SYMULACJA ROZPRASZANIA ENERGII DRGAŃ W TRÓJWARSTWOWEJ BELCE Z CIECZĄ MR

SYMULACJA ROZPRASZANIA ENERGII DRGAŃ W TRÓJWARSTWOWEJ BELCE Z CIECZĄ MR

JACEK SNAMINA

Katedra Automatyzacji Procesów, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie e-mail: snamina@agh.edu.pl

Streszczenie. Praca dotyczy analizy rozpraszania energii drgań w trójwarstwowej belce z cieczą MR. Belka składa się z dwóch zewnętrznych warstw aluminiowych oraz warstwy wewnętrznej, którą stanowi ciecz MR.

W pracy wykorzystano model rozkładu cząstek ferromagnetycznych w warstwie MR znajdującej się w jednorodnym polu magnetycznym. Przedstawiono pewną metodę oszacowania zespolonego modułu sztywności poprzecznej warstwy MR oraz zaproponowano metodę wyznaczania energii rozpraszanej w poszczególnych fragmentach belki. Wykonano obliczenia rozpraszania energii wzdłuż całej długości belki. Wyniki obliczeń przedstawiono w formie wykresów.

1. WSTĘP

Projektowanie eliminatorów drgań układów o ciągłym rozkładzie masy i sprężystości wymaga dokładnej analizy rozpraszania energii. Szczególnego znaczenia nabiera taka analiza w przypadku, gdy podukłady tłumiące drgania zostały zaprojektowane jako integralne części układów, których drgania są eliminowane. Do takich układów należą belki, płyty i powłoki z wbudowaną warstwą cieczy MR. Własności struktur z cieczami MR można zmieniać poprzez zmiany pola magnetycznego. W wyniku oddziaływania pola zmieniają się przede wszystkim charakterystyki sztywności i tłumienia, co umożliwia redukcję drgań.

Badania belek z cieczą MR są prowadzone przez wielu badaczy w szeregu ośrodkach naukowych. W literaturze można odnaleźć prace dotyczące takich struktur [3, 4, 5]. Prace najczęściej mają charakter raportów z badań. Wprowadzane modele obliczeniowe są modelami empirycznymi. Inna grupa prac dotyczy poszukiwania związków między własnościami mikroskopowymi cząstek ferromagnetycznych a parametrami mechanicznymi warstwy MR [1, 2].

Przemieszczenia obserwowane podczas drgań belek, płyt i powłok są na ogół niewielkie.

W warstwie cieczy MR nie ma charakterystycznego dla tłumików przepływu cieczy, a przemieszczenia punktów należących do warstwy MR, powiązane z ruchem zewnętrznych warstw aluminiowych powodują odkształcenia postaciowe całej warstwy. Odkształcenia te są małe i mają charakter oscylacyjny.

W artykule przedstawiono zgrubną metodę szacowania zespolonego modułu sztywności poprzecznej warstwy MR na podstawie własności cząstek ferromagnetycznych oraz udziału

masowego lub objętościowego cząstek w cieczy MR. Zespolony moduł sztywności poprzecznej wykorzystano w obliczeniach dyssypacji energii mechanicznej wzdłuż długości belki.

2. ZESPOLONY MODUŁ SZTYWNOŚCI POPRZECZNEJ WARSTWY CIECZY MR Do rozważań przyjęto zaprojektowaną do celów badań laboratoryjnych trójwarstwową belkę o długości l = 400 mm i szerokości b = 30 mm. Schemat belki przedstawiono na rys. 1.

Zewnętrzne warstwy zostały wykonane z aluminium o grubości h1=2 mm, a przestrzeń pomiędzy tymi warstwami o wysokości h2=2 mm wypełniona została cieczą MR.

a) b)

Rys. 1. Budowa belki: a) przekrój wzdłużny, b) przekrój poprzeczny

Warstwa cieczy MR ulega odkształceniu podczas drgań belki. W przypadku małych drgań, które są przedmiotem analizy w tej pracy, odkształcenia są małe i ulegają cyklicznym zmianom. Dla dostatecznie małych amplitud ciecz MR umieszczona w belce jest w stanie lepko-sprężystym.

Oszacowanie właściwości mechanicznych warstwy cieczy MR na podstawie znajomości parametrów umieszczonych w niej cząstek ferromagnetycznych oraz na podstawie udziału masowego lub objętościowego cząstek jest istotne z uwagi na dobór cieczy. Prace z tego zakresu dotyczą przede wszystkim określenia modułu sztywności poprzecznej warstwy cieczy MR, brak jest natomiast oszacowania współczynnika strat. Jest on na ogół wyznaczany na podstawie pomiarów. Znajomość modułu sztywności oraz współczynnika strat jest punktem wyjścia do zapisu zespolonego modułu sztywności poprzecznej. W pracy zaproponowano sposób oceny wpływu koncentracji cząstek oraz rozkładu statystycznego ich rozmiarów na współczynnik strat.

Do obliczeń wykorzystano model rozkładu cząstek ferromagnetycznych zaproponowany w pracy [2]. Jest to model sieci regularnej przestrzennie centrowanej wykorzystywany często w teorii ciała stałego do opisu budowy kryształów. Wybór takiego modelu przestrzennego rozmieszczenia cząstek uzasadnia się minimalizacją energii potencjalnej układu cząstek, gdy warstwa cieczy MR znajduje się w polu magnetycznym. Na podstawie rozważań energetycznych wyznaczono również podstawowe wymiary opisujące komórkę elementarną sieci. Schemat komórki z wymiarami przedstawiono na rys. 2.

2l

l 3 l 3

Rys. 2. Schemat rozmieszczenia cząstek w komórce

Na podstawie zaproponowanego rozkładu cząstek można w prosty sposób wyznaczyć istotne z praktycznego punktu widzenia zależności pomiędzy udziałem objętościowym, udziałem masowym i gęstością cieczy MR z jednej strony a bezwymiarowym parametrem β=l/R będącym ilorazem charakterystycznego wymiaru sieci l oraz średniego rozmiaru cząstki R. Wyniki obliczeń przedstawiono w tabeli 1 zakładając gęstość cieczy (bez cząstek ferromagnetycznych) ρc=1.1×10³ kg/m³ oraz gęstość cząstek ferromagnetycznych ρFe=7.1×10³ kg/m³. Średni rozmiar cząstek w cieczach MR waha się w granicach 0.2-0.5 mm.

Można oszacować, że w warstwie MR znajduje się około 220 warstw o grubości jednej komórki.

Tabela 1. Podstawowe parametry geometryczne i masowe cieczy MR

Bezwymiarowy parametr β 1.5 1.25 1.2

Udział objętościowy cząstek α 20.7% 35.7% 40%

Udział masowy cząstek α_m 65% 79.8% 83%

Gęstość cieczy MR ρMR[kg/m³] 2.48×10³ 3.5×10³ 3.8×10³

Cząstki ferromagnetyczne (karbonylek żelaza) są pod względem magnetycznym opisane magnetycznym momentem dipolowym, który przy maksymalnym namagnesowaniu przyjmuje wartość m»1.8´10^-10 [Am²]. Wykorzystując wzór na siłę oddziaływania cząstek o zadanych momentach dipolowych, w pracy [2], wyznaczono siłę oddziaływania między warstwami cieczy a następnie naprężenie styczne t w warstwie przy jej odkształceniu postaciowym g. Ostateczny wzór określający naprężenie ma postać:

(

)

pm

=

t ² ₂

6 3 1

32 Q

cM (1)

gdzie:

t naprężenie styczne,

g odkształcenie postaciowe,

mcwzględna przenikalność magnetyczna cieczy w której rozmieszczone są cząstki,

a udział objętościowy cząstek magnetycznych w cieczy MR,

M namagnesowanie cząstek, ( )a

Q bezwymiarowa funkcja, zdefiniowana w pracy[2].

Wzór (1) jest podstawą do wyznaczenia części rzeczywistej GS zespolonego modułu sztywności poprzecznej:

(

)

2

6 3 1

32

a + pm a

= M Q

G_{S c} (2)

Aby uzależnić moduł sztywności poprzecznej od natężenia pola magnetycznego, w którym znajduje się warstwa MR, należy wykorzystać wzór (prawo Frölisch-Kennelly-ego):

( )

( )

M M M

p s

s p

1 1

- m +

-

= m (3)

mp względna przenikalność magnetyczna cząstek

H natężenie zewnętrznego pola magnetycznego

Ms namagnesowanie nasycenia cząstek magnetycznych (M_s @1.6×10⁶ A/m)

Wyniki obliczeń części rzeczywistej GS zespolonego modułu sztywności poprzecznej w zależności od natężenia pola magnetycznego przedstawiono na rys. 3.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 10⁴ 0

1 2 3 4x 10⁵

modulprezystosci s [ Pa]

natezenie pola magnetycznego [A/m]

Rys. 3. Moduł sprężystości poprzecznej w funkcji natężenia pola magnetycznego

Część rzeczywista GS zespolonego modułu sztywności poprzecznej jest związana ze zjawiskiem zamiany energii kinetycznej na energię potencjalną sprężystości. Zjawisko rozpraszania energii mechanicznej w warstwie cieczy MR jest spowodowane tarciem lepkim pomiędzy cząstkami i płynem (proporcjonalnym do amplitudy i częstości drgań) oraz tarciem pomiędzy stykającymi się cząstkami (proporcjonalnym tylko do amplitudy). Podczas ruchu harmonicznego ten drugi typ tarcia może być opisany przy wykorzystaniu części urojonej GL

zespolonego modułu sztywności poprzecznej. Rozważany typ tarcia dominuje podczas drgań belki z warstwą cieczy MR. Wpływ tarcia lepkiego jest mały, ponieważ warstwa MR odkształca się jako całość prawie bez prędkości względnej pomiędzy cząstkami i cieczą.

Można przyjąć, że część urojona GL zespolonego modułu sztywności poprzecznej jest proporcjonalna do liczby cząstek będących w kontakcie ze sobą. Aby oszacować procentowy udział tych cząstek, należy znać udział procentowy cząstek o różnych promieniach.

Przykładowy rozkład przedstawiono na rys.4.

0 1 2 3 4 5 6 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

promien [mikron]

Rys. 4. Udział procentowy cząstek o różnych promieniach

Oznaczając przez p udział procentowy cząstek o promieniu większym lub równym od charakterystycznej odległości dla struktury rozmieszczenia cząstek, oraz przyjmując, że współczynnik strat jest proporcjonalny do udziału p, część urojoną GL zespolonego modułu sztywności poprzecznej można zapisać jako G_L= pkG_S, gdzie k jest współczynnikiem związanym z określeniem część urojonej GL zespolonego modułu sztywności poprzecznej materiału ferromagnetycznego przed rozdrobnieniem.

3. DYSSYPACJA ENERGII Z WARSTWY CIECZY MR

Opis odkształceń warstw cieczy jest ściśle związany z przyjętymi hipotezami dotyczącymi odkształceń całej belki, w tym również zewnętrznych warstw. Istotne są założenia dotyczące sił oddziaływania pomiędzy warstwą cieczy MR a sprężystymi warstwami zewnętrznymi układu kompozytowego. Wartość tej siły stanowi o stopniu sprzężenia ruchu zewnętrznych warstw struktury z warstwą tłumiącą i ma wpływ na złożoność modelu. Najczęściej przyjmuje się brak poślizgu pomiędzy warstwą cieczy MR a zewnętrznymi warstwami, co jest związane z pełnym sprzężeniem ruchu warstw [3].

Przyjmując założenie wspólnego przemieszczenia wszystkich warstw w kierunku prostopadłym do płaszczyzny belki, ruch belki można opisać funkcjami w(x,t) oraz θ(x,t).

Schematycznie przedstawiono to na rys. 5a.

a) b)

Rys. 5. a) Współrzędne opisujące ruch belki, b) Odkształcenie elementów cieczy.

Ścinanie elementów cieczy MR w czasie ruchu ma bardziej złożony charakter niż w najczęściej spotykanych rozwiązaniach konstrukcyjnych tłumików MR. Odkształcenie postaciowe jest tutaj wywołane zarówno przyrostem przemieszczeń wzdłużnych jak i przyrostem przemieszczeń poprzecznych. Schemat odkształconego elementu warstwy MR pokazano na rys. 5b.

Na podstawie przyjętych założeń można przeprowadzić analizę przemieszczeń i odkształceń belki. Wzory określające odkształcenia elementów należących do poszczególnych warstw mają postać:

─ odkształcenia górnej warstwy aluminiowej

2 2 1 1 2

x w

2 ¶

- ¶

¶ + ¶

= z

x h h

xx

e q (4)

─ odkształcenia dolnej warstwy aluminiowej

2 2 2 1 2

x w

2 ¶

- ¶

¶ + ¶ -

= z

x h h

xx

e q (5)

─ odkształcenia warstwy cieczy MR

. ) , ( 1

x w

2 1

2 1 2 2 2

2 1

÷ø ç ö

è

æ -

¶

÷÷ ¶ ø çç ö è

æ +

=

÷÷ ø ö çç

è æ

¶ + ¶

¶ -

× ¶

=

t x x w h

h

x h

h h h

z h

xz xx

q g

e q

(6)

Współrzędne z1, z2 oraz z są współrzędnymi Lagrange’a odpowiednio punktów górnej i dolnej warstwy aluminiowej oraz punktów należących do warstwy MR.

Gęstość objętościową mocy średniej, otrzymanej w wyniku uśredniania mocy w jednym okresie ruchu oscylacyjnego, można wyznaczyć biorąc za podstawę wzór określający pracę sił wewnętrznych. Po wprowadzeniu związków określających przyrosty odkształceń i po uśrednieniu otrzymujemy:

(^x,y,z)⁼_T ^T

ò

p

0

1 (7)

Ze względu na złożoność struktury belki z cieczą MR efektywne rozwiązania można otrzymać tylko po dyskretyzacji układu. W pracy zastosowano metodę elementów skończonych. Przyjęto do opisu ruchu belki jednowymiarowy element skończony o dwóch węzłach i trzech stopniach swobody w każdym węźle [3]. Wektory przemieszczeń węzłowych mają postać q_w =[w₁j₁w₂j₂]^T oraz q_q =[q₁q₂]^T. Przemieszczenia wewnątrz elementu opisuje następujące równanie:

úû ê ù ë é úú û ù êê ë

=é úû ê ù ë é

q _q q_q

q N

N _w

T Tw

e

we

0

0 (8)

Funkcje aproksymujące będące składowymi wektora Nw są wielomianami trzeciego stopnia, a funkcje aproksymujące, będące składowymi wektora Nθ, są wielomianami pierwszego stopnia. Szczegółowy opis wektorów funkcji aproksymujących podano w [3].

W ruchu oscylacyjnym belki wektory q ,_w q_q przemieszczeń węzłów zapisano, wprowadzając wektory q~ ,q~q

w zespolonych amplitud:

t w i

w ~ e

~ w

q q

ú× û ê ù ë

=é úû ê ù ë é

q q q

q (9)

Amplitudy zespolone odkształceń elementów warstwy cieczy MR można wyznaczyć po uwzględnieniu wprowadzonych wektorów amplitud zespolonych q~ ,q~_q

w w równaniach (6) określających odkształcenia. Mają one postać:

÷÷ ø ö çç

è

æ -

÷÷× ø çç ö è

æ +

=

÷÷ ø ö çç

è

æ - +

×

=

q q

q q

g x

x x e

q N q

q N q

w Tw

w T w

~ 1 ~

~

~

~

~

2 1

2 1 2 2

2

2 1

xz T

T xx

d d h

h

d d h

h h d

d h z h

N N

(10)

Amplitudy zespolone naprężeń stycznych w warstwie cieczy MR są iloczynem amplitudy zespolonej odkształceń postaciowych oraz zespolonego modułu sztywności poprzecznej G^*=GS+iGL . Można wobec tego zapisać:

÷÷ ø ö çç

è

æ -

÷÷× ø çç ö è

æ +

×

= ^* _{q q}

t Nx q q

w T

w ~ ~

~ 1

2

1 T

xz d

d h

G h N (11)

Naprężenia s_xx związane odkształceniami e_xx są równe zero w związku z założeniem, że warstwa cieczy MR pracuje tylko na ścinanie. Po uwzględnieniu wzorów określających zespolone amplitudy odkształceń (10) i naprężeń (11) we wzorze (7) opisującym gęstość objętościową mocy średniej można ostatecznie wyznaczyć dyssypację energii:

L xz G

D ~ ²

2 1w g

= (12)

Wyniki obliczeń rozpraszania energii wzdłuż długości belki wspornikowej (lewy koniec belki utwierdzony, prawy koniec swobodny) przedstawiono na rs. 6b. Równocześnie na rys. 6a przedstawiono amplitudę przemieszczenia belki w funkcji współrzędnej. W obliczeniach przyjęto wymuszenie sinusoidalnie zmienną siłą skupioną o amplitudzie 0.1 N i częstotliwości 12 Hz. Siła działała na swobodny koniec belki w kierunku prostopadłym do osi belki. Częstotliwość pierwszej formy drgań belki jest równa 12.6 Hz.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

współrzędna [m]

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008

przemieszczenie [m]

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

współrzędna [m]

0 40 80 120

gęstość mocy [W/m3]

Rys. 6. a) Przemieszczenie belki, b) Gęstość średniej mocy dyssypacji.

Z obliczeń wynika, że dla pierwszej formy drgań maksymalne rozpraszanie energii odbywa się w przekroju o współrzędnej 0.12 m co stanowi 0.3 długości belki. Przekrój belki, w którym zachodzi maksymalna dyssypacja energii nie pokrywa z przekrojem, w którym występują maksymalne przemieszczenia.

4. WNIOSKI

Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można sformułować następujące, ogólne wnioski:

· Prezentowany model pozwala opisać jakościowo zachowanie się warstwy cieczy MR umieszczonej w belkach lub płytachwarstwowych.

· Oszacowania ilościowe parametrów warstwy MR otrzymane na podstawie przyjętego modelu powinny być sprawdzone doświadczalnie i ewentualnie skorygowane dodatkowymi współczynnikami wyznaczonymi na podstawie pomiarów. Dotyczy to zwłaszcza współczynnika strat obejmującego zjawiska, których mechanizmy są bardziej złożone.

· Gęstość energii emitowanej z jednostki objętości zależy od położenia oraz jest proporcjonalna do: części urojonej zespolonego modułu sztywności poprzecznej, kwadratu kąta opisującego ścinanie elementów warstwy środkowej oraz parametrów geometrycznych, w szczególności stosunku grubości warstwy zewnętrznej do grubości warstwy MR.

Pracę wykonano w ramach projektu badawczego nr N501 223337.

LITERATURA

1. Ginder J.M. David L.C. B.: Shear Stress in Magnetorheological Fluids: Role of magnetic saturation. “Applied Physics Letters” 65(26):2410-3412, 1994

2. Liu Lisheng, Ruan Zhongwei, Zhai Pengeheng, Zhang Qingjie: Shear stress in MR fluid with small shear deformation in betlattic structure. “Journal of Wuhan University of Technology” 532-535, Aug. 2008.

3. Sapiński B., Snamina J.: Modeling of an adaptive beam with MR fluid. “Solid State Phenomena” Vols. 147−149, 831−838, 2009.

4. Sun Q., Zhou J. X., Zhang L.: An adaptive beam model and dynamic characteristics of magnetorheological materials. ”Journal of Sound and Vibration” 261, 465−81, 2003.

5. Yalcinitas M., Dai H.: Vibration suppression capabilities of magneto-rheological materials based adaptive structures. “Smart Materials and Structures" 3, 1−11, 2004.

SIMULATION OF ENERGY DISSIPATION IN THREE-LAYERED BEAM WITH MR FLUID

Summary. In the work a three-layered beam incorporating a magnetorheological (MR) fluid was considered. The beam consists of two outer layers made of aluminium and a MR fluid layer placed in between. The estimation of complex shear modulus was proposed based on body-centred-tetragonal model of distribution of magnetic particles. Using finite element model the dissipation of energy along the beam was determined. Results of calculations were presented in graphs.