Matematyka dyskretna-Notacje asymptotyczne

Matematyka dyskretna-Notacje asymptotyczne

1. Porównaj parami funkcje f i g. W każdym przypadku należy sprawdzić, czy f (n) = O(g(n)) lub f (n) = Θ(g(n)) lub f (n) = Ω(g(n))

f 10⁻³n⁴ lg n lg(lg n) n² 2ⁿ² 100n + log₁₀n lg n n^{lg n} g 10³n³ n lg n 2ⁿ 2²ⁿ n + (lg n)² lg n² n 2. Zbadaj, czy

(a) 33n²+ 3n − 12 = O(n³);

(b) 33n²+ 3n − 12 = Θ(n²);

(c) n⁵+ 10n + 102 = Θ(n⁵);

(d) n + 1000 = O(n²);

(e) n²+ 10⁵⁵= o(n³);

(f) log₃n⁸⁴= O(lg n).

(g) w(n) = O(n^k),gdzie w(n) = ak· n^k+ ak−1· n^k−1+ ... + a1· n + a0, ai ∈ R, i = 0, 1, ..., k, ak > 0, k ∈ N ;

(h) n^0.9lg n = o(n);

(i) (lg n)²= o(√³ n);

(j) n²= o(2ⁿ); k ∈ N.

(k) 5ⁿ= o(n!);

(l) n^3/4+ lg n⁴+ 10000 = o(n).

(m) ¹⁰√

n + 20(lg n)⁴⁵⁶= Θ ¹⁰√ n
. (n) 2ⁿlg n + n! = Θ(n!).

(o) n/ lg n = Ω(lg n).

(p) n²/p

n + lg n = Ω(n).

3. Sprawdź, czy prawdziwe są następujące oszacowania (a) lg nⁿ= O(lg n)?

(b) (n + 1)! = Ω(n!)?

(c) 16ⁿ = Θ(2ⁿ)?

(d) n²= o(n^3/2/ (lg n)⁶)?

(e) 3ⁿ⁺¹= O(3ⁿ)?

(f) 3²ⁿ= O(3ⁿ)?

(g) (2n)! = O(n!)?

(h) 2(n!) = O(n!)?

4. (Zob. wykład) Niech k i m będą dowolnymi liczbami naturalnymi, a ∈ R i a > 1. Pokaż, że (a) (lg n)^m= o(√^k

n); m, k ∈ N.

(b) n^k = o(aⁿ); k ∈ N.

1

(c) aⁿ = o(n!).

(d) n! = o(nⁿ).

5. Uszegować rosnąco (w sensie asymptotycznym) następujące ciągi (a) lg n, lg(lg n), n lg n, n^{lg n}, n⁶, n¹⁴, 2ⁿ.

(b) n², (1.01)ⁿ, (0.99)ⁿ,

 1 + 1

n

ⁿ

, lg nⁿ, 3^{lg n}.

(c) n²lg n + n, n lg n + 2, n^3/2, n³+ n², n^3/4+ lg n²²². (d) 1

lg n, nⁿ, 3ⁿ, 1, n^{lg n}, 5⁵ⁿ, 1 2ⁿ,1

n.

2