Cwiczenia nr 14, GAL I.2, 2.6.2020 Przekształcenia afiniczne II
Zadanie 1. Oblicz kąt pomiędzy płaszczyznami M1 : x1+ x2 = 5, M2 : x2+ x3 = 7, M1, M2 ⊂ R3.
Zadanie 2. Znajdź kąt pomiędzy prostą k : (1, 0, 1)+lin{[0, 1, 1]}, a płaszczyzną M : x1+x2 = 3.
Zadanie 3. Wykaż, że w każdym trapezie o nierównoległych ramionach punkt przecięcia ich przedłużeń, punkt przecięcia przekątnych i środki podstaw leżą na jednej prostej.
Zadanie 4. Niech
(a) f (x, y) = (1 + 35x −45y,45x + 35y);
(b) f (x, y) = (1 + 35x +45y,45x − 35y).
Wykaż, że f jest izometrią i opisz jej typ (obrót, symetria, symetria z poślizgiem).
Zadanie 5. Wyznacz odległość punktu p od płaszczyzny π, jeśli (a) p = (1, 0, 1), π = af{(2, 2, 3), (4, 2, 7), (2, 4, 9)};
(b) p = (4, 1, −4, −5), π = (3, −2, 1, 5) + lin{(2, 3, −2, −2), (4, 1, 3, 2)};
(c) p = (2, 1, −3, 4), π = {2x1− 4x2− 8x3+ 13x4 = −19, x1+ x2− x3+ 2x4 = 1}.
Zadanie 6. Niech A = (1, 1, 1), B = (8, 5, 5), D = (10, 7, 3), A1 = (2, 5, 9), C = B + D − 2A. (a) Znajdź pozostałe trzy wierzchołki równoległościanu ABCDA1B1C1D1, (b) pole równoległoboku ABCD, (c) równanie płaszczyzny A1B1C1, (d) objętość równoległościanu ABCDA1B1C1D1, (e) kosinus kąta między prostymi AD i AA1, (f) odległość między prostymi AC1, B1D1.
Zadanie 7. Niech H = (1, −1, 0, 0) + lin{(1, 1, −1, 1), (1, 2, 1, 2)}. Znajdź wzory na rzut pro- stopadły na H oraz symetrię prostopadłą względem H.
Zadanie 8. Niech M = {x1+ x2− 2x3 = −2} i l = (1, 1, 2) + lin{[1, 1, 1]}.
(a) Niech f : R3 → R3 będzie taką izometrią afinicznej przestrzeni euklidesowej, że f (1, 1, −1) = (−1, −1, 3), f (p) = p dla każdego p ∈ M . Oblicz f (3, 1, 0).
(b) Ile jest izometrii f : R3 → R3 takich, że f (p) = p dla każdego p ∈ l oraz f (q) ∈ M dla każdego q ∈ M .
Zadanie 9. Czy w przestrzeni euklidesowej istnieje układ punktów p1, p2, p3, p4, p5, dla którego macierz
0 1 2 2 2√
2
1 0 √
5 √
5 3
2 √
5 0 2√
2 2
2 √
5 2√
2 0 2√
3 2√
2 3 2 2√
3 0
jest macierzą odległości ρ(pi, pj)? Jaki jest najmniejszy wymiar przestrzeni, dla której taki układ istnieje?
Zadanie 10. Znajdź odległość wielomianu xn od podprzestrzeni wielomianów stopnia mniej- szego niż n, jeśli iloczyn skalarny w przestrzeni wielomianów dany jest wzorem hf, gi =
R1
−1f (x)g(x)dx..
Zadanie 11. Niech p = (1, 2, 0, 0), l = p + lin{[1, −1, 2, 1]}, zaś π = {x1 + x2 + x3 + x4 = 4, x1+ x2− x3− x4 = −2}.
(a) Znajdź odległość między prostą l, a płaszczyzną π.
(b) Opisz obraz l w symetrii S względem płaszczyzny π.
(c) Znajdź odległość pomiędzy prostą l, a jej obrazem S(l).
(d) Niech p0 = Sπ(p). Czy prosta af{p, p0} ma punkt wspólny z płaszczyzną π?
Zadanie 12. Niech l1 = (1, 2, 3) + lin{[1, 0, 2]}, l2 = (0, 0, 7) + lin{[0, 1, 3]}.
(a) Znajdź odległość między tymi prostymi.
(b) Napisz wzór i macierz symetrii S względem prostej l2. (c) Opisz obraz l1 w symetrii S.
Zadanie 13. Punkty K, L, M leżą odpowiednio na bokach AB, BC, CD równoległoboku ABCD, przy czym
AK
KB = BL
LC = CM M D.
Proste b, c, d przechodzą odpowiednio przez punkty B, C, D oraz są równoległe odpowied- nio do prostych KL, KM , LM . Udowodnij, że proste b, c, d przecinają się w jednym punkcie.
Zadanie 14. Niech
M =
3 −2 |1 2 −2 |1 0 0 |1
będzie macierzą przekształcenia afinicznego. Opisz wszystkie podprzestrzenie afiniczne H ⊂ R2 spełniające f (H) = H.
Zadanie 15. Udowodnij, że na każdym czworokącie wypukłym można opisać elipsę.
2
