Egzamin ze Wste,pu do matematyki cze,´s´c 2 (tre´s´c zada´n)
28 stycznia 2009 r.
Zadanie 1.
Zdefiniujmy funkcje,f : R × R → R wzorem
f (x, y) = x · y dla x, y ∈ R.
(a) Niech A = [−1, 2) × [−2, −1). Wyznacz zbi´or f [A] (obraz zbioru A wzgle,dem funkcji f ).
(b) Niech B = {6}. Wyznacz zbi´or f−1[B] ∩ (N × N) (f−1[B] oznacza przeciwobraz zbioru B wzgle,dem funkcji f ).
Zadanie 2.
Niech
An=n
x ∈ R : 2 + (−1)n+1+(−1)n
n + 1 < x < 8 + (−1)n+1+(−1)n n + 1
o. Wyznacz zbiory:
(a) S
n∈N
An, (b) T
n∈N
An. Zadanie 3.
Znajd´z moce naste,puja,cych zbior´ow cia,g´ow o wyrazach wymiernych:
(a) n
hanin∈N∈ QN: ∀n ∈ N an+ an+1= an+2
o , (b) n
hanin∈N∈ QN: ∀n ∈ N an∈ N ∧ |an− an+1| = an+2
o . Zadanie 4.
Znajd´z moce naste,puja,cych zbior´ow cia,g´ow, kt´orych wyrazami sa,podzbiory zbioru liczb naturalnych:
(a) n
hAnin∈N∈ P(N)N: ∀n ∈ N
|An| < |N| ∧
|An| − |An+1|
< 2009n+1o , (b) n
hAnin∈N∈ P(N)N: ∀n ∈ N
|An| < |N| ∧ |An .
An+1| < 2009n+1o . (A . B to r´o˙znica symetryczna zbior´ow A i B).
Zadanie 5.
Okre´slamy relacje,r´ownowa˙zno´sci ≡ w zbiorze P(Z) w naste,puja,cy spos´ob:
A ≡ B ⇔ |A ∩ N| = |B ∩ N| ∧ |A \ N| = |B \ N|.
Czy istnieje zbi´or A ⊆ Z, kt´orego klasa abstrakcji:
(a) jest przeliczalna?
(b) ma moc continuum?
W ka˙zdym z przypadk´ow zaznacz w la´sciwa,odpowied´z i podaj przyk lad takiego zbioru A, je´sli on istnieje.
Zadanie 6.
Definiujemy liniowy porza,dek w zbiorze Z, w naste,puja,cy spos´ob:
k m ⇐⇒ hk2, ki ≤lekshm2, mi.
Rozstrzygnij, czy naste,puja,ce zbiory liniowo uporza,dkowane sa,izomorficzne:
(a) hZ, i oraz hN, ≤i,
(b) hZ, i oraz h{0, 1} × N, ≤leksi.
(≤leksoznacza porza,dek leksykograficzny: hi, ji ≤lekshk, li ⇔ i < k ∨ (i = k ∧ j ≤ l); ≤ oznacza zwyk ly porza,dek w zbiorze liczb ca lkowitych).
Prosimy o podanie odpowiedzi na za la,czonym arkuszu odpowiedzi, kt´ory powinien zosta´c czytelnie podpisany.
Zyczymy powodzenia!˙
