Zadania do wyk ladu ,,Wnioskowanie statystyczne”
dla IV roku matematyki, specjalno´sci zastosowania rach, prob i stat. r.a.
2010/2011 Lista nr 2
1. Niech zbi´or Θ = {θ1, θ2, . . . , θk}. W´owczas zbi´or
S = {y = (y1, y2, . . . , yk)0 : yi = R∗(θi, δ), i = 1, 2, . . . , k; δ ∈ D∗} nazywa sie
‘ zbiorem ryzyka zrandomizowanego.
Udowodni´c, ˙ze zbi´or S jest wypuk lym podzbiorem przestrzeni Rk. 2. Zbi´or S nazywa sie
‘ zbiorem ograniczonym od do lu, gdy istnieje liczba M taka, ˙ze dla ka˙zdego y ∈ A, yi > M , i = 1, 2, . . . , k.
Niech x = (x1, x2, . . . , xk)0 ∈ Rk i Qx = {y : yi ≤ xi, i = 1, 2, . . . , k} ⊂ Rk. Punkt x nazywa sie
‘ dolnym granicznym punktem zbioru wypuklego S ⊂ Rk, gdy Qx ∩ Sc = {x}, gdzie Sc oznacza domknie
‘cie zbioru S. Zbi´or wszystkich dolnych punkt´ow granicznych zbioru S oznaczmy przez λ(S). Wypuk ly zbi´or S ⊂ Rk nazywa sie
‘ zbiorem domknie
‘tym od do lu, gdy λ(S) ∈ S. Udowodni´c naste
‘puja
‘ce twierdzenie.
Twierdzenie. Je˙zeli dla gry statystycznej hΘ, D∗, R∗i, gdzie Θ = {θ1, θ2, . . . , θk}, zbi´or ryzyka S jest ograniczony od do lu, to
δ∈Dinf∗ sup
τ ∈Θ∗
r(τ, δ) = sup
τ ∈Θ∗
δ∈Dinf∗r(τ, δ) = V
i istnieje rozk lad najmniej korzystny τ0. Je˙zeli ponadto S jest zbiorem domknie
‘tym od do lu, to istnieje minimaksowa regu la decyzyjna δ0, kt´ora jest bayesowska ze wzgle
‘du na rozk lad a priori τ0.
3. Niech zbi´or Θ = {θ1, θ2}. W´owczas zbi´or ryzyka zrandomizowanego S = {y = (y1, y2)0 : yi = R∗(θi, δ), i = 1, 2; δ ∈ D∗} jest wypuk lym podzbiorem p laszczyzny R2 i ka˙zda
‘regu le
‘ decyzyjna
‘δ ∈ D∗ mo˙zna uto˙z- samia´c z punktem zbioru S. Rozk lad a priori τ jest wtedy zadany w postaci wektora p = (p1, p2)0, gdzie pi = τ ({θi}), pi ≥ 0, p1+ p2 = 1
(a) Poda´c w uk ladzie wsp´o lrze
‘dnych prostoka
‘tnych (y1, y2) na p laszczy´znie R2geomet- ryczna
‘interpretacje
‘ regu ly bayesowskiej i ε-bayesowskiej ze wzgle
‘du na rozk lad a priori τ .
(b) Poda´c geometryczna
‘interpretacje
‘regu ly minimaksowej, ε-minimaksowej oraz roz- k ladu najmniej korzystnego.
4. Udowodni´c lemat: Je˙zeli C jest klasa
‘ zupe lna
‘, to klasa C zawiera wszystkie regu ly dopuszczalne.
5. Udowodni´c lemat: Je˙zeli C ⊂ D∗ jest klasa
‘ istotnie zupe lna
‘ i istnieje regu la do-
puszczalna δ 6∈ C, to istnieje regu la δ0 ∈ C r´ownowa˙zna regule δ.
6. Udowodni´c twierdzenie: Je˙zeli klasa regu l dopuszczalnych jest zupe lna, to jest ona minimalna
‘ klasa
‘ zupe lna
‘.
7. Pokaza´c, ˙ze ka˙zda klasa zupe lna regu l decyzyjnych jest istotnie zupe lna.
8. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli C jest klasa‘zupe lna‘regu l decyzyjnych i nie zawiera w la´sciwej podklasy istotnie zupe lnej, to C jest minimalna
‘klasa
‘zupe lna
‘i minimalna
‘klasa
‘istotnie zupe lna
‘.
9. Udowodni´c, ˙ze je˙zeli ka˙zda niezrandomizowana niezmiennicza regu la decyzyjna ma sta le ryzyko, to klasa niezrandomizowanych niezmienniczych regu l decyzyjnych tworzy podklase
‘ istotnie zupe lna
‘w klasie wszystkich zrandomizowanych niezmienniczych regu l decyzyjnych.
10. Niech A be
‘dzie wypuk lym podzbiorem przestrzeni Rk i niech L : A → R be
‘dzie funkcja
‘wypuk la
‘. Wykaza´c, ˙ze istnieja
‘ε > 0 i c takie, ˙ze L(a) ≥ ε||a|| + c wtedy i tylko wtedy, gdy lim||a||→∞L(a) = ∞.
11. Przypu´s´cmy, ˙ze Θ = A = (0, ∞) i L(θ, a) = e−θa. Niech P be
‘dzie rozk ladem pewnej zmiennej losowej Z przyjmuja
‘cej warto´sci dodatnie, przy czym E(Z) = ∞. Je˙zeli L∗(θ, P ) = E[L(h, Z)] jest sko´nczone, to mo˙zemy przyja
‘´c, ˙ze P ∈ A∗. Wykaza´c, ˙ze nie istnieje a ∈ A, dla kt´orego L∗(θ, a) ≤ L∗(θ, P ) dla ka˙zdego θ ∈ Θ.
12. Niech Θ = A = [0, 1] i L(θ, a) = (θ − a)2. Przypu´s´cmy, ˙ze obserwowalna zmienna losowa X ma rozk lad dwumianowy b(2, θ), θ ∈ Θ. Znale´z´c niezrandomizowana
‘ regu le decyzyjna ‘
‘d, kt´ora ma mniejsze ryzyko ni˙z zrandomizowana regu la δ ∈ D, wybieraja
‘ca regu ly decycyjne d1(x) = x/2 oraz d2(x) = 1/2 z jednakowym prawdopodobie´nstwem 1/2.
Znale´z´c funkcje ryzyka R(θ, d) i R∗(θ, δ).
13. Niech X be
‘dzie pr´oba
‘ rozmiaru n z rozk ladu normalnego N(θ, 1), Θ = A = R, a funkcja straty L(θ, a) niech be‘dzie wypuk la‘ funkcja‘ zmiennej a ∈ A dla ka˙zdego θ ∈ Θ. Rozpatrzmy regu le
‘ decyzyjna
‘ d(X) = Z1/2,n, mediane
‘ pr´obkowa
‘ z pr´oby X.
Korzystaja
‘c z twierdzenia Blackwella-Rao znale´z´c regu le
‘ lepsza
‘, oparta
‘ na minimalnej statystyce dostatecznej.
14. Niech X be
‘dzie pr´oba
‘ rozmiaru n z rozk ladu jednostajnego U(α, β), α, β ∈ R, α < β. Niech θ = (α+β)/2, Θ = A = R, a funkcja straty be
‘dzie postaci L(θ, a) = (θ−a)2. Rozpatrzmy regu le
‘decyzyjna
‘d(X) = X. Wykaza´c, ˙ze E(X|X1:n, Xn:n) jest regu la
‘lepsza ni˙z X i ‘
E(X|X1:n, Xn:n) = X1:n+ Xn:n
2 .
St10lista2.tex
24.10.2010 r. J. Bartoszewicz
