14.1. Granice funkcji

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Biotechnologia

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany

14. Granica funkcji

14.1. Granice funkcji

14.1.1. Podstawowe definicje Punkt skupienia

Punkt x

∈ R nazywamy punktem skupienia zbioru D ⊂ R, jeśli

∀

∃

|x − x

| < δ Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy symbolem D

. Warunek Heinego granicy funkcji

Niech f : D → R oraz x

∈ D

. Mówimy wówczas, że f (x) zmierza do g przy x zbieżnym do x

wtedy i tylko wtedy, gdy

x

lim

f (x) = g ⇐⇒ ∀

(

x

→ x

= ⇒ f(x

) → g

. Warunek Cauchy’ego granicy funkcji

Niech f : D → R oraz x

∈ D

. Wtedy:

x→x

lim

f (x) = g ⇐⇒ ∀

∃

∀

x̸=x0

|x − x

| < δ =⇒ |f(x) − g| < ε.

Uwaga

1. Obie definicje są równoważne.

2. Granica funkcji jest jedyna.

14.1.2. Własności granic

Niech f, g : D → R, D ⊂ R oraz x

∈ D

. Niech również lim

x→x0

f (x) = a, lim

x→x0

g(x) = b, a, b ∈ R.

Wtedy:

(a) lim

x→x0

(f (x) ± g(x)) = a ± b, (b) lim

x→x⁰

λf (x) = λ a dla λ ∈ R, (c) lim

x→x⁰

f (x) · g(x) = a b, (d) jeśli b ̸= 0, to lim

0

f (x) g(x)

=

. Twierdzenie o trzech funkcjach

Niech f, g, h : D → R, D ⊂ R, x

∈ D

oraz w pewnym otoczeniu punktu x

dla x ̸= x

zachodzi zależność f (x) 6 g(x) 6 h(x) (tzn. istnieje ε > 0 takie, że jeśli x ̸= x

oraz |x − x

| < ε, to f (x) 6 g(x) 6 h(x)). Jeśli lim

0

f (x) = a = lim

x→x0

h(x), to lim

x→x0

g(x) istnieje oraz lim

x→x0

g(x) = a.

14.1.3. Granice jednostronne Definicje

lim

x→x⁻0

f (x) = g ⇐⇒ ∀

∃

∀

x<x0

|x − x

| < δ =⇒ |f(x) − g| < ε.

lim

x→x⁺₀

f (x) = g ⇐⇒ ∀

∃

∀

x>x0

|x − x

| < δ =⇒ |f(x) − g| < ε.

Twierdzenie

Niech x

∈ (a, b) oraz f : (a, b) \ {x

} → R. Wtedy granica lim

0

f (x) = g wtedy i tylko wtedy, gdy lim

x→x⁺₀

f (x) = g = lim

x→x⁻₀

f (x).

14.1.4. Granice równe nieskończoność Definicja

Niech f : D → R, D ⊂ R, x

∈ D

. Wtedy:

(a) lim

x→x⁰

f (x) = +∞, jeśli ∀

∃

∀

x̸=x0

|x − x

| < δ =⇒ f(x) > K, (b) lim

x→x0

f (x) = −∞, jeśli ∀

∃

∀

x̸=x0

|x − x

| < δ =⇒ f(x) < K.

14.1.5. Granice w nieskończoności Definicja

Niech f : D → R, D ⊂ R.

(a) Załóżmy, że dla dowolnego M mamy (M, + ∞) ∩ D ̸= ∅. Wtedy:

x→+∞

lim f (x) = g, jeśli ∀

∃

∀

x > K = ⇒ |f(x) − g| < ε.

(b) Załóżmy, że dla dowolnego M mamy ( −∞, M) ∩ D ̸= ∅. Wtedy:

x→−∞

lim f (x) = g, jeśli ∀

∃

∀

x < K = ⇒ |f(x) − g| < ε.

Definicja

Niech f : D → R, D ⊂ R. Załóżmy, że dla dowolnego M zachodzi (M, +∞) ∩ D ̸= ∅. Wtedy:

(a) lim

x→+∞

f (x) = + ∞, jeśli ∀

∃

∀

x > M = ⇒ f(x) > K, (b) lim

x→+∞

f (x) = −∞, jeśli ∀

∃

∀

x > M = ⇒ f(x) < K.

Załóżmy że dla dowolnego M zachodzi ( −∞, M) ∩ D ̸= ∅, wtedy:

(c) lim

x→−∞

f (x) = + ∞, jeśli ∀

∃

∀

x < M = ⇒ f(x) > K, (d) lim

x→−∞

f (x) = −∞, jeśli ∀

∃

∀

x < M = ⇒ f(x) < K.

14.1.6. Niektóre granice (a) Jeśli lim

x→x0

f (x) = ±∞, to lim

0

1 f (x)

= 0.

(b) Jeśli lim

x→x0

f (x) = 0 i f (x) > 0 w pewnym sąsiedztwie punktu x

, to lim

x→x0

1

f (x)

= + ∞.

(c) Jeśli lim

x→x0

f (x) = 0 i f (x) < 0 w pewnym sąsiedztwie punktu x

, to lim

x→x0

1

f (x)

= −∞.

(d) Jeśli lim

x→x0

f (x) = ±∞ i c > 0, to lim

0

c · f(x) = ±∞.

(e) Jeśli lim

x→x0

f (x) = ±∞ i c < 0, to lim

0

c · f(x) = ∓∞.

(f) lim

x→x0

c = c (g) lim

x→x0

x = x

(h) lim

x→∞

√

x = ∞ (i) lim

x→∞

(1 +

)

= e

(j) lim

x→−∞

(1 + x)

= e (k) lim

x→0 sin x

x

= 1 (l) lim

x→0 arc sin x

x

= 1 (m) lim

x→0 arc tg x

x

= 1

14.2. Asymptoty

Niech f : R → R oraz x

∈ D /

. 14.2.1. Asymptota pionowa (a) Jeśli lim

x→x⁺0

f (x) = ±∞, tzn. granica wynosi +∞ lub −∞, to mówimy, że funkcja f ma asymptotę pionową prawostronną o równaniu x = x

.

(b) Jeśli lim

x→x⁻0

f (x) = ±∞, to mówimy, że funkcja f ma asymptotę pionową lewostronną o równaniu x = x

.

(c) Jeśli lim

x→x⁺0

f (x) = ±∞ i lim

x→x⁻0

f (x) = ±∞, to mówimy, że funkcja f ma asymptotę pionową (obustronną) o równaniu x = x

.

14.2.2. Asymptota pozioma (a) Jeśli lim

x→+∞

f (x) = b

∈ R, to mówimy, że funkcja f ma w +∞ asymptotę poziomą o równaniu y = b

.

(b) Jeśli lim

x→−∞

f (x) = b

∈ R, to mówimy, że funkcja f ma w −∞ asymptotę poziomą o równaniu y = b

.

14.2.3. Asymptota ukośna

(a) Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptotą ukośną w + ∞, jeśli lim

x→+∞

[f (x) − (ax + b)] = 0.

Można wykazać, że

a = lim

x→+∞

f (x)

x , b = lim

x→+∞

(f (x) − ax) .

(b) Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptotą ukośną w −∞, jeśli lim

[f (x) − (ax + b)] = 0.

Można wykazać, że

a = lim

x→−∞

f (x)

x , b = lim

x→−∞

(f (x) − ax) . (c) Funkcja liniowa y = ax + b jest asymptotą ukośną, jeśli lim

x→±∞

[f (x) − (ax + b)] = 0.

Można wykazać, że

a = lim

x→±∞

f (x)

x , b = lim

x→±∞

(f (x) − ax) . 14.3. Przykładowe zadania

1. Obliczyć lim

x→−5 x²−25

x+5

. Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: a

− b

= (a + b)(a − b)

x

lim

(x−5)(x+5)

x+5

= lim

x→−5

(x − 5) = −10 Odpowiedź: −10.

2. Obliczyć lim

x→+∞

x²−5x+3 3x²−4

. Rozwiązanie:

x→+∞

lim

x²−5x+3

3x²−4

= lim

x→+∞

1−⁵_x+³

x2

3−_x2⁴

=

Odpowiedź: −1.

3. Obliczyć lim

x→−∞

(x

+ x

+ 2x + 3).

Rozwiązanie:

Wyłączamy przed nawias x przy najwyższej potędze, czyli x

x→−∞

lim x

(1 +

+

+

) = −∞

Odpowiedź: −∞.

4. Obliczyć lim

x→+∞

( √

x

+ 1 − x).

Rozwiązanie:

Licznik i mianownik mnożymy przez √

x

+ 1 + x.

x→+∞

lim

x²+1−x²

√x²+1+x

= lim

x→+∞

√ 1

x²+1+x

= 0 Odpowiedź: 0.

5. Obliczyć lim

x→5

√x−√ 5 x−5

. Rozwiązanie:

Licznik i mianownik mnożymy przez √ x + √

5.

x

lim

5)(√ x+√

5) (x−5)(√x+√

5)

= lim

x→5

x−5 (x−5)(√x+√

5)

= lim

x→5

√x+1√

5

=

2√ 5

Odpowiedź:

2√ 5

. 6. Obliczyć lim

x→0 tg x

x

. Rozwiązanie:

tg x =

, więc lim

x→0 sin x cos x

x

= lim

x→0 sin x

x·cos x

= lim

x→0 sin x

x

·

= 1, bo lim

x→0 sin x

x

= 1, lim

x→0

cos x = 1 Odpowiedź: 1.

7. Obliczyć lim

x→^π4

cos x−sin x cos 2x

. Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru cos 2x = cos

x − sin

x oraz a

− b

= (a + b)(a − b)

x

lim

cos x−sin x

cos 2x

= lim

x→^π₄

cos x−sin x

cos²x−sin²x

= lim

x→^π₄

cos x−sin x

(cos x+sin x)(cos x−sin x)

= lim

x→^π₄ 1

cos x+sin x

=

√2+√1 2

=

√2

=

√2 2

Odpowiedź:

. 8. Obliczyć lim

x→0 sin 5x

7x

. Rozwiązanie:

x

lim

5x

·

=

(korzystamy ze wzoru lim

x→0 sin x

x

= 1) Odpowiedź:

.

9. Obliczyć lim

x→0 sin 3x sin 10x

. Rozwiązanie:

x

lim

sin 3x 3x sin 10x

10x

·

=

(korzystamy ze wzoru lim

x→0 sin x

x

= 1)

Odpowiedź:

.

10. Obliczyć lim

x→0 sin 3x

4x²

. Rozwiązanie:

x

lim

7x⁵

= lim

x→0 sin 3x

3x

·

= + ∞ (korzystamy ze wzoru lim

x→0 sin x

x

= 1 oraz (x → 0 =⇒

→ +∞)) Odpowiedź: +∞.

11. Obliczyć lim

x→+∞

(

1 −

. Rozwiązanie:

x→+∞

lim

1 −

x 5

]₋₁₅

= e

, bo lim

x→+∞

(1 +

)

= e Odpowiedź: e

.

12. Obliczyć lim

x→−3 1 x+3

. Rozwiązanie:

Obliczmy granice jednostronne:

x→−3

lim

1

x+3

= −∞ lim

x→−3⁺ 1

x+3

= +∞

Granice jednostronne są różne, więc nie istnieje lim

x→−3 1 x+3

. Odpowiedź: Granica ta nie istnieje.

13. Obliczyć lim

x→0 sin 3x

tg²x

. Rozwiązanie:

Obliczmy granice jednostronne:

lim

x→0⁻ sin 3x

3x

·

·

·

= 3 lim

x→0⁻ sin 3x

3x

·

·

= −∞, bo lim

x→0⁻ sin 3x

3x

= 1, lim

x→0⁻ x

tg x

= 1 oraz

x

lim

tg x = 0

= ⇒ lim

x→0⁻ 1

tg x

= −∞

x→0

lim

sin 3x

3x

·

·

·

= 3 lim

x→0⁺ sin 3x

3x

·

·

= + ∞, bo lim

x→0⁺ sin 3x

3x

= 1, lim

x→0⁺ x

tg x

= 1 oraz

x

lim

tg x = 0

= ⇒ lim

x→0⁺ 1

tg x

= +∞

Granice jednostronne są różne, więc nie istnieje lim

x→0 sin 3x

tg²x

. Odpowiedź: Granica ta nie istnieje.

14. Znaleźć asymptoty funkcji f (x) =

. Rozwiązanie:

a) Wyznaczamy dziedzinę funkcji: x

− 7x + 12 ̸= 0, ∆ = 1, zatem x

̸= 3, x

̸= 4. Czyli D

= R \ {3, 4}.

b) Obliczamy granice w punktach nie należących do dziedziny funkcji:

lim

x→3⁻

x + 2

x

− 7x + 12 = + ∞, lim

x→3⁺

x + 2

x

− 7x + 12 = −∞, zatem x = 3 to asymptota pionowa obustronna.

lim

x→4⁻

x + 2

x

− 7x + 12 = −∞, lim

x→4⁺

x + 2

x

− 7x + 12 = + ∞,

zatem x = 4 to asymptota pionowa obustronna.

c) Obliczamy

x→±∞

lim

x + 2

x

− 7x + 12 = lim

x→±∞

1 x

+

1 −

+

= 0, zatem y = 0 to asymptota pozioma.

Odpowiedź: x = 3, x = 4 – asymptoty pionowe obustronne, y = 0 – asymptota pozioma.

15. Znaleźć asymptoty funkcji f (x) = x −

. Rozwiązanie:

a) Wyznaczmy dziedzinę funkcji: x − 2 ̸= 0, zatem x ̸= 2, czyli D

= R \ {2}.

b) Obliczamy granice w punkcie nie należącym do dziedziny funkcji.

x→2

lim

x − 4 x − 2

)

= 2 − (−∞) = +∞, lim

x→2⁺

(

x − 4 x − 2

)

= 2 − ∞ = −∞, zatem x = 2 to asymptota pionowa obustronna.

c) Obliczamy

x→±∞

lim

x − 4 x − 2

)

= ±∞ − 0 = ±∞, zatem nie ma asymptoty poziomej.

d) Sprawdźmy, czy istnieje asymptota ukośna:

a = lim

x→±∞

f (x)

x = lim

x→±∞

x −

x = lim

x→±∞

(

1 − 4

x

− 2x

= 1 − 0 = 1,

b = lim

x→±∞

[f (x) − ax] = lim

x→±∞

(

x − 4 x − 1 − x

)

= lim

x→±∞

− 4

x − 2 = 0.

Zatem y = x jest asymptotą ukośną.

Odpowiedź: x = 2 – asymptota pionowa obustronna, y = x – asymptota ukośna.

16. Znaleźć asymptoty funkcji f (x) = 3x+arctgx.

Rozwiązanie:

a) Dziedziną funkcji jest R, zatem nie ma ona asymptoty pionowej.

b) Obliczamy

x→−∞

lim (3x + arc tg x) = −∞ lim

x→+∞

(3x + arc tg x) = + ∞, zatem nie ma asymptoty poziomej.

c) Sprawdźmy, czy istnieje asymptota ukośna:

a = lim

x→±∞

f (x)

x = lim

x→±∞

3x + arc tg x

x = lim

x→±∞

(

3 + arc tg x x

)

= 3 + 0 = 3, b

= lim

x→−∞

[f (x) − ax] = lim

x→−∞

(3x + arc tg x − 3x) = lim

x→−∞

arc tg x = −

, b

= lim

x→+∞

[f (x) − ax] = lim

x→+∞

(3x + arc tg x − 3x) = lim

x→+∞

arc tg x =

.

Zatem y = 3x −

jest asymptotą ukośną w −∞, zaś y = 3x +

jest asymptotą ukośną w + ∞.

Odpowiedź: y = 3x −

to asymptota ukośna w −∞, zaś y = 3x +

asymptota ukośna w + ∞.

14.4. Zadania

1. Spośród funkcji elementarnych wskazać takie, które mają asymptoty, podać ich równania.

2. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f :

a) Wyznaczyć dziedzinę funkcji f . Wyznaczyć granicę (o ile istnieje):

b) lim

x→−∞

f (x).

c) lim

x→−1

f (x).

d) lim

x→0⁻

f (x).

e) lim

x→0⁺

f (x).

f) lim

x→0

f (x).

g) lim

x→2⁻

f (x).

h) lim

x→2⁺

f (x).

i) lim

x→+∞

f (x).

j) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f .

3. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f :

a) Wyznaczyć dziedzinę funkcji f . Wyznaczyć granicę (o ile istnieje):

b) lim

x→−∞

f (x).

c) lim

x→−2⁻

f (x).

d) lim

x→−2⁺

f (x).

e) lim

x→−2

f (x).

f) lim

x→0

f (x).

g) lim

x→1⁻

f (x).

h) lim

x→1⁺

f (x).

i) lim

x→1

f (x).

j) lim

x→+∞

f (x).

k) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f .

4. Na podstawie rysunku, który przedstawia wykres funkcji f :

a) Wyznaczyć dziedzinę funkcji f . Wyznaczyć granicę (o ile istnieje):

b) lim

x→−∞

f (x).

c) lim

x→−3⁻

f (x).

d) lim

x→−3⁺

f (x).

e) lim

x→−3

f (x).

f) lim

x→0

f (x).

g) lim

x→2⁻

f (x).

h) lim

x→2⁺

f (x).

i) lim

x→2

f (x).

j) lim

x→+∞

f (x).

k) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f .

Obliczyć granicę (o ile istnieje):

5. lim

x→2

(x³−1)(x⁴−16) x²−3x+2

. 6. lim

x→2⁻ 1 x²−5x+6

. 7. lim

x→2⁺ 1 x²−5x+6

. 8. lim

x→+∞

x³+2x²−7x+1 8−5x³

. 9. lim

x→2⁺ x−2−√

x−2 2√

x−2

.

10. lim

x→+∞

(x

− 5x

+ 4x).

11. lim

x→+∞

2x( √

x

+ 1 − x).

12. lim

x→8

√9+2x−5

√3

x−2

. 13. lim

x→+∞

( √

x

+ 1 − x).

14. lim

x→1 1−√

x 1−x²

.

15. lim

x→^π4

cos 2x sin x−cos x

. 16. lim

x→+∞

x sin

. 17. lim

x→0 sin²x 1−cos x

. 18. lim

x→1

sin(1√x−1−x)

. 19. lim

x→0

√cos x−1 x²

. 20. Sprawdzić, czy funkcja f (x) =

posiada asymptotę pionową o równaniu x = −2.

21. Sprawdzić, czy funkcja f (x) = 2x +

posiada asymptotę ukośną w + ∞.

Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji:

22. f (x) =

. 23. f (x) =

. 24. f (x) =

.

25. f (x) =

. 26. f (x) =

. 27. f (x) =

.

28. f (x) =

. 29. f (x) = x − √

x + 2.

30. f (x) =

.