazach z R (wsk. wybrać ciag ci agów zero-jedynkowych (ekn)∞n=1).
(ii) X = l1 - przestrzeń wszystkich ciagów sumowalnych o wyrazach z R (wsk. wybrać ciag ciagów zero-jedynkowych (e kn)∞n=1).
(iii) X = C ([0, 1]) o wartościach z R(wsk. wybrać ciag funkcji (f n)∞n=1 takich, że fn(t) = tn dla t ∈ [0, 1]).
(iv) X = L (0, 1) (wsk. wybrać ciag funkcji (f n)∞n=1 takich, że fn(t) = χ[0,1n](t) · n, gdzie
χ[0,n1](t) =
1, gdy t ∈ 0,n1, 0, gdy t ∈ n1, 1 jest tzw. funkcja charakterystyczn a przedziału).
2. Udowodnić, że przestrzeń lpn, 1 p < ∞ jest ośrodkowa. Przykładem zbioru przeliczal- nego gestego w tej przestrzeni jest zbiór wszystkich wektorów o współrz ednych wymiernych lub zespolonych wymiernych (liczbe zespolon a z nazywamy wymiern a, gdy jej cz eść rzeczywista i urojona sa liczbami wymiernymi).
3. Udowodnić, że przestrzeń c0 jest ośrodkowa. Przykładem zbioru przeliczalnego gestego w tej przestrzeni jest zbiór wszystkich ciagów typu skończonego o wyrazach wymiernych lub ze- spolonych wymiernych.
4. Udowodnić, że przestrzeń c jest ośrodkowa. Przykładem zbioru przeliczalnego gestego w tej przestrzeni jest zbiór wszystkich ciagów prawie stałych o wyrazach wymiernych lub zespolonych wymiernych (ciag (x k)∞k=1 jest prawie stały, jeśli jest stały od pewnego miejsca, tzn. istnieje k0
takie, że xk0 = xk0+1 = xk0+2 = . . . ).
5. Wykazać, że przestrzeń C (Ω) , Ω ⊂Rn− zwarty, jest ośrodkowa. Przykładem zbioru przeli- czalnego gestego w tej przestrzeni jest zbiór wszystkich wielomianów n zmiennych o współczyn- nikach wymiernych (lub zespolonych wymiernych).
6. Wykazać, że przestrzeń Ck([a, b]) jest ośrodkowa. Przykładem zbioru przeliczalnego gestego w tej przestrzeni jest zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach wymiernych (lub zespo- lonych wymiernych).
Arkusz 8
7. Pokazać, że funkcje przedziałami liniowe tworza zbiór g esty w przestrzeni C ([a, b]) (funkcj e f : [a, b] → Rnazywamy przedziałami liniowa albo łaman a, gdy [a, b] można podzielić na skoń- czenie wiele mniejszych odcinków tak, aby f była liniowa na każdym z nich z osobna).
8. Niech BC(R) oznacza przestrzeń funkcji ciagłych i ograniczonych na prostej, z norm a:
f = sup
t∈R |f(t)|.
Wykazać, że przestrzeń ta nie jest ośrodkowa.
9. Niech C0(R) oznacza przestrzeń funkcji ciagłych f : R → K takich, że limt→±∞f (t) = 0, z norma jak w poprzednim zadaniu. Pokazać, że C 0(R)⊂ BC(R) oraz, że jest ośrodkowa.
10. Wkazać że nastepuj ace przestrzenie s a zupełne ( a ponieważ wiadomo, że s a liniowe i unor- mowane, wiec s a przestrzeniami Banacha):
(i) lpn, 1 p < ∞, (ii) l∞n ,
(iii) c0, (iv) Ck([a, b]) .
11. Niech t0 ∈ [a, b] ⊂ R. Wykazać, że przestrzeń {f ∈ C ([a, b]) : f (t0) = 0} jest podprze- strzenia wektorow a domkni et a przestrzeni C ([a, b]), a wi ec jest przestrzeni a Banacha.
12. Niech Ω = ∅, oznaczmy przez B(Ω) przestrzeń wszystkich funkcji ograniczonych na Ω o wartościach w K, a przez BC(Ω) przestrzeń wszystkich funkcji ograniczonych i ciagłych, z norma
f = sup
t∈Ω |f(t)|.
Pokazać, że sa to przestrzenie Banacha.
13. Udowodnić, że przestrzeń Lip[a, b]- przestrzeń funkcji spełniajacych warunek Lipschitza, z norma
f = sup
t=s
|f(t) − f(s)
|t − s| + sup
t |f(t)|
jest przestrzenia Banacha.
14. Udowodnić, że przestrzeń C1([a, b]) , gdzie ||f || = max (sup |f (t)|, sup |f(t)|) jest prze- strzenia Banacha.
15. Wykazać, że przestrzeń C ([a, b]) z norma
f1 =
b
a |f(t)| dt nie jest przestrzenia Banacha.
Arkusz 9
