Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 12, No. 3

J a h rg an g X II.

U n t e m c h t s b l ä t t e r

1906. No. 3.

für

Mathematik und Naturwissenschaften.

O r g a n d e s V e r e in s z u r F ö r d e r u n g

d e s U n t e r r ic h ts in d e r M a th e m a tik u n d d e n N a tu r w is s e n s c h a f t e n .

B egrü n d et u nter M itw irk u n g von B e r n h a r d S c h w a l b e , herausgegeben von

F . P i e t z k e r ,

P r o f e s s o r a m G y m n a s i u m z u N o r d h a u s e n .

V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W . 3 0 .

R e d a k t i o n : A l l e f ü r d i e R e d a k t i o n b e s t i m m t e n M i t t e i l u n g e n u n d S e n d u n g e n w e r d e n n u r a n d i e A d r e s s e d e s P r o f . P i e t z k e r i n N o r d n a u s e n e r b e t e n .

V e r e i n : A n m e l d u n g e n u n d B e i t r a g s z a h l u n g e n f ü r d e n V e r e i n (3 M k . J a h r e s b e i t r a g o d e r e i n m a l i g e r B e i t r a g v o n 4 5 M k . ) s i n d a n d e n S c h a t z m e i s t e r , P r o f e s s o r P r e s l e r i n H a n n o v e r , L i n c l e n c r s t r a s s e 47 , z u r i c h t e n .

V e r l a g : D e r B e z u g s p r e i s f ü r d e n J a h r g a n g v o n 6 N u m m e r n i s t 3 M a r k , f ü r e i n z e l n e N u m m e r n 60 P f . D i e V e r e i n s m i t - g l i e d e r e r h a l t e n d i e Z e i t s c h r i f t u n e n t g e l t l i c h ; f r ü h e r e J a h r ­ g ä n g e s i n d d u r c h d e n V e r l a g b e z . e i n e B u c h h d l g . z u b e z i e h e n . A n z e i g e n k o s t e n 2 5 P f . f ü r d i e 3 - g e s p . N o n p a r . - Z e i l e ; b e i A u f g a b e h a l b e r o d . g a n z e r S e i t e n , s o w i e b e i W i e d e r h o l u n g e n E r m ä s s i g u n g . — B e i l a g e g e b ü h r e n n a c h U e b e r e i n k u n f t .

" N a c h d r u c k d e r e i n z e l n e n A r t i k e l i s t , w e n n ü b e r h a u p t n i c h t b e s o n d e r s a u s g e n o m m e n , n u r m i t g e n a u e r A n g a b e d e r Q u e l l e u n d m i t d e r V e r p f l i c h t u n g d e r E i n s e n d u n g e i n e s B e l e g e x e m p l a r s a n d e n V e r l a g g e s t a t t e t .

In halt: V ereins-A ngelegenheiten (S. 49). — Beschlüsse d er H auptversam m lung zu E rlangen (S. 49). — M axim um , M inim um und Sym m etrie. V on Dr. A . W e n d i e r in M ünchen (S. 50). — U eber eine kreisförm ige und dreh b are W an d tafel und ih re V erw endung im m athem atischen U n terrich t. Von 0 . O h m a n n in B erlin (S. 53). — N ochm als die negativen F lächen. I. Von O s k a r L e s s e r in F ra n k fu rt a. M. I I . Von P . K i i ' c h b e r g e r in F ulda. I I I . Von F. P i e t z k e r (S. 57). — E in e vereinfachte L ichtstufen-B estim - m ung. V on V i c t o r D ö r r in M ctz-M ontigny (S. 60). — B erich t üb er die fünfzehnte H auptversam m ­ lung des V ereins zur F ö rd e ru n g des U nterrichts in der M athem atik und den N aturw issenschaften zu E rlangen in d e r Pfingstw ocho 1906 (S. 62). — V ereine und V ersam m lungen [78. V ersam m lung D eutscher N aturforscher und A erzte zu S tu ttg a r t; D eutscher V erein fü r Schulgesuudlieitspflege; Sechzehnte J a h r e s ­ versam m lung des Sächsischen G ym nasiallehrer-V ereins; X I I I . H auptversam m lung der D eutschen Bungen*

G esellschaft fü r angew andte physikalische Chemie in D resden] ^S. 66). — L eh rm ittel-B esprechungen (S. 67).

— B ücher-Besprccliungen (S. 67). — Z u r Besprechung eingetroffene B ücher (S. 68). — A nzeigen.

V e r e i n s - A n g e l e g e n h e i t e n .

D ie v o rlieg en d e N um m er b rin g t den B erich t über den allgem ein en V erlauf der w ährend der P fin g stw o ch e zu E r l a n g e n ab geh alten en fün fzeh nten H auptversam m lung des V ereins, lieb er d ie V orträge und die w issen sch aftlich en D isk u ssion en auf d ieser V ersam m lung w erd en in der bisher ü blich g e w e se n e n A rt E in z elb er ich te erscheinen, m it denen in der n äch sten N um m er der A nfang g em a ch t w erden wird.

W ie aus dem V ersam m lu ngsbericht ersichtlich, sind die satzu n gsgem äss aus dem V orstand au ssch eid en d en H erren w ied er g ew ä h lt w orden. D em gem äss b e ste h t der V orstand b is zur nächsten V ersam m lung aus den H erren L e n k (E rlangen), P i e t z k e r (N ordhausen), P r e s l e r (H annover), B a s t i a n S c l i m i d (Z w ick au i. S.), S c h o t t e n (H alle a. S.), T h a e r (H am burg). D as A m t des S ch a tzm eisters w ird auch w eiterh in H err R resler verw alten (sieh e die N o tiz am K o p fe des B lattes unter der Rubrik „V erein “).

D ie n ä ch ste H auptversam m lung w ird in der P fin g stw o ch e 1907 in D r e s d e n ab geh alten w erden. W e ite r e M itteilu n g en über d iese Versam m lung, in sb eson d ere über d ie B ild u n g des O rts­

a u ssch u sses beh alten w ir uns vor.

D e r V e r e i n s - V o r s t a n d .

B e s c h l ü s s e d e r H a u p t v e r s a m m l u n g z u E r l a n g e n .

I. D er V erein zur F örderung des U nterrich ts in der M athem atik und den N a tu rw issen ­ schaften b e g r ü sst m it D ank und F reu d e die B em ühungen der G esellsch a ft D eu tsch er N atu rforsch er und A erzte für die H eb u n g des m athem atischen und n atu rw issen sch aftlich en U n terrich ts und erklärt — oh ne im ein zeln en zu den A rb eiten der von der G esellsch a ft ein g e se tz te n U nterrich ts- k om m issiop S te llu n g zu nehm en — p rin zip iell sich m it ihren B estreb u n gen einverstand en .

S . 5 0 . _Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. J a h r g . X I I . N o . 3 .

II. D er V erein zur F örd eru n g des U n terrich ts in der M athem atik und den N a tu rw issen ­ sch aften b eg rü sst es m it leb h a fter B e fr ie d ig u n g , dass für den — se in e rz eit auch von ihm auf sein er neunten H au ptversam m lu n g warm b efü rw orteten — S ch u tz der N atu rd en km äler unseres d eu tsch en V aterland es in dem diesjäh rigen p reu ssisch en S ta a tsh a u sh a lt M ittel b ere it g e s te llt w orden sind.

M a x i m u m , M i n i m u m u n d S y m m e t r i e . V on D r. A. W c n d l e r (M ünchen).

B e i der B esp rech u n g des S trah len gan ges durch ein Prism a fra g te m ich einm al ein Schüler, ob der U m stand, dass das M inimum der A b ­ len k u n g b eim sym m etrischen D u rch gan g e in tritt, z u fä llig se i oder einen tieferen Grund habe.

A uch bei m ehreren geom etrisch en A u fgab en sei ihm d ieser Zusam m enhang zw isch en Sym m etrie und M axim um -M inim um eigenschaft au fgefallen .

D ie B e a n tw o rtu n g d ieser F ra g e m u sste natur- gem äss dem nur m it elem en taren K enn tn issen a u sg erü steten S ch üler g eg en ü b er unvollkom m en au sfallen . Ich glau be nun, dass die v o rlieg en d e S tu d ie zur B e a n tw o rtu n g der an sich in teressan ten F ra g e einen k lein en B e itra g liefern kann.

E s is t w ohl sch on des öfteren darauf h in ­ g ew ie se n w ord en *), dass es n ich t d ie häufig au ftretend en M aximum - M inim um eigenschaften sin d , w elc h e im N atu rgesch eh en den Kern der E rsch einu ngen b ilden, son dern dass das W e s e n t­

lic h e an der S ach e d ie E in d e u tig k e it ist.

„F ür jed en V organ g lassen sich B estim m u n g s­

m ittel auffinden, durch die er e in d eu tig b e­

stim m t ist, derart, dass man zu jed er V ariation d ieses V organ ges, w e lc h e man durch d ieselb en M ittel b estim m t d enken w o llte , m in d esten s noch ein e finden k ön n te, d ie dann in g le ic h e r W eise b estim m t, ihr so m it g le ic h w e r tig w äre und also gleich sam d asselb e R e c h t auf V erw irk lichu ng h ä tte w ie j e n e .“ „ D ieN a tu r v o rg ä n g e sind immer beson d ere sin guläre F ä lle u n ter unend lich vielen denkbaren, k önnen daher ihre a n a ly tisch e B e ­ sch reib u n g in dem N u llw erd en ein es D ifferen tial- b ezw . V ariation sau sdruckes finden und m üssen sich fo lg lic h im allgem einen**) unter dem G e­

sich tsp u n k te ein er M áximum- oder Minimum- eieenschafti au ffassen la sse n .“

So h a t der ta tsä ch lich e L ic h tw e g h in sic h t­

lich der Z eit den denkbaren N ach b arw egen g e g e n ­ über ein e e in z ig a rtig e L age, w as sic h h ier durch das A u ftreten g ew ö h n lich ein es Minimums***) an­

*) Z. B. P e t z o l d t , M axim um , Mi ni mum und O ekouomie. (Diss. (fOtlingen 1891). P e t z o l d t , E in ­ führung in die P hilosophie d e r rein en E rfah ru n g . (B d. I.

1. A bschn., 3. K ap.)

**) V ollständig einw andfreie K rite rie n liefert be­

kanntlich n u r die neuere, präzisionsm atliem atische Be­

h a n d lu n g d e r D ifferential- und V ariationsrechnung-(vergl.

z. B. K u e s e r , L e h rb . d er V ariationsrechnung, B rau n ­ schw eig 1900).

***) Dass u n te r U m ständen auch ein M axim um auf- treten kann, ist ebenso b ek an n t wie die T atsache, dass die d u rch das V erschw inden d e r V ariation d e r Bogen-

z e ig t. In sbeson dere lassen sich bei allen B e­

w eg u n g e n die ta tsä ch lich en Bahnen als sin gu läre F ä lle u nter u n en d lich v ielen , an sich g le ic h ­ b erech tigten denken, w esh alb sie durch D ifferen­

tia lg leich u n g en beschrieb en w erden, d ie durch N u llsetzen der V ariation g e w isse r A usdrücke gew on n en w erden.

Z u gleich w ird es verstän d lich , warum das A uftreten der M axim um -M inim um eigenschaften in G eom etrie und P h y sik so häufig m it S ym m etrie verbunden ist. (Sym m etrische G e sta ltu n g bei G leich gew ich tsallord n u n gen u sw .) D ie sym m e­

trisch e L age ist eben den N achbarlagen g e g e n ­ über ein z ig a rtig und daher diesen g eg en ü b er von ein d eu tig er B estim m th eit.

I .

B eson ders einfach lä s s t sich der Zusam m en­

hang zw isch en M aximum. Minimum und S ym m e­

trie an dem B e isp ie le

y = a x - -f- h x -f- c

verfolgen , w elc h e s ja für v ie le in der E lem en tar­

m athem atik au ftretend en F ä lle ty p isch ist.

Indem in

h \ H l T y , y ~ c

der W urzelradikand n ich t n egativ w erden darf, erhält man in b ek ann ter W eise durch N u llsetzen d ieses R adikanden den Extremahverfc

h A“

? = = r ?

Für d ie G ew in n u n g d ieses extrem alen W er tes is t d ie E in d eu tig k e it, d. h. d ie B e se itig u n g der durch das d op p elte W u rze lz eic h e n en tsteh en d en Z w e id e u tig k e it das W e s e n tlic h e . D ie F rage nach einem Maximum oder Minimum is t von seku nd ärer B ed eu tu n g und lä ss t sich bei der R ee llitä t der betreffenden P ro b lem e in b ek ann ter W e ise durch die D isk u ssio n d es Im agin ärw erdens der W u rzel en tsch eid en . Z u gleich bem erkt man, dass je n e r E xtrem alw ert als S ch n ittp u n k t der Kurve

y — a x-

h x

c

m it der zur y - A c lis e parallelen Geraden x = — =—b

2 a

erhalten w ird , w elch le tz te r e für je n e Parabel A ch se, so m it auch S y m m etrielin ie ist.

länge gew onnene geodätische L inie zwischen zwei Flächen- punkten n ich t notw endig die kürzeste E n tfe rn u n g zu liefern braucht.

1 9 0 6 . N o . 3 . M a x i m u m , M i n i m u m u n d S y m m e t r i e . S . 5 1 .

D ie P a ra llelitä t der K u rven tan gen te an solch en E x tren ia lstellen ist d ie geo m etrisch e B e g le ite rsc h e in u n g für das V ersch w ind en des D ifferen tialq u otien ten und d ieses is t ein sin gu ­ lärer und w enn man w ill, sym m etrischer F all, indem in übertragener B e d e u tu n g überhaupt A usd rü ck e nur m it V orzeich en u n tersch ied en als

„sym m etrisch “ (b esser k on ju giert) b etrach tet w erden können.

So w erden in der K u rvenschar ¡( (x, y) = C onst. d ie K urven

K —

k

K =

k

die Sym m etrale

K —

trisc h “ g etren n t. A eh n lich es g ilt für die K urven

A4

Á() N =

M =

N =

f i + \ >

Z,

f <—¡¡

und es en tsp rech en k onjugierten W erten des A rgu m en tes auch konj u gierte W er te der Funk tion, d. h. bei der A b b ild u n g en tsprechen G ebilde der

Z -

E s sei noch d ie K u rven gleich u n g von der Form

P'2

Q — 0

P —

P =

P — rh] Q

X Y — k

=

X = 0, Y —

sc h n itte s, w o b ei

L

p u n k te g eh en d e S eh ne is t A nders verh ält sich die S ach e, w enn

Q

y

P — x - a y , Q = m y -

n,

so erh ält man sc h ie fe Sym m etrie (F a ll der k on ju gierten D urch m esser), indem d ie Gerade

P = o

a

y

(a-

in) >ß

n

Q

zw e i extrem e W er te au ssch n eid et, d ie ein M axi­

mum und M inimum b ed eu ten . W eite re s B e is p ie l:

W ie hat man den äusseren W id erstan d A' eines g esch lo sse n e n g alvan isch en E lem en tes (m it der elek trom otorisch en K raft

e

w)

y

e . e c x e - x , , ,

i — ; y — i- e„ = — ---1— = - — ¡— > = = f (*)•

W -j- X w - \ - x w - f - X ( w -j- x ) -

H ieraus fo lg t

*) D er W e rt /. = O O kann analog in te rp re tie rt w erden wie }. = 0 .

**) H o l z m ü l l e r , E in fü h ru n g in die T heorie der sogonalen V erw andtschaften, pag. 85.

und es is t

die „ S ym m etrale“, w elc h e aus

y = f ( x )

extrem en W erte

x = w, y — -c- 4 w au ssch eid et.

II.

In allen F ällen , in denen es, w ie z. B. bei der gew ö h n lich en räum lichen Sym m etrie, g e lin g t, d ie „S ym m etrale“ u nm ittelbar an zugeben, is t es oh ne w eitlä u fig e R ech n u n gen leich t, ein en bezw . den E xtrem ahvert an zu geb en , der m ö g lic h e rw eise ein Maximum oder Minimum b ed eu tet.

S o llen z. B . d ie E xtrem alw erte von

(A) Z = f ( x , y )

( ß ) F (x, y ) —

w in k e lig en räum lichen K oordin aten system , so h an d elt es sich darum, von der R aum kurve, in der sich die F läch e

( A)

(B)

x,

F( x, x)

D ie fraglich e R aum kurve w ird sich erlich in der an gegeb en en W e ise sym m etrisch, w enn die F u n k tio n en / und

F

1 .

U n ter allen R ech teck en von g le ich em U m ­ fan ge hat das Q uadrat den g rö sste n In h a lt.

S ind

x

—

c —

S om it g ib t3/ ==

x

D ie elem en tare B ehan dlun g er g ib t h ier aus

z = x - y

y — c

X

x-

c x —

z,

also den ein g a n g s b esp rochenen F a ll der P arab el m it der S ym m etrieach se A' — e'/2. A uch die b e ­ k annte elem en ta rg eo m etrisch e K o n stru k tion m it dem H alb k reis über der S tr ec k e a -j

- y = c

lä ss t d eu tlich erkennen, w ie d ie Z w e id e u tig k e it für A

— y

2 .

Von allen D reieck en m it g le ic h e r Grund­

lin ie und gleich em In h a lt hat das g le ic h sc h e n k e lig e den k lein sten U m fan g (F ig . 1). H ier is t

z == g ( x , y ) = !* + y -f- ( y ) ; S ( x , , j ) = 0 =_______________

V4 ■ V ö p i ~ U + 9 ) ( v + o — x ) ( x + y — y ) ( x + y — y ) — I.

A lso m uss

y =

S . 5 2 . UNTERRICHTSBI.ATTER. J a h r g . X I I . N o . 3 .

g eb en . A u ch aus der F igu r is t h ier der Zu­

sam m enhang zw isch en E in d e u tig k e it und S ym ­ m etrie so fo rt klar.

F ig . 1.

D as M inimum der A b len k u n g beim S tra h len ­ ga n g durch ein P rism a e r fo lg t b ei sym m etrischer D u rch setzu n g des Prism as.

B e i der in F ig . 2 ■ g ew ä h lten B ezeich n u n g

F ig. 2 . h at m an:

sin x sin y

sin a sin ß ’ = a' + ß' = ( x - a ) + ( y - ß ) = x -+- y — p i o> — p = a - j- ß.

S o m it is t h ier z — s (x, y) ~ x y

—

4 .

B ezeich n et man beim g ew ö h n lich en W u rf d ie A n fa n g sg e sc h w in d ig k e it m ite , den E le v a tio n s­

w in k el m it a , so b e ste h t für die W u r fw e ite b ek an n tlich d ie G leich u n g

2 c 2

s — — sin a ■ cos a.*) 9

■ X, COS a — y, so h at man S e tz t man

sin a

2 c 2

Z = s ( x , y ) = - ^ ■ X ■ y ; s (x , y ) = + iß —- 1 = 0.

X — y is t aber h ier m it s i n a —

cos

a

—

m .

D ie an alytisch e B eh a n d lu n g e r g ib t b ek a n n tlich

dC = 0 = d(f~\-i.F) =

F,

f v

F„ =

' <5 x 3 y Ö y 0 x

D ie G leich u n gen

(B)

*) A llgem einer lässt sich zeigen, dass je d e F u n k tio n von d er F orm j (sin a, cos a), wobei g eine sym m etrische F u n k tio n der A rgum ente ist, ein E x trem u m « — ^ be­

sitzt, indem die G leichungen s = g.(x, y) und S ( x , y ) — ar -j- y1 -—1 — 0 zusam m enbestehen.

G leich u n g (

A

F — S

sym m etrische F u n k tion en ihrer A rgu m ente, so w ird (C ) von der Form

v

(*>

(y,

o,

kann also durch y

=

B)

auftretend en F u n k tion en f und

F

)

und F(x,y)

=

Fig. 3.

S ind au f der g le ich en S e ite einer G eraden

L

A

B

C

D

P

A'

A

m it

B

B'

B

A

zu verbinden. Z u gleich kann elem en tar le ic h t n ach g ew iesen w erden, dass dabei q

1

A P

P B

A

B

- = f ( x , y) — = rji + q2, sin x sin u

m , n

taug x tang y- d \ F (x, y) — 0

denn es w ir d :

(5 f 0 F m n cos x ,

... - = 3q (x, y) und O x o y \svn x ■ s tn y)-

S f 0 F m n cos u , .

. • , ... = 7 . . = Q (/ / , ■>•)* },

O y O x (sin y ■ s m x )-

so dass y = x ta tsä c h lich ein (das) Extrem um g eb en m uss.

*) A naloge B etrac h tu n g en gelten auch fü r m ehr als zwei V ariable.

**) W ill m an übrigens zu ein er vorgegebenen F u n k ­ tion s (x, y) diu beiden in (.4) und (B ) vorkom m enden F u n k tio n en f u n d F bestim m en, so kann m an z. B.

f v F y — ij (x, y) u nd /), F.r — y (y, x ) setzen, um y — X als m ögliches E xtrem um fcstzulegen. W egen F * v — Fy.

b esteh t dann fü r f die partielle D ifferentialgleichung A ( i M M ) — 6 (

S x \ f r ) 3 y \ fy /

F kann a u f G ru n d dieser D ifferentialgleichung in be­

k an n ter W eise d u rch Q uadraturen b estim m t w erden.

1 9 0 0 . N o . 3. ÜBER EINE KREISFÖRMIGE UND DREHBARE WANDTAFEL. S . 5 3 .

lie b e r ein e

k r e is fö r m ig e u n d d reh b are W a n d ta fe l u n d ih re V e r w e n d u n g im m a th e m a tis c h e n U n te r r ic h t.

V on O. O h in a n n (Berlin).

Beim geom etrischen U n te rric h t d rän g te sich m ir, wie gewiss schon m anchem anderen, w iederholt der G edanke auf, wie nützlich es w äre, bestim m te F ig u ren v o n e i n e m a n d e r e n G e s i c h t s p u n k t a u s oder, was au f dasselbe hinauskom m t, in v e r ä n d e r t e r L a g e b etrach ten zu können. E s fü h rte in ic li dies au f die K o n stru k tio n einer W an d ta fel, die von den üblichen Sclm lw andtafeln in zwei M om enten alnveicht; erstens in der F orm — sie zeigt K reisform —, zw eitens in d er D reh b ark eit — die F läch e d er T afel ist in sich, um den M ittelp u n k t des K reises, also um eine h o ri­

zontale, von vorn nach hinten verlaufende Aolise dreh ­ bar. Jin folgenden sollen beide M om ente etw as näher b eg rü n d et und einige bestim m te B eispiele zur V er­

w endung der T afel angesdlilossen w erden.

1. D i e K r e i s f o r m .

Zu dieser F orm fü h rte das B estreben, die ge­

zeichnete F ig u r d e ra rt entstehen zu lassen, dass ih r E in d ru c k ein m öglichst k larer und u n g estö rter sei.

M an w ird wohl ohne w eiteres zugeben, dass d er E in ­ druck, d er bei Fig. 2 von je d e r beliebigen geradlinigen F ig u r gew onnen w ird, ein einfacherer, u rsp rü n g lich erer ist, als bei Fig. 1, wo die vielfachen L in ien lind W inkel

A F ig . 1.

des T afelran d es in die V orstellung d er F ig u r stets m it eingehen und so fortgesetzt ein störendes M om ent d ar­

stellen. In F ig . 2 h a t m an es gleich­

sam n u r m it der F ig u r an sich zu tun, da m an eine blosse schwarze F läch e vor sich hat.

E in w eiterer G rund, die K reis­

form zu w ählen, lag darin, dass die D rehung einer sol­

chen T afel um ihren M ittelp u n k t sich ohne V erän d eru n g desT af elhildes, also

F ig . 2. ganz unauffällig

vollzieht, w ährend in Fig. 1 diese D rehung wegen der fortgesetzten V erschiebung aller R andlinien und vor­

stehenden E cken als etw as U ngew öhnliches, U nschönes erscheinen w ürde. Dass auch d er ästhetische E in d ru c k ein er T afel von K reisform auf die D auer ein ange­

nehm erer ist, als bei d er R echteckform , sei noch bei- liiulig erw ähnt.

2 . D i e D r e h b a r k e i t ( D a s R o t i e r e 11).

Is t irgend ein geom etrischer L ehrsatz an einer bestim m ten F ig u r eiligeprägt, so is t es wohl nach a b ­ seitigem U rte il eine ungem ein w ichtige A ufgabe, die gew onnenen räum lichen V orstellungen n ich t einseitig w erden zu lassen. H ie r verm ag die D reh b ark eit n ü tz­

lich einzugreifen. W ird näm lich bei d e r W iederholung des L ehrsatzes die F ig u r durch D reh u n g der T afel in eine andere S tellung g eb rach t — das M ass d e r D rehung w ird m an zuerst n ic h t zu gross nehm en —, so stellt das je tz t nötige U m d e n k e n d e r L a g e aller Teile eine ausgezeichnete geistige U ebung dar. B ei häufiger V erw endung dieser E igenschaft d er Tafel w ild all­

m ählich d ie geom etrische A nschauung des Schülers in einer W eise g eü b t und erw eitert, wie es durch andere M ittel sich n ic h t leicht erreichen lassen dürfte.

M an w ird vielleicht entgegenlialten, dass eine in a n d erer L a g e gezeichnete F ig u r denselben Zw eck e r­

füllen w ürde. E s ist jed o ch fü r die ganze A uffassung etw as anderes, eine in b estim m ter L ag e fixierte F igur, zum al wenn sie kom plizierter ist, in v e rä n d e rte r L age, sonst im w esentlichen übereinstim m end m it der u rsp rü n g ­ lichen F ig u r zu z e i c h n e n , od er a b e r: eine F ig u r einfach zu drehen und in a n d erer L ago zu fixieren.

Im ersten F alle h a t der S chüler n ich t die u n m ittelb are G ew issheit, dass die F ig u ren identisch sind ; im zw eiten F alle ist es evident, dass es sieh um ein und dieselbe F ig u r handelt. D ort muss er sich die B edingungen, u n te r denen die zw eite F ig u r gezeichnet ist, w ieder von neuem , m it m ehr od er w eniger E rfolg, ins G e­

dächtnis z u rü c k ru fe n ; h ier bleiben die B edingungen dieselben — w erden also nötigenfalls ganz leicht rep ro d u ziert —, und es h an d e lt sich um die reine A nschauungsübung, eine b ereits erk an n te Sache auch von einem neuen G esichtspunkt aus aufzufassen und zu verstehen.

Selbstverständlich kann und soll die D reh b ark eit der T afel n ich t das sonstige V ariieren d er F ig u r e r­

setzen. D ieses V ariieren der F ig u ren — besonders auch der L ehrb u ch fig u ren — b le ib t ein unum gängliches M ittel, die gew onnenen V orstellungen vor E in se itig k e it zu schützen. A b er auch an d er v a riie rte n F ig u r ver­

m ag die D rehung noch zu einer w eiteren F ö rd eru n g zu führen.

E ine andere V erw endung des R otierens ist m ehr spezieller N atu r. Je d e r, d er den geom etrischen U nter­

ric h t besonders a u f der U nter- und M ittelstu fe e rte ilt h at, w ird wissen, welche S ch w ierig k eit es den Schülern bereitet, einen b ereits durchgenom m enen L eh rsatz aus einer kom plizierteren F ig u r herauszulesen, falls diese die betreffenden Grössen in einer w esentlich anderen L age zeigt, als diejenige einfache F ig u r, an der der L eh rsatz zuerst e in g ep räg t w urde. E s ist j a n ich t zu verm eiden, dass im G edächtnis des S chülers sich m ancher Beweis m it einer ganz bestim m ten od er b e ­ stim m t gestellten F ig u r verknüpfen w ird, m eist m it d er F ig u r, an d er m au die Sache zuerst erläu terte.

Der U n te rric h t w ird freilich dahin zielen m üssen, den S chüler m öglichst bald von solcher einzelnen, m eist m it einer L in ie w agerecht gestellten F ig u r loszulösen.

N ichtsdestow eniger h a t bei m anchen F ig u ren eine

S. 5 4 , Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. J a h r g . X I I . N o . 3 .

solche bestim m te O rientierung eine gewisse, wenn auch vielleicht n u r ästhetische B erechtigung, näm lich bei denen, die eine (einfache od er m ehrfache) S ym m etrie aufweisen, also nam entlich beim gleichschenkligen Drei­

eck. D ies D reieck wird je d e r S chüler gern au frech t g estellt sehen, und die B eziehung des Aussemvinkols an der Spitze zum Basiswinkel w ird ihm bei dieser S tellung am besten einleuchten bezw. w ieder ins G e­

dächtnis kom m en. T r itt nun bei einem Beweise d er Fall ein, dass in ein er kom plizierteren F ig u r eine solche B eziehung an einer sym m etrischen Figur, etw a die er­

w ähnte Beziehung am gleichschenkligen D reieck, als Teii- figur m it en th alten ist — w eiter unten ist ein Beispiel hier zu au sg efü h rt —, so verm ag m an durch eine D rehung d er G esam tfigur leicht zu bew irken, dass die Teilfigur in der zuerst eingeprägten L age erscheint. D ie E rfa h ru n g h a t gezeigt, dass h ierd u rch das V erständnis, das E in ­ dringen in den Beweis ausserordentlich erleich tert w ird.

Das G esagte g ilt insbesondere fü r den grundlegenden geom etrischen U n te rric h t der ersten J a h r e ; doch soll b eto n t w erden, dass auch au f je d e r höheren S tufe, bei­

spielsweise in d er T rig o n o m etrie und analytischen Geome­

trie, die V erw endung d e r Tafel gleichfalls V orteile bietet.

3. B e i s p i e l e z u r V e r w e n d u n g d e r T a f e l . a) Schon bei den ersten E rö rteru n g en üb er d i e G e r a d e , den S trah l u nd die S trecke kann m an d urch B enutzung d er D reh b ark eit a u f eine E m anzipation von der W ag erech ten — d eren Lage dem S chüler von H aus aus am geläufigsten ist — h inarbeiten.

b) H a n d e lt es sich w eiterhin um die R epetition d er L ehrsätze ü b er G e g e u w i n k e l usw., so ist der

zuerst etw a an d er F ig u r 3 geführte Beweis nach erfo lg ter beliebiger D rehung, etw a an d er F ig u r 4, von einem anderem S chüler zu w iederholen ; ebenso w eiterhin bei den L eh rsätzen ü b er W echselw inkel, wenn die F ig u r sich allm ählich zu dem bekannten

\ F ig. 4.

F ig . 3.

D oppelkreuz (das leid er in den m eisten L e h rb ü ch ern die A usgangs- und alleinige F ig u r d arstellt) vervollständigt.

E in U m stand b e d a rf noch beiläufiger E rw ähnung.

H a tte m an in d er F ig u r eine B uchslabenbezeichnung angebracht, so d re h t sich diese m it. M an kann n un dem S chüler m eist n ich t zum uten, die B uchstaben aus d er veränderten Stellung noch herauszulesen, sondern w ird diese einzeln durch norm algestellte B uchstaben ersetzen, was in w enigen Sekunden zu erledigen ist.

E s sei jed o ch an dieser Stelle einer gelegentlichen B ew eisführung o h n e B uchstaben das W o rt g e re d e t — obgleich es h ie r den A nschein hat, als w ollten w ir aus d e r N o t eine T u g en d m achen. D ie B uchstaben an den F ig u ren sind gewiss ein w ichtiges H ilfsm ittel zur V er­

ständigung, und in den L eh rb ü ch ern sind sie au säm t­

lichen F ig u ren unum gänglich, weil sonst die B ew eis­

füh ru n g unm öglich w ü rd e; ab er in d er N a tu r g ib t es keine B uchstabenbezeichnung, w eder bei den G estirnen noch an den F lu ch tstäb en bei der Feldm essung oder anderw ärts, da m uss man stän d ig dem onstrieren „dieser P u n k t“, „jene m ark ierte G erad e“ usw. ln gleicher W eise g e l e g e n t l i c h von d er ßuchstabenbezeichnung im geom etrischen U n te rric h t zu abstrahieren, sich ohne

dieselbe zu behelfen suchen, ist in verschiedener H in­

sicht eine nützliche U ebung; doch w ollen w ir darauf an dieser Stelle nicht näher eingehen.

c) B esonders nützlich erw eist sich die D rehbarkeit bei allem, was m it dem B egriff d er P r o j e k t i o n zu­

sam m enhängt. Die B eziehung auf die H orizontale — von d er m an andererseits entw öhnen soll — w ird hier, w enigstens anfangs, gerade zur F o rd e ru n g , u nd m an h a t es ganz in d er H and, die G erade, au f welche be­

stim m te S treck en p ro jiz ie rt w erden sollen, in die wage­

rechte L age zu bringen. H a n d e lt es sich z. B. um die B estim m ung der P rojektionen im r e c h t w i n k l i g e n D reieck, so w ird man zuerst die P ro jek tio n en der beiden K ath ete n au f die H ypotenuse zeichnen lassen, in der S tellu n g wie es oben F igur 2 zeigt. D reh t m an nun erst die eine, dann die andere K a th e te in die w agerechte L age, so w ird so fo rt erkannt, dass die P ro jek tio n d er H ypotenuse a u f eine K a th e te diese selbst, u nd dass die P ro jek tio n ein er K a th e te au f die an d ere gleich Null w ird. — H a n d e lt es sich ferner um die E rk en n u n g aller P rojektionen im s t u m p f w i n k ­ l i g e n D reieck, so w ird m an ebenso zunächst die grösste S eite in die horizontale L age bringen und die P rojektionen d er beiden kürzeren S eiten zeichnen lassen;

w ird alsdann A C in die w agerechte Stellung g e b ra c h t (Fig. 5), so w ird bald gefunden, dass m an zur Zeich-

A C d er V erlängerung von A C bedarf, und es w ird augenfällig, dass A F die P ro jek tio n von A B, und C F die von C B a u f A C is t; in derselben W eise w erden die noch übrigen P ro jek tio n en aufgefunden, wenn m an B C horizontal stellt. I s t dies alles e rk a n n t und geübt, so kann m an die F ig u r in die erste und w eiterhin eine beliebige andere S tellu n g zurückdrehen, und es wird die A uffindung säm tlicher P ro jek tio n en bei so ver­

än d e rte r L age keinen S chw ierigkeiten m ehr begegnen.

— In dieser W eise b ie te t das erstm alige bew usste Be­

ziehen a u f die H orizontale — u nd dass m an bei der ersten Feststellung u n d E in ü b u n g des P ro jek tio n s­

begriffes davon auszugehen hat, is t wohl zweifellos — und das nachm alige V erlassen und ganz verschieden­

artig e E instellen derselben zufolge d er D reh u n g eines d e r besten M ittel dar, die A nschauung bei P rojektionen irgend w elcher A rt allm ählich ganz von den H orizontalen bezw . von d er geom etrischen R ic h tu n g d er Senkrechten zu befreien.*) — V on einer w eiteren D em onstration be­

züglich d er P ro jek tio n en w ird noch sp ä te r die R ede sein.

*) E s f ü l l t d i e s z u m T e i l z u s a m m e n m i t F o r d e r u n g e n , d i e M a c h i n s e i n e m n e u e n B u c h e „ E r k e n n t n i s u n d I r r t u m “ , b e ­ s o n d e r s i n d e n f ü r d e n m a t h e m a t i s c h e n U n t e r r i c h t ü b e r a u s w e r t v o l l e n K a p i t e l n „ D e r p h y s i o l o g i s c h e R a u m i m G e g e n s a t z z u m m e t r i s c h e n “ u n d „ Z u r P s y c h o l o g i e u n d n a t ü r l i c h e n E n t ­ w i c k e l u n g d e r G e o m e t r i e “ , e r h e b t .

1 9 0 6 . N o . 3 . Ü B E R E IN E K REISFÖRM IG E UND D R EH B A R E W A ND TA FEL. S . 5 5 .

d) I u d e r K r e i s l e h r e b ie te t der L ehrsatz, dass d er P eripheriew inkel die H ä lfte des zugehörigen Z e n tri­

winkels ist, ein Beispiel dafür, wie die T afel hoi der B ew eisführung selbst zu verw enden ist. W enn m an ln d e r üblichen F ig u r (6) erst ß C u nd dann A C in

die horizontale L age b rin g t, so ta u c h t die

frü h er d u rch ­ genom m ene F ig u r (7)

F lg . ö. Fig. 7.

von der B eziehung des Basiswinkels zum A ussenw inkel an der Spitze m it viel grösserer S icherheit im Ge­

d äch tn is des Schülers auf. N achher w ird ihm der Bew eis in je d e r beliebigen S tellung geläufig. — F in e hübsche p raktische A ufgabe ist es, den M ittelp u n k t der Tafclflächo durch L ote a u f zwei Sehneu festzustcllen;

es is t dabei von W e rt, dass das Z en tru m d er T afel nicht von vornherein m a rk ie rt ist.

c) Beim sogen.

S t r a h 1 o n s a t z

— im 2. Teile, d e r die A bschnitte au f den P aralle­

len m iteinhezieht

—■ w ird die P ro­

p o rtio n a litä t der bezüglichen G rössen m om en­

tan einleuchtend, w enn m an — nach geführtem Be­

weise des 1. Teiles - (F ig. 8) in

d ie L ag e des früherenScheitels S d reh t. E s stellt sich dann dem S chüler w ieder Fig. 8 . die erste F ig u r

vor A ugen.

f) In gew issem Sinne fü r den Schüler überraschend erw eist sich das Resultat, d er D rehung bei K o n s t r u k ­ t i o n s a u f g a b c. n. H a n d e lt es sich z. B. um die K o n stru k tio n eines D reiecks aus a — b, ß, h c (Fig. 9

F ig. 9. Fig. 10.

zeigt die A nalysisfigur), so führt die D rehung nach links heruip zu d er neuen A ufgabe A : b — c, •/, ha

(Fig. 10) und w eiterhin zu r A u fgabe A : o — n, a, lih, od er vielm ehr die D reh u n g zeigt, dass diese beiden A ufgaben m it der ersten gleichbedeutend sind. M it an deren W o r te n : m an kann m it H ilfe der D reh b ark eit g u t die zyklische V ertauschung ü b erh au p t üben. — AVie auch sonst gerad e bei K onstruktionsaufgaben die Tafel V orteile bieten kann, b ra u c h t wohl n ich t näher ausgeführt zu w erden. Jed en falls ist es ganz in te r­

essant zu beobachten, wie hierbei die S chüler seihst gelegentlich ih r D iarium als d reh b are T afel handhaben u n d durch die B etrac h tu n g d er A nalysisfigur von ver­

schiedenen G esichtspunkten aus sichtlich schneller in die eigentliche K o n stru k tio n eindringen.

g) F ü r m anche A ufgaben aus d er F e l d m e s b- k u u d e eig n et sich die T afel insofern, als die D reh ­ b a rk e it gew isserm assen das H an d h ab en d er Skizze ver­

sinnlicht, z. B. wenn es sich um die A usm essung einer polygonalen F läch e h an d elt (Fig. 11). D ie übliche eigen­

artig e S chreibw eise der Z ahlen fü r die

abgemessenen L ängen w ird gleich­

falls auf diese Weise g erech tfertig t.

h) A uch fü r v er­

schiedene A ufgaben, hei denen rechtw ink­

lige und schiefw ink­

lige K o o r d i n a t e n anzuw enden sind, leistet die D rehbarkeit gute D ienste, wenn es sich um die V e r ­ t a u s c h u n g d e r K o o r d i n a t e n handelt.

Soviel von besonderen A nw endungen zu ver­

schiedenen T eilen des geom etrischen P ensum s; die angefü h rten Beispiele könnten noch leich t verm eh rt w erden. A b er auch noch nach ganz an d eren R ichtungen hin g ew äh rt die T afel gewisse V orteile.

i) D ie V orteile sind beiläufig auch rein z e i c h e n - t e c h n i s c h e r N a t u r . W ie m an bei einer B leistift­

zeichnung das Skizzenbuch gelegentlich etw as dreh t, um gewisse L inienführungen zu erleichtern, so w ird auch hier durch die M öglichkeit der D rehung das Zeichnen selbst zuweilen etw as bequem er. E s g eh ö rt z. B. schon ein ziem licher G rad von A ufm erksam keit dazu, um in einem etw as langgestreckten Parallelogram m ohne L ineal die lange D iagonale w irklich k o rrek t zu ziehen. L e ic h t w ird sie etw as bogig oder e n d ig t falsch, so dass dio beiden entstehenden D reiecke keineswegs ko n g ru en t aussehen, w ährend m an vom S chüler v er­

lan g t, er solle die K ongruenz in tu itiv erkennen. B rin g t inan sich jed o c h die beiden entstehenden E ck p u n k te nach A ugenm ass in die horizontale — oder, was in d i­

viduell ist, auch vertikale — S tellung, so w ird der Linienzug viel sicherer. [Jeherhaupt, das Zeichnen einer Parallelen, je d e r S en k rech ten und m anches andere w ird sicherer, fü h rt also zu g enaueren F ig u re n , wenn m an vorher die passende D reh u n g ausführt. Und über den W e rt ein er exakten T afelfigur sind wohl die M einungen n ich t m eh r geteilt. — E ine K reislinie h a t m an je d erzeit ohne Z irkel, wenn m an gegen die unten befindliche F lügelschraube (/•' in Fig. 15) ein L ineal festdrückt, die K reid e am anderen E n d e oder sonstwo am R an d e desselben fcsthält, so dass sie die T afel­

fläche b erü h rt, und nun eine R o tatio n d er Scheibe ausführt.

S. 5G. Un t e e h i c h t s b l ä t t k r. J a h r g . X I I . N o . 3 .

E s sei noch d arau f hingew iesen, dass sowohl beim Z eichnen d er verschiedensten F ig u ren im physikalischen und im ü brigen naturw issenschaftlichen U n te rric h t als auch bei D em onstrationen an solchen F ig u ren die D reh ­ b a rk e it noch ganz eigenartige Dienste leisten kann — doch lieg t die näh ere B etrac h tu n g ausserhalb des heutigen T hem as. B eispielshalber sei n u r au f ihre zw eckdienliche V erw endung bei den F ig u ren zum K apitel der „optischen T äusch u n g en “ sow ie zur A uf­

suchung des blinden F leckes im A uge hingew iesen.

k) A uch a u f anderen G ebieten des m athem atischen U n te rric h ts kann die D reh b ark eit gelegentlich verw endet w erden. H a n d e lt es sich z. B. in den E lem enten der A r i t h m e t i k um den N achweis, dass a b — b a , so fü h rt bei dem in d er F ig u r (12) dar- . . . g estellten F all eine D rehung um 90 Grad . . . zll (}(_>,. gew ünschten E insicht. — A uch . . . ])ej c| el, jjßjjcg t]er P ro p o rtio n en kann F ig . 12. — sofern m an die einzelnen V erhältnisse in ß ru c h fo rm au sd rü ck t — die T afel eine instruktive A nw endung finden.

1) In d em fe rn e r die T afel bei einfachster I'o rm eine achsiale B ew egung ih rer M asse g e sta tte t, w ird sie zu einem m a t h e m a t i s c h e n — u nd iu gewissem U m fange auch physikalischen — A p p a r a t , der noch verschiedene an d ere als bloss rein graphische Zwecke erfü llen kann. A uch h ierfü r ein p a a r Beispiele.

A u s m e s s u n g d e r Z a h l .-r. D er A n fan g eines abrollbaren M essbandes w ird m it einem R eisstift an dem äusseren T afelrande befestigt und es w ird die D rehung bis zum W iederzusam m entrefTen vollzogen, w oselbst die L än g e d er P e rip h e rie abgelesen w ird. Die praktische E rm itte lu n g des D urchm essers als grösster Sehne h a t keine S chw ierigkeiten und g en ü g t dem Zwecke, so dass es kaum nö tig ist, erst noch den

¡M ittelpunkt von neuem bestim m en zu lassen. Das V erh ältn is b eid er Z ahlen g ib t ein sow eit befriedigendes R esultat, dass es als A n h alt fü r die A ngabe d er ge­

nauen Z ahl dienen kann. Dass das V erhältnis des D urchm essers und noch besser des R adius zur P e rip h e rie schon frühzeitig w enigstens an g en äh ert (auf etw a zwei Stellen) m itg e te ilt w erde, ist aus verschiedenen G ründen em pfehlensw ert.

V e r a n s c h a u l i c h u n g v o n g o n i o m e - i r i s c h e n F u n k t i o n e n . L ässt m an sich noch einen festen R adius r (Fig. 12) — in G estalt einer abnehm baren G abel (Fig. 13),

2~ die h in te r d e r T afel bei s m it dem statio-

VJ F ig. 13.

nären T eil d er­

selben verbunden ist — , anbringen und ste c k t m an ausserdem in die R andkanten bei A3 eine S teck ­ nadel , um die m an den F aden eines Pendels schlingt, so lässt sich das Ganze

m it V orteil bei F ig . 14.

der V eranschaulichung goniom etrischer Funktionen ver­

wenden. I s t in Fig. 14 M A der feste R adius (A lum i­

nium - oder b ek reid eter E isen-S tab) und w ird ein be­

liebiger an d erer R adius M A3 gezeichnet und dieser m it M A zunächst zu r Deckung gebracht, so kann man bei d er D rehung des gezeichneten R adius in die ver­

schiedenen L agen M A , usw. das kontinuierliche W achsen des siuus und gleichzeitige A bnehm en des cosinus zur A nschauung bringen. Die B uchstaben sind auch hier zu entbehren. — U ebrigens lässt sich der feste R adius auch noch bei an deren F ig u ren zu ähnlichen D em on­

strationen (des W achsens und A bnehm ens) verw erten.

Zum Schluss m ögen noch einige technische A n ­ gaben P latz finden. M eine T afel h a t einen D urch­

m esser von nahezu 1,20 m — es d ü rfte sich jed o ch em pfehlen, diese noch etw as grösser zu nehm en, etw a 1,30 m. Ih re S cheibe S (F ig. 15, 16) w ird h in ten durch

F ^*4s

L

■ T

Fig. 15. F ig. 16.

H olzleisten (L ) gestützt u nd bew egt sieh m it einer eisernen L ag eru n g um einen achsialen D orn, d er an ein er (15 cm b reiten) T rä g e rla tte T b efestig t ist. E s fan d sich ein g eeig n e ter Schlosser und Tischler, die alles zur Z u fried en h eit n ach m einen A ngaben h er­

stellten ; besonders die D rehung fu n k tio n iert g la tt und geräuschlos, doch wird je tz t gewiss m anche technische E inzelheit noch besser h erg estellt werden.*) F ü r den G ebrauch in d e r Klasse w urde die L a tte T m it sechs k räftig e n S chrauben (in Fig. 16 angedeutet) an das H olzpaneel — nachdem ein d e r L a tte u b re ite e n t­

sprechendes S tü c k des vorspringenden R andes aus­

gesägt w orden w ar — geschraubt. Die T afel h a tte also ihren P latz u n m itte lb a r an d er W an d , neben d er alten rechteckigen T afel (die eigentlich h ä tte e n tfe rn t w erden können); sie kön n te n atü rlich ebensogut einen freien S ta n d o rt haben, wenn die L a tte T in ein ge­

kreuztes H olzstativ (iu Fig. 15 p u n k tie rt) eingelassen w ürde. F estg estellt — zum Z eichnen d e r F ig u ren — w urde die S cheibe d u rch eine kleine Flügelschraube F (F ig. 15). — Ic h benutzte die T afel im m athem atischen U n te rric h t d er Q u arta u n d U n te rte rtia — im A nfang,

*) D i e T a f e l w i r d v o n d e r F i r m a F . E r n c c k e , B e r l i u - T e m p e l - h o f , g e l i e f e r t .

1 9 0 6 . N o . 3 . No c h m a l s d i e n e g a t i v e n Fl ä c h e n. S . 5 7 .

cho sic ih ren festen S tand erhielt, auch in der O ber­

te r tia — und kann n u r günstiges von ih re r W irk u n g b e ric h te n ; dass ich über sic nichts frü h e r publizierte, lag an äusseren U m ständen. D er H a u p tw e rt der Tafel lieg t m eines E rachtens darin, dass bei ih rer V erw endung je n e B ew eglichkeit der A nschauung v o rb ereitet und z. T . schon entw ickelt w ird, die auszubilden eines der w ichtigsten Ziele dos ganzen m athem atischen U n ter­

rich ts ist.

N o c h m a ls d ie n e g a tiv e n F lä c h e n .

D rei w eitere M einungsäusserungen zu dieser Frage*).

I.

Von O s k a r L e s s e r in F ra n k fu rt a. M.

Mein in X I I , 1 (S. 10— 14) zum A b d ru ck ge­

b ra c h te r A rtik e l ü b e r negative F lächen h a t zu zwei w eiteren, in N r. 2 d. IJnt.-Bl. enthaltenen A rtikeln ge­

führt, deren V erfasser, H e rr Dr. W i e l e i t n e r und H e rr P rof. P i e t z k e f , s i c h m i t m i r z u d e r A n s i c h t b e k e n n e n , d a s s d i e B e r ü c k s i c h t i g u n g n e ­ g a t i v e r F l ä c h e n i m U n t e r r i c h t n i c h t z u i i m - g e h e n s e i . Das a b er ist die H auptsache. Denn hei d er A bfassung m eines A rtik els kam es m ir im w esent­

lichen n u r d arau f an, die N otw endigkeit d er B erück­

sichtigung negativer F läch en d u rch ein Beispiel aus d er P rax is zu illustrieren.

W ährend nun H e rr W i e l e i t n e r auch m it der B ehandlung d er gestellten A ufgabe, wie insbesondere m it d er D eutung der negativen F läche nach M ö b i u s einverstanden ist, leh n t es H e rr P i e t z k e r ab, das V orzeichen ein er F läche durch den U m laufssinn zu be­

stim m en und b eg rü n d et seinen S ta n d p u n k t dam it, dass ein er solchen V eranschaulichung negativer F lächen n u r eine sym bolische B edeutung beizum essen sei, und das, weil sie sich lediglich an eine gewisse iiusserliche U eber- einstim m ung h alte und den inneren Z usam m enhang n ich t zur G eltuug bringe. M it einer solchen A uffassung d er D inge kann ich m ich n ic h t e in v e rsta n d e n e rk lä re n ; ich m uss vielm ehr nach wie vor bei m einer D arstellung, als rich tig u nd — zulässig, beh arren .

D i e B e s t i m m u n g d e s V o r z e i c h e n s e i n e r F l ä c h e a u s d e m U m l a u f s s i n n g r ü n d e t s i c h a u f d i e D e f i n i t i o n d e s F l ä c h e n i n ­ h a l t e s a l s P r o d u k t a u s z w e i S t r e c k e n u n d s t e l l t i n j e d e m F a l l e f e s t , o b d i e b e i d e n F a k t o r e n g l e i c h e s o d e r e n t ­ g e g e n g e s e t z t e s V o r z e i c h e n b e s i t z e n . D e r U m l a u f s s i n n g i b t , b e i v o r h e r i g e r F e s t l e g u n g d e s p o s i t i v e n D r e h s i n n e s e i n e r S t r e c k e , d a s V o r z e i c h e n d e r F l ä c h e d i r e k t a n .

U m sich K la rh e it ü b er die Sachlage zu verschaffen, g en ü g t es, die V erhältnisse am D reieck zu untersuchen.

Denn w ir können stets ein vorliegendes Polygon (dessen U m laufssinn etw a durch einen d er S eite s beigesetzten P feil m a rk ie rt sein m ag) u n te r B eobachtung d er hier in F ra g e kom m enden M om ente durch A usstrecken von E cken in ein D reieck verw andeln so, dass der T räger d er Polygonseite s m it dem einer D reiecksseite zusam men­

fallt. D ann ist a b er d er Sinn des D reiecks genau d er­

selbe w ie der des gegebenen Polygons, wie auch die V orzeichen b eid er Flächen gleich sind.

Es kom m t danach unsere U ntersuchung auf die B estim m ung des V orzeichens an, das das P ro d u k t aus

*) S.T Jnt.-B l. X II, S. 10—14, 33-37.

G rundlinie un d H öhe eines D reiecks besitzt. Da w ird es n o t w e n d i g , den B egriff des positiven D r e h ­ s i n n s einzuführen. E s sei .1/ Ar, eine um M (in der E bene) dreh b are Strecke, die in d er G rundlage M N , von M nach N durchlaufen, positiv bew ertet w erden m öge. E rfo lg t n u n die D reh u n g stets nach links, also d er Bew egung des U hrzeigers entgegengesetzt (positiver D rehsinn), so erreich t nach einer D reh u n g von 1. — die S treck e die senkrechte L ag e M n ach ein er D re­

hung von 2. -- die M N entgegengesetzte Lage M N ,,, nach einer D rehung von 3. — die zu M N senkrechte 7 1

Lag& M N s ;die letztere h ä tte auch durch R e c h ts d r e h u n g (negativer D rehsinn) um 1. — aus d er G rundlage erhalten71

w erden können. Nun kann m an sofort die |u m linksgedrehte S treck e als positiv, die ih r entgegengesetzte, rech tsg ed reh te als negativ annehm en. Die W illk ü r d ieser A nnahm e verschw indet, w enn w ir uns des D reh ­ fak to rs i = Y — 1 für — *) bedienen, um die V orzeichen der gedachten Strecken zu bestim m en. Es ist dann näm lich

M Ar, = i ■ M N positiv

M N o = i ( i ■ M N ) — — M N negativ M N a — i (— M N ) — — i ■ M N negativ.

N ach diesen V oraussetzungen, die, zw ar unausge­

sprochen, auch m einer frü h e re n D arstellung zugrunde liegen, sind w ir ohne w eiteres im S tand, aus einem D reieck fü r die positive R ich tu n g ein er als G ru n d lin ie gew ählten Seite das V orzeichen d e r zugehörigen H öhe zu bestim m en. W ir bezeichnen die R ich tu n g der G ru n d ­ linie d u rch einen P feil u nd setzen einen nach der Spitze g erichteten P feil an die H öhe. I s t dann die H öhe du rch L ink sd reh u n g aus d er G rundlinie entstanden, so ist sie, u nd dam it der In h a lt d e r F ig u r, p o sitiv ; das is t ab er im m er d er F all, wenn die F läch e fü r den das D reieck U m laufenden zu r L inken liegt. I s t ab er die H ö h e durch R ech tsd reh u n g entstanden, lieg t also die Dreiecksfläche zur R echten, so ist die F läche negativ, weil (bei positiver G rundlinie) die H öbe negativ ist.

Bei dieser U n tersu ch u n g dürfen w ir je d e beliebige D reiecksseite als G rundlinie anselien; die entsprechende H öhe zu zeichnen, ist überflüssig, da ih r W e rt bereits aus der L ag e d e r F läche zur Seite bestim m t ist. Da­

m it ist ab er m eine, durch den D ruck hervorgehobeue B ehauptung üb er den U m laufssinn bew iesen; es ist be­

wiesen, dass w ir es im Umlaufssinn keineswegs m it einem Sym bol, sondern m it einem w ohlbegründeten, durchaus einw andfreien und u n trü g lich en K rite riu m zu tu n haben.

Ist nun d er E inw and des H e rrn P i e t z k e r g e ­ fallen, dass d ie B estim m ung des F lächensinns aus dem U m laufssinn unzulässig und unm athem atisch sei, so fallen d am it auch alle, gegen die D eutung d er R esu ltate u nd die Auffassung der Flächen erhobenen B edenken. V er­

sch ieb t od er d re h t m an eine F läche in d er E bene, so b leib t ih r V orzeichen u n g eü n d ert; dagegen „schlägt es u m “, sobald m au die F läch e „u m k lap p t“. U m zuklappen, ist g e sta tte t — m an denke n u r an die Beweise d er D reieckskongruenzsätze — ; sollte es unzulässig sein, von „um geschlagenen“ F lächen zu reden und w egen

* ) 5 i a n d e n k e a n d i e G a u s s s e h e D a r s t e l l u n g d e r k o m ­ p l e x e n Z a h l e n , a n G r a s s m a n n s . E r g ä n z u n g “ i n d e r E b e n e .

S . 5 8 . Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. J a h r g . X I I . N o . 3.

des w echselnden Zeichens V order- und R ückseite zu u n tersch eid en ? F reilich setzt das v o ra u s, dass die Schüler üb er die V erhältnisse o rie n tie rt sind u n d wissen, welche B ew andtnis es m it dem U m laufssinn hat.

A u f die E inzelheiten in den A usführungen des H e rrn P i e t z k e r einzugehcu, w ird überflüssig, da sich die A usstellungen nunm ehr von selbst erledigen. G erne erkenne ich an, dass m an in der D eutung negativer F lächen in dem einzelnen F alle g u t den V orschlägen des H e rrn P i e t z k e r folgen kann, muss a b er sogleich hinzufügen, dass diese V orschläge, genau betrach tet, g a r nichts neues e n th a lte n : ihre F lä ch en d e u tu n g stü tz t sich au f die B estim m ung des V orzeichens eines S treck en ­ p ro d u k ts gerad e so, wio diejenige aus dem F lächen­

sinn es tut.

A usserordentlich w ertvoll ersch ein t es m ir, A uf­

gaben rein g eom etrischer N a tu r in m öglichst allge­

m einer B ehandlung lösen zu lassen u nd zur U ntersuchung d e r n i c h t erw arteten R esu ltate anzuhalten. E in ängstliches A nklam m ern an den T e x t der A ufgabe w ährend der L ö su n g m ach t den S chüler zaghaft und jed en A usblick u n m ö g lich ; f r e i e B eh an d lu n g erzieht zur Selbständigkeit. H ie r setzt die erste eigene, wissen­

schaftliche B e tä tig u n g des Schülers e i n ; da heisst es denken, produzieren, S puren nachgehen, die einem zw ar noch unbekannten, ab er g erad e desw egen lockenden Ziele zuführen.

Die Schlussbem erkungen des A rtik els des H e rrn P i e t z k e r könnten den A nschein erw ecken, als habe ich eine unzutreffende In te rp re ta tio n des zitierten Satzes aus den M eraner V orschlägen gegeben. Ich habe den betreffenden Satz verbotenus w iedergegeben u nd hinzu­

g efügt, dass m it d e r Pflege des funktionalen D enkens a u f m öglichst früher S tufe begonnen w erden solle, wie d e r ausgearbeitete M eraner L eh rp la n , d e r j a heute jed erm an n zur V erfügung steht, und seine E rläuterungen das wünschen. W enn ich nun bezüglich d er T rap ez­

aufgabe (gerade bei ih rer H eranziehung habe ich jen en Satz zitiert) sagte, dass „sie b ereits in T e rtia b eh an d elt w erden k a n n “, „ a b e r d o c h e r s t a u f s p ä t e r e r S t u f e b e h a n d e l t w e r d e n m ö c h t e “, so h abe ich m ich, n ach dem Aufschluss, den uns H e rr P i e t z k e r in dankensw erter W eise ü b er S inn und T endenz jen es Satzes g ib t, m it den A bsichten d er U n terrich ts­

komm ission durchaus n ich t in W id ersp ru ch gesetzt;

m eine W o rte bew eisen vielm ehr, dass ich je n e n Satz genau in dem S inn ausgelegt habe, in dem ih n sein U rh eb er verstanden wissen will. Das hervorzuheben, bin ich gen ö tig t, um allen M issverständnissen, nicht allein bezüglich m eines A rtik els ü b e r negative F lächen, sondern auch m einer Infinitesim alrechnung, vorzubeugen.

Die Schlussw orte des H e rrn P ro f. P i e t z k e r bestätigen nur, dass ich m ich m it den A bsichten d er R efo rm in voller U ebereinstim m ung befinde.

II .

V on P . K i r c h b e r g e r in Fulda.

W enngleich ich den A usführungen des H e rrn L e s s e r in N r. I dieser Z eitsch rift in der H auptsache durchaus beistim m e, so h a t er doch m einer M einung nach n u r nachgew iesen, dass die E in fü h ru n g n eg ativ er F lächenw erte m öglich u nd durchaus w ünschensw ert ist, ab er er scheint m ir entschieden zu w eit zu gehen, w enn e r m eint, bei A blehnung negativer F lächen w erte w ürde

’die T heorie d er M axim a und M inim a unzuverlässig und lieferte bald falsche, b ald rich tig e R esultate. W enn der S chüler des H e rrn L e s s e r in dem zuerst an geführten

Beispiel e rw a rte t h at, das zu v ariierende R echteck w erde zweimal an den E n d p u n k ten des In terv alles fü r h — 0 und h — r ein M inim um annehm en, so w ar dies m einer M einung nach geradezu ein F e h le r; denn u n te r einem M inim um w ird doch definitionsm ässig n ich t schlechthin d er kleinste W ert verstanden, sondern ein W ert, der au f beiden Seiten von grösseren N achbarw erten um ­ geben ist. E s ist klar, dass nach dieser Definition ein M inim um an den E n d p u n k ten des Intervalls n ich t sta tth a t.

N un w urde freilich ein M inim um geliefert, das n ich t erw artet w urde, und dem eine anschauliche B e­

deu tu n g zunächst nicht zukom m t. A b er auch dies ist nach m einer M einung kein W iderspruch gegen die T heorie, denn d er V o rg an g bei d er B ehandlung dieser A ufgabe ist doch d er folgende: das Problem w ar zu­

nächst n u r anschaulich geom etrisch definiert. Die in d er analytischen B ehandlung au ftreteu d en G rössen um ­ fassen nun n ich t n u r die ursprünglich gem einten A n­

schauungsgrössen, sondern auch noch andere, u rsp rü n g ­ lich w eder gem einte, noch ü b erh au p t definierte (w egen d er negativen W erte von x ). Es ist nun in keiner W eise ein W id ersp ru ch , w enn ich d a ra u f verzichte, nun auch diese d u rch die analytische B ehandlung gegen die A b­

sich t des u rsprünglichen anschaulichen Problem s hinein­

gekom m enen negativen W e rte von x zu veranschau­

lichen. So w ird m an auch bei d er B ehandlung d e r K egel­

schnitte au f eine anschauliche D eutung d er kom plexen G rössen verzichten. D er W id ersp ru ch , entstand h ie r offenbar dadurch, dass d er S chüler n eg ativ e W erte fü r die G rundlinie x zuliess, die P ro d u k tfo rm el für den In h a lt des R echtecks w eiter anw andte, negative W erte fü r diesen In h a lt ab er trotzdem ausschliessen w ollte. Das ist n atürlich ein u n h altb arer S tan d p u n k t. W ill m an negative F lächenw erte ausschliessen, so m uss m an sieh bei d er geom etrischen In te rp re ta tio n d er analytischen R esu ltate au f B etrac h tu n g des In terv alls 0 < ^ x < ^ r beschränken, w ie cs auch m it dem nächsten anschau­

lichen S inn des P roblem s im E in k lan g steht.

M an kann nun den W unsch haben, die A nalogie zwischen d er analytischen B eh an d lu n g des P roblem s und der geom etrischen In te rp re ta tio n auch au f den Fall n eg ativ er W e rte von x auszudehnen. D ieser W unsch, so völlig g e re c h tfe rtig t er vom philosophischen, didaktischen o d er sonst welchem S ta n d p u n k t ans sein m ag, ist, m athem atisch b etrach tet, durchaus w illkürlich;

lässt m an ihn jed o ch einm al zu, so w ird die E in fü h ru n g n eg ativ er F lächen allerdings notw endig. J e d e r Dis­

kussion ü b e r das V orzeichen eines F lächenw ertes muss nun, m eine ich, eine allgem eine Definition des F läch en ­ w ertes selbst vorangehen. M an w ird dann zunächst einen S tan d p u n k t w ählen m üssen, von dem aus die neue D efinition gegeben w erden kann. E s lässt sich nun zeigen, dass alle nach träg lich en E rw eiteru n g en m athem atischer Begriffe so geschehen, dass ein b e ­ stim m tes, früher gültiges G esetz nach E in fü h ru n g der erw eiterten B egriffe seine G ü ltig k eit behält. Bei der A usdehnung d er M u ltip lik atio n au f negative G rössen und d e r D efinition (— 1) . (— l) = 1 ist es das dis­

trib u tiv e Gesetz, b ei der E in fü h ru n g n eg ativ er u nd ge­

b ro ch en er E xpo n en ten sind es gewisse Potenzregeln, bei d er In d en tifik atio n des V orzeichens m it der R ich tu n g in d er G eom etrie ist es die G leichung A C + B C — A B, die in jed em F alle au frech t erh alten w erden sollen.

W elches ist nun das P o stu lat, das bei E rw eite ru n g des Flächenbegriffes aufgestellt w ird ? D er H e rr H e ra u s­

geb er sch ein t a u f dem S tan d p u n k te zu stehen, dass die