LISTA 54 Zadanie 1.
Uzasadnij, że jeśli liczby 𝑥1, 𝑥2 są pierwiastkami równania 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, gdzie 𝑎 ∙ 𝑐 ≠ 0, to liczby 𝑥1
1 , 𝑥1
2 są pierwiastkami równania 𝑐𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0.
Zadanie 2.
Niech 𝑎 i 𝑏 będą takimi liczbami rzeczywistymi dodatnimi, że 3𝑎= 25 oraz 5𝑏 = 27. Uzasadnij, że iloczyn liczb 𝑎 i 𝑏 jest liczbą naturalną.
Zadanie 3.
Punkt 𝑃 jest oddalony o 7 𝑐𝑚 od środka okręgu o promieniu 11 𝑐𝑚. Przez ten punkt poprowadzono cięciwę długości 18 𝑐𝑚. Jakie są długości odcinków, na które punkt 𝑃 dzieli tę cięciwę?
Zadanie 4.
Na okręgu o równaniu 𝑥2+ 𝑦2= 1 wyznacz taki punkt 𝑀 = (𝑥, 𝑦), aby wyrażenie 3𝑥 + 4𝑦 miało jak największą wartość.
Zadanie 5.
Wyznacz środek symetrii oraz osie symetrii wykresu funkcji 𝑓(𝑥) =𝑥+12𝑥 . Zadanie 6.
Wiemy, że kwadrat pewnej liczby jest o 1 większy od tej liczby. O ile czwarta potęga tej liczby jest większa od jej kwadratu?
Zadanie 7.
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wszystkie krawędzie mają długość 𝑎.
Oblicz odległość środka podstawy tego ostrosłupa od jego ściany bocznej.
Zadanie 8.
W rosnącym ciągu geometrycznym 𝑎2 =1
3 , 𝑎4 = 12. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu. Między 𝑎3 i 𝑎5 wstaw cztery liczby, które wraz z 𝑎3 i 𝑎5 utworzą 6-wyrazowy ciąg arytmetyczny.
Zadanie 9.
W urnie znajdują się 3 kule białe i 2 czarne. Ile co najmniej należy dołożyć kul białych, aby przy losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych wzrosło ponad dwa razy?
Zadanie 10.
Wyznacz najmniejszą dodatnią liczbę 𝑥 spełniającą jednocześnie dwa warunki:
𝑐𝑜𝑠2𝑥 = −1, 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0.
