V.1 Nierelatywistyczny pęd. Moment pędu

(1)

V.1 Nierelatywistyczny pęd. Moment pędu

(2)

r. akad. 2005/ 2006

Definicja wektora pędu. Prawo zachowania pędu

Dla cząstki o masie m_i i prędkości v_i definiujemy (nierelatywistyczny) wektor pędu p_i jako:

Dla układu N cząstek pęd całkowity P to:

Jeżeli wypadkowa siła działająca na te ciała znika to spełnione jest prawo zachowania pędu:

Mamy wtedy do czynienia z układem izolowanym N ciał.

i i i

p G = m v G

N

i

i 1

P p

=

= ∑

G G

i

dP dp

F 0 czyli P=const dt = ∑ dt = ∑ =

G G G G JJJJJJG

(3)

Moment pędu

Moment pędu określamy zawsze względem pewnego wyróżnionego punktu, najczęściej początku układu

współrzędnych 0. Dla jednej cząstki i układu N cząstek będzie to:

Zmiana wektora momentu pędu jest związana z momentem siły:

i i i

L r p

L L r p

= ×

= ∑ = ∑ × G G G

G G G G

i i

i i i i i i

i

dL dp

v p r r F M

dt dt

dL M

dt

= × + × = × =

= ∑

G G G G G G G G

JG JJJG

0 p G

r G

L G

(4)

r. akad. 2005/ 2006

Składowe wektora momentu pędu

We współrzędnych cylindrycznych:

x z y

y x z

z y x

L yp zp

L zp xp

L xp yp

⎛ − ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ − ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 r G ^v

G φ

L G

2 2

L mr v

L mr d mr dt

= ×

φ

= φ = φ

G G G

Ruch w płaszczyźnie XOY

(5)

Zachowanie momentu pędu cząstki

Ponieważ:

moment pędu jest zachowany gdy znika moment siły działającej na ciało. Zachodzi to w dwóch przypadkach:

1. Dla cząstki swobodnej gdy na ciało nie działa siła wypadkowa.

2. Gdy siła jest zawsze równoległa do promienia wodzącego. Ma to miejsce mi. dla sił centralnych:

Gdy moment pędu jest zachowany ruch jest płaski, odbywa się po płaszczyźnie prostopadłej do wektora momentu pędu.

dL M dt =

G G

( ) ( ) ^ˆ

_r

F r G G = F r e

Ruch w polu sił centralnych jest płaski

(6)

r. akad. 2005/ 2006

Siła powszechnego ciążenia Newtona

Siła grawitacji działająca na ciało 2 ze strony ciała 1:

r 1

G

r 2 12 G

r G

F G

12

1 12 2

r + r = r

G G G

F G

21

0 m

₁

m

₂

1 2 12

21 2

12 12

Gm m r F = − r r

G G

12 21

F G = − F G

(7)

Siła kulombowska

Siła działająca na ładunek Q₂ ze strony ładunku Q₁:

1 2 12

21 2

0 12 12

1 Q Q r F = 4 r r

πε G G

r 1

G

r 2 12 G

r G

F G

12

1 12 2

r + r = r

G G G

F G

21

0 Q

₁

Q

₂

12 21

F G = − F G

(8)

r. akad. 2005/ 2006

W polu sił centralnych prędkość polowa jest zachowana

Pole trójkąta AOB w pł. ruchu:

Stąd prędkość polowa dA/dt:

Wstawiając wyrażenie na

wartość momentu pędu z tr. 4:

Przykład: w polu grawitacyjnym Słońca prędkość polowa planety jest stała (I prawo Keplera)

V.1 Nierelatywistyczny pęd. Moment pędu