Zadania z teorii pola I (zestaw 12 - środa, 12.01.2011) 63. Proszę znaleźć tensor momentu pędu dla pola skalarnego z lagranżjanem

(1)

Zadania z teorii pola I (zestaw 12 - środa, 12.01.2011)

63. Proszę znaleźć tensor momentu pędu dla pola skalarnego z lagranżjanem 𝐿 = − 1

2 ∂

𝜇

𝜙∂

^𝜇

𝜙 − 𝑉 (𝜙) .

64. Lagranżjan pola skalarnego 𝜙(𝑡, 𝑥) w 1 + 1 wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego ma postać

𝐿 = 1

2 ( ˙ 𝜙

²

− 𝜙

^{′ 2}

) − 𝑉 (𝜙) . (a) Wyprowadzić równania ruchu

(b) Pokazać, że całkowita energia 𝐸 =

∫

^∞

−∞

[ 1

2 ( ˙ 𝜙

²

+ 𝜙

^{′ 2}

) + 𝑉 (𝜙) ]

𝑑𝑥

jest zachowana w trakcie ewolucji z danych początkowych o zwartym nośniku.

(c) Założyć, że 𝑉 =

¹₂

𝜆(𝜙

²

− 𝑎

²

)

²

, gdzie 𝑎 i 𝜆 są dodatnimi stałymi. Pokazać, że jeśli 𝜙 nie zależy od czasu i 𝜙(∞) = −𝜙(−∞)) = 𝑎, to 𝐸 ≥

⁴3

√ 𝜆𝑎

³

. (d) Pokazać, że kink 𝜙

𝐾

(𝑥) = 𝑎 tanh( √

𝜆𝑥) jest statycznym rozwiązaniem z energią 𝐸(𝜙

𝐾

) =

⁴₃

√

𝜆𝑎

³

(e) Zbadać liniową stabilność rozwiązania 𝜙

𝐾

(𝑥). W tym celu podstawić 𝜙(𝑡, 𝑥) = 𝜙

𝐾

(𝑥) + 𝑣(𝑡, 𝑥) do równania ruchu i wyprowadzić równanie ruchu dla perturbacji 𝑣(𝑡, 𝑥) zanied- bując wyrazy 𝑂(𝑣

²

). Zakładając, że 𝑣(𝑡, 𝑥) = 𝑒

⁻^𝑖𝜔𝑡

𝑢(𝑥), sprowadzić to równanie do stacjonarnego równania Schr¨odingera i rozwiązać to równanie. Dla uproszczenia rachunków przyjąć, że numerycznie 𝜆 = 1 oraz 𝑎 = 1. Dlaczego taki wybór nie ogranicza ogólności problemu?

65. Rozważyć teorię rzeczywistego pola skalarnego w 1 + 1 wymiarach opisaną lagranżjanem 𝐿 = 1

2 ( ˙𝜙

²

− 𝜙

^′2

)

− (𝜙

²

− 1)

²

, gdzie wymiar przestrzenny jest okręgiem o długości 2𝜋𝐿.

(a) Policzyć energię wzdłuż krzywej 𝜙(𝑥, 𝜇) = 1−2𝜇 (0 ≤ 𝜇 ≤ 1), która łączy dwa rozwiązania próżniowe 𝜙 = 1 i 𝜙 = −1 i pokazać, że energia osiąga maksimum dla 𝜙 = 0 (𝜇 = 1/2).

(b) Znaleźć spektrum małych zaburzeń wokół rozwiązania 𝜙 = 0.

66. Rozważyć teorię zespolonego pola skalarnego w 1 + 1 wymiarach opisaną lagranżjanem 𝐿 = 1

Zadania z teorii pola I (zestaw 12 - środa, 12.01.2011) 63. Proszę znaleźć tensor momentu pędu dla pola skalarnego z lagranżjanem