J a h r g a n g X I I .
I n t e r r i c h t s b l ä t t e r
1906. N o . 5.
für
Mathematik und Naturwissenschaften.
O r g a n d e s V e r e i n s z u r F ö r d e r u n g
d e s U n t e r r i c h t s in d e r M a t h e m a t ik u n d d e n N a t u r w i s s e n s c h a f t e n .
B e g r ü n d e t u n t e r M i t w i r k u n g v o n B e r n h a r d S c h w a l b e , herausgegeben von
F . P i e t z k e r ,
Professor am Gymnasium zu Nonlliausen.
V e r l a g v o n O t t o S a l l e i n B e r l i n W. 3 0 . Redaktion: Alle fü r die Redaktion bestimmten M itteilungen und
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gänge sind durch den Verlag bez. eineBuchhdlg. zu beziehen.
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I n h a l t : (Jeher das E x p erim en t im A ltertu m u nd M ittelalter. V on E . W i e d e m a n n in E rlangen, F o rtsetzu n g (S. 97). -— D er Zahl- u nd M engebegriff im U n terrich t. V on Dr. H. W i e l e i t n e r in S peyer (S. 102), D ie A nw endbarkeit der Sim psonseben Regel, gleichzeitig eine V erallgem einerung des A rchim edischen Satzes Von 0 . N i t s e h e in C harlo tten b u rg (S. 110). — E rsa tz fü r S chülerübungen. Von H . R ü h l - m a n n in H alle a. S. (S. 113). — Schul- und U niversitäts-N achrichten [N aturw issenschaftlicher F e rie n kursus an d er K öniglichen A kadem ie zu I ’osen] (S. 114). — V ereine und V ersam m lungen [U nterrichts
kom m ission d er G esellschaft D eutscher N aturforscher und A erzte ; d er deutsche G eographentag u nd die U nterrichtskonnnission d er N aturforscher-G esellschaft; Technolexikon des V ereins D eutscher Ingenieure]
(S. 114). — L ehrm ittel-B esprechungen (S. 115). — B ücher-B esprechungen (S. 115). — Z u r B esprechung eingetroffene B ücher (S. 116). — A nzeigen.
U e b e r d a s E x p e r i m e n t i m A l t e r t u m u n d M i t t e l a l t e r .
V o rtra g au f d er H auptversam m lung zu E rlangen von E . W i e d e m a n n (E rlangen).
(Fortsetzung.)
W i r w e n d e n u n s n u n z u d e n V e rs u c h e n , d ie z u r A u f f i n d u n g b e z ie h u n g s w e is e z u r B e s t ä t i g u n g v o n e in fa c h e n G e s e tz e n g e d ie n t haben.
A l s e rs te s B e is p ie l w o lle n w ir d en H e b e l b e h a n d e ln . S e in e T h e o r ie is t sc h o n in d en f i y / j i v t y . ä , d ie w a h r s c h e in lic h n ic h t v o n A r i s t o t e l e s se lb st, s o n d e r n a u s s e in e r S c h u le sta m m e n , u n d v o r a lle m bei A r c h i m e d e s n ie d e rg e le g t. W e it e r e A u s b a u t e n fin d e n s ic h in S c h r if te n , d ie z u m T e il m it E u k l i d s N a m e n b e le g t s in d u n d d ie u n s n u r a r a b is c h e rh a lt e n sind . D i e t ä g lic h e E r f a h r u n g m u s s t e a u f d as H e b e lg e s e t z in s e in e r e in fa c h s te n F o r m fü h re n , n ä m lic h d a s s m a n d u r c h K r a f t a u f w a n d a n e inem la n g e n H e b e la r m e ine e n ts p re c h e n d g r ö s s e r e W i r k u n g a n e in e m k u r z e n a u stib e n k a n n . D ie V e r w e n d u n g d e s H e b e ls b e im S c h ö p f b r u n n e n , bei d em T r a n s p o r t v o n M a s s e n , b e i z a h lre ic h e n W e r k z e u g e n beruht, ja a u f d ie s e r E r f a h r u n g .
D e r S a tz , d a s s b e im g le ic h a r m ig e n H e b e l n u r d a n n G l e ic h g e w ic h t v o r h a n d e n ist, w e n n K r a f t g le ic h L a s t ist, h a tte b e i d e n g le ic h a r m ig e n W a g e n V e r w e n d u n g g e fu n d e n . S c h o n b e i d en H e b r ä e r n s c h e in t a u c h e in e u n g le ic h a r m ig e W a g e v e r w a n d t w o r d e n z u sein, d ie d a n n s p ä t e r im m e r m e h r in G e b r a u c h k a m u n d - d e n N a m e n rö m is c h e W a g e trä g t. Z a h lr e ic h e s o lc h e r W a g e n s in d in P o m p e j i e r h a lt e n ; sie s in d a b e r w o h l s ic h e r s c h o n v o n d e n G r ie c h e n b e n u t z t w o rd e n . B e i d ie se n V o r r ic h t u n g e n is t a b e r w a h r s c h e in lic h , d a s s s c h o n e ine v o llk o m m e n e K e n n t n is d es a ll
g e m e in e n H e b e lg e s e t z e s v o r la g . B e i d e r P r ü f u n g d e s H e b e lg e s e t z e s w a r e n s ic h e r e x p e rim e n te lle V e r s u c h e u n d th e o re tis c h e E n t w i c k e lu n g e n H a n d in H a n d g e g a n g e n . D i e s fin d e t s c h o n d a r in se in e n A u s d r u c k , d a s s f ü r b e s t im m t e Z w e c k e d ie v o rh a n d e n e n W a g e n f o r m e n in p a s s e n d e r W e is e a b g e ä n d e r t w u rd e n , w ie d ie s b e i W a g e n z u r spec. G e w ic h t s b e s t im m u n g d e r F a l l ist, die, n a ch a ra b is c h e n Q u e lle n , v o n A r c h i m e d e s u n d a l R f t z i h e r g e s t e llt w u rd e n .
A u f e ine v o llk o m m e n e B e h e r r s c h u n g d es H e b e lg e s e t z e s u n d d e r L e h r e v o m S c h w e r p u n k t
S . 9 8 . Un t e r r i c h t s b l ä t t k r. J a h r g . X I I . N o . 5 .
w e is t ü b e r h a u p t d ie K o n s t r u k t i o n u n d P r ü f u n g d e r W a g e n h in , w ie d ie s z u m B e is p ie l a u s dem W e r k v o n a l C h a z i n i ü b e r d ie W a g e d e r W e is h e i t u n d d e m W e r k e d e s B i s c h o f s E l i j a v o n N i s i b i s ü b e r d ie G e w ic h t e u n d M a s s e lie rv o rg e lit .
D a s s m a n b e i dem S c h w e r p u n k t a u c h an e x p e rim e n te lle B e s t im m u n g e n h e r a n g in g , z e ig t e in A b s c h n i t t a u s d e r E n c y k lo p ä d i e v o n a l A n s ä r i , w o es lie is s t : D i e W i s s e n s c h a f t v o n d e n S c h w e r p u n k t e n , (d e n M it t e lp u n k t e n d e r L a s t e n , d. h. d e r G e w ic h t e ) b e h a n d e lt, w ie m a n d e n S c h w e r p u n k t e in e s u n t e r s t ü t z t e n K ö r p e r s findet. U n t e r d e m S c h w e r p u n k t v e r s t e h t m a n e in e n G r e n z p u n k t in n e r h a lb d e s K ö r p e r s , b ei dem e r im G le ic h g e w ic h t ist, u n d z w a r d u rc h B e z i e h u n g z u m t r a g e n d e n K ö r p e r . D e r N u t z e n d ie s e r W i s s e n s c h a f t b e r u h t a u f d e r K e n n t n is , w ie m a n d a s G l e ic h g e w ic h t g r ö s s e r K ö r p e r m it k le in e r e n h e r s t e llt d a d u rc h , d a s s m a n d en A b s t a n d b e r ü c k s ic h t ig t , w ie b e i dem Q a r a s t ü n (e in e r A r t S c h n e llw a g e ) .
Z a h lr e ic h e V e r s u c h e u n d K o n s t r u k t i o n e n v o n In s t r u m e n t e n s in d s ic h e r b e i d e r tie fe re n B e g r ü n d u n g d e r T h e o r ie d e r e in fa c h e n M a s c h in e n u n d d e re n A n w e n d u n g a n g e s t e llt w o rd e n . D i e A n g a b e n v o n H e r o n , d e r h ie r w o h l a u c h z u m g r o s s e n T e il ä lte re s z u s a m m e n fa ss t , la s s e n u n s d a s d e u t lic h e rk e n n e n . E r b e s c h r e ib t a u ch d ir e k t A p p a r a t e , d ie a u f G r u n d s e in e r A n s c h a u u n g e n k o n s t r u ie r t s in d , u n d le g t s ic h b e o b a c h te te E r s c h e in u n g e n , w ie d ie W i r k u n g d e s H e b e ls b e im Z ie h e n d e r Z ä h n e , n a c h ih n e n zu re c h t.
D a s s e lb e P r o b le m , w ie d a s d e s F la s c h e n z u g e s u n d d e r K o m b i n a t i o n — v o n F la s c h e n z u g.
u n d H e b e l w e r d e n an d e n v e r s c h ie d e n s t e n A n o r d n u n g e n e rlä u te rt. V o llk o m m e n k ö n n e n w ir d a s e r s t s e it k u r z e m ü b e rse h e n , s e it w ir n ic h t a lle in m e h r a u f d ie A u s z ü g e b e i P a p p o s u sw . a n g e w ie s e n sin d , s o n d e r n d a s g a n z e W e r k d e s H e r o n , d e r B a r h u l k o s , im a r a b is c h e n T e x t m it d e u t s c h e r U e 'b e r s e t z u n g v o r lie g t . D i e v ie l
fa c h e Z it i e r u n g d e s W e r k e s v o n d en A r a b e r n u n d a u c h v o n d em K ö n i g A l f o n s v o n K a s t ilie n z e ig t , w e lc h e g r o s s e R o lle es g e s p ie lt h a t. D i e T h e o r ie d e r s ie b e n e in fa c h e n M a s c h i n e n (H e b e l, R o lle , W e llr a d , F la s c h e n z u g , sc h ie fe E b e n e , S c h r a u b e , K e i l ) h a t P a p p o s ( C o lle c t io n e s ed.
Il u l t s c h B d . 3 ) in s o s y s t e m a t is c h e r u n d a u s g ie b ig e r W e i s e b e h a n d e lt, d a s s d ie sp ä te re n L e h r b ü c h e r n ic h t m e h r v ie l h in z u z u f ü g e n hatte n.
D a s s d a s f ü r d ie P h y s i k s o h o c h b e d e u tsa m e W e r k v o n A r c h i m e d e s ü b e r d ie s c h w im m e n d e n K ö r p e r v o n E x p e r im e n t e n a u s g e h t , e r g ib t s ic h a u s e in e m d em g a n z e n W e r k v o r a n g e s t e llt e n T h e o r e m *), d a s a b e r n u r a r a b is c h e rh a lt e n ist,
h e rv o r. E s le g t d en B e g r i f f d es s p e z ifis c h e n G e w ic h t e s fest, d e r d u r c h a u s a u f e x p e r im e n te lle r B a s i s a u fg e b a u t ist. E s sei, da es n u r w e n ig b e k a n n t ist, h ie r m itg e te ilt.
„ E s g i b t fe ste u n d f lü s s ig e K ö r p e r , v o n d e n e n d ie e in e n s c h w e r e r als d ie a n d e re n sin d . M a n s a g t , d a s s ein K ö r p e r s c h w e r e r a ls ein a n d e re r ist, o d e r d a s s eine F l ü s s i g k e i t s c h w e r e r a ls e ine a n d e re ist, o d e r d a ss ein K ö r p e r s c h w e r e r a ls e ine F l ü s s i g k e i t ist, falls, w e n n m a n v o n je d e r d e r b e id e n e in g le ic h e s V o lu m e n n im m t u n d m a n sie w ie g t , m a n findet, d a s s d e r e ine s c h w e r e r a ls d e r a n d e re ist. S i n d ih r e G e w ic h t e g le ic h , so s a g t m a n n ic h t, d a s s d e r eine s c h w e r e r a ls d e r a n d e re i s t . “
D e u t lic h t r it t fe r n e r d e r U n t e r s c h ie d z w is c h e n s p e z ifis c h e m G e w ic h t u n d G e s a m t g e w ic h t h e rv o r.
H a lt e n w i r d ie se D e f in it io n v o m s p e z ifisc h e n G e w ic h t z u s a m m e n m it d e n A u s f ü h r u n g e n ü b e r s c h w im m e n d e K ö r p e r , s o s c h e in t m ir, d a s s a u ch b e i le tz te re n A r c h i m e d e s v o n E x p e r im e n t e n a u s g e g a n g e n ist, b e z ie h u n g s w e is e s e in e R e s u lt a t e e x p e r im e n te ll b e s t ä t ig t hat.
E s g i l t d a s v o r a lle m v o n d en P r o p ö s i- tio n e n I I I u s w . im ei’ste n B u c h , d ie ü b e r d as S c h w im m e n b e z ie h u n g s w e is e d ie T ie fe d e s E i n ta u c h e n s u n d d e n G e w ic h t s v e r lu s t h a n d e ln . G e r a d e d e n le tz te re n S a t z h a t A r c h i m e d e s g e w is s , ehe e r ih n z u s p e z ifis c h e n G e w ic h t s b e s t im m u n g e n v e rw a n d te , g e p rü ft . B e i d e r D a r s t e llu n g k e h r t e r fr e ilic h d ie S a c h e um . A u s d em o b e n a n g e f ü h r t e n T h e o r e m u n d e inem P o s t u l a t w e r d e n z u n ä c h s t z w e i a llg e m e in e P r o p o s it io n e n a b g e le it e t u n d d a n n d ie S p e z ia lfä lle d e s S c h w im m e n s u n d U n t e r t a u c h e n s --e rö rte rt.
M i c h e rin n e rt die' A r c h im e d is c h e B e h a n d lu n g s w e is e v ie lf a c h an d ie m e in e s v e re h rte n L e h r e r s K i r c h h o f f . E r e rö rte rt e d ie se P r o b le m e in f o lg e n d e r W e i s e : E r n a h m an, d a s s in d e r im G le ic h g e w ic h t b e fin d lic h e n F l ü s s i g k e it ein T e il o h n e A e n d e r u n g d e s V o lu m e n s fe st w u r d e ; d a n n w u r d e d a s G le ic h g e w ic h t n ic h t g e stö rt.
E i n a n d e re r, w o h l a u c h v o n A r c h i m e d e s h e rrü h r e n d e rj n u r n o c h la t e in is c h ü b e r lie fe rte r S a tz , d a s s e in K ö r p e r in e in e r F l ü s s i g k e i t v o n g le ic h e m s p e z ifis c h e n G e w ic h t n ic h t s w ie g t , is t a u c h w o h l e x p e r im e n te ll b e g r ü n d e t w o rd e n .
W e n ig s t e n s m it e in e m W o r t e se i d e r A k u s t i k 2) g e d a c h t. — D e r g e s e t z m ä s s ig e Z u s a m m e n h a n g z w is c h e n T o n h ö h e u n d S a it e n lä n g e , w ie ih n d ie P y t h a g o r ä e r a u fs te lit e n , k o n n t e n u r d u r c h B e o b a c h t u n g e n u n d V e r s u c h e g e w o n n e n w e rd e n . D a z u d ie n te d e r M o n o c h o r d , d e sse n E n t d e c k u n g P y t h a g o r a s s e lb s t z u g e s c h rie b e n w ir d u n d d e r w ä h r e n d d e s g a n z e n M it t e la lt e r s
--- 2) V ergl. hierzu G. K a n z o w , ‘ P ro g ram m des 1) H . Z o t e n b e r g , I .a s ia t.(7 ser.)B d. 13, S.509. 1879. G ym nasium s zu G um üiunen 1894.
1 9 0 6 . N o . 5. Üb e r d a s Ex p e r i m e n t i m Al t e r t u m u n d M i t t e l a l t e r. S . 9 9 .
b e im m u s ik a lis c h e n U n t e r r ic h t V e r w e n d u n g fand.
M i t ih m e rm itte lte P y t h a g o r a s d ie B e z ie h u n g e n z w is c h e n L ä n g e , S p a n n u n g u n d D i c k e d e r S a it e e in e rse its u n d d e r T o n h ö h e d e rse lb e n a n d e rse its.
W e it s o r g f ä lt ig e r e V e r s u c h e m u s s t e n a b e r a n g e s t e llt w e rd e n , u m z u dem a llg e m e in e n E r g e b n i s zu g e la n g e n , d a ss d e n h ö h e re n T ö n e n V e r m e h r u n g d e r B e w e g u n g e n e n t s p r ic h t u n d zu d e m sp e zie lle n , d a ss K o n s o n a n z e n ts te h t (a. a. 0 . S 6), w e n n d ie S c h w in g u n g s z a h le n d e r b e id e n T ö n e in ra t io n a le m V e r h ä lt n is s e ste h e n . D a r a u s e r g ib t s ic h d an n , d a s s dem a u s g e h e n d e n g r ie c h is c h e n A lt e r t u m d ie T a t s a c h e b e k a n n t w a r, d a s s d ie S c h w i n g u n g s z a h le n im u m g e k e h rt e n V e r h ä lt n is d e r L ä n g e d e r S a it e n ste he n.
D ie L e h r e v o m S e h e n w ie vo m H ö r e n w u rd e bei A r i s t o t e l e s b e s t im m t d u r c h A n s c h a u u n g e n , d ie e r im e rste re n F a l l d a h in p r ä z is ie r t :
„ D a s S e h e n is t ein „ Q u ä le “ , w e lc h e s d a d u rc h z u m A u g e g e la n g t , d a s s d ie L u f t in e in en b e st im m t e n Z u s t a n d v e r s e t z t w ir d . “
I n d e r O p t i k , e in e m G e b ie t, ü b e r d a s u n s e in e g a n z e R e ih e v o n A b h a n d l u n g e n e rh a lt e n ist, h a b e n z a h lr e ic h e s y s t e m a t is c h e V e r s u c h e s t a tt g e fu n d e n . I n ih m s in d d ie M e s s u n g e n a u ch re la t iv le ic h t a n z u s t e lle n ; d e r S t r a h l k a n n o h n e w e ite re s v e r f o lg t w e rd e n u n d R e i b u n g s w id e r s t ä n d e t r ü b e n n ic h t w ie in d e r M e c h a n ik d ie E in z e lr e s u lt a te .
A u f w ir k l ic h e B e o b a c h t u n g e n w e ise n s c h o n e in z e ln e S t e lle n in E u k l i d s O p t ik h in : ein W e r k , d a s ja e ig e n t lic h n u r d ie F r a g e b e h a n d e lt, u n te r w e lc h e m G e s ic h t s w in k e l G e g e n s t ä n d e , L i n ie n u n te r den v e r s c h ie d e n s t e n U m s t ä n d e n e rsc h e in e n , d a s h e isst, f ü r w ie g r o s s w ir sie ha lte n. D a h e r h e iss t b e i d en A r a b e r n d as W e r k a u c h K i t ä b a l M a n ä z i r , d a s B u c h d e r „ A n s i c h t e n “, d e r P e r s p e k t iv e . — E i n e R e ih e v o n V e r s u c h e n e n th ä lt d ie E i n l e i t u n g d e s T h e o n v o n A l e x a n d r i a (ca. 3 5 0 n. C h r.) z u r O p t i k d es E u k l i d , d ie s ic h a u f d ie g e r a d lin ig e F o r t p f la n z u n g d e s L ic h t e s , d ie E n t s t e h u n g v o n S c h a t t e n b e z ie h e n . D u r c h V e r s u c h e is t a u c h d a s G e s e tz d e r G le ic h h e it d e s E i n f a l l s w i n k e l s u n d R e f le x io n s w in k e ls a u fg e f u n d e n w o rd e n . P t o l e m a e u s p r ü f t d ir e k t an e in e m A p p a r a t e d ie R i c h t i g k e i t d es S a tz e s . I h n a l H a i t a m u n d R o g e r B a c o h a b e n g le ic h f a lls M e s s u n g e n a n g e ste llt.
D a s s a u c h d e r V e r f a s s e r d e r K a t o p t r ik , d ie f r ü h e r E u k l i d z u g e s c h r ie b e n w u r d e u n d die v o r a lle m d ie S p ie g e l b e h a n d e lt, e x p e rim e n tie rte , z e ig t d ie M i t t e i l u n g e in e s g a r n ic h t in den Z u s a m m e n h a n g p a s s e n d e n V e rs u c h e s , v ie lle ic h t ein R e s t d e r K a t o p t r i k d e s A r c h i m e d e s . „ Is t e in G e g e n s t a n d in ein G e f ä s s g e le g t u n d i s t letzteres»- d a n n s o w e it e ntfern t, d a s s m a n ih n n ic h t m e h r sie h t, so s ie h t m a n ih n w ie d e r,
w e n n m a n b e i d e rse lb e n E n t f e r n u n g W a s s e r in d a s G e f ä s s g ie s s t . “
D i e K a t o p t r i k s t e llt z u n ä c h s t e ine R e ih e v o n e x p e rim e n te lle n E r g e b n i s s e n a ls V o r a u s s e tz u n g e n a n d ie S p it z e u n d le ite t a u s ih n e n d a n n m a t h e m a tis c h d as ab, w a s an d e n v e r s c h ie d e n e n S p ie g e la r t e n b e o b a c h t e t w ir d , in ä h n lic h e r W e is e w ie a u c h w ir v e rfa h re n .
B e s o n d e r s z a h lre ic h s in d M i t t e ilu n g e n ü b e r H o h l s p i e g e l e rh a lte n .
A u f d ie K e n n t n is d e r B r e n n s p ie g e l is t m a n w o h l z u n ä c h s t d u r c h d ie t ä g lic h e B e o b a c h t u n g ü b e r d ie R e f le x io n d e r S t r a h le n an K r e is b ö g e n , w ie sie z u m B e is p ie l b ei G lä s e rn , B e c h e r n u sw . a u ftre te n , g e k o m m e n , o d e r b ei H o h lg e fä s s e n , w ie es z u m B e is p ie l bei e in e m a r a b is c h e n D i c h t e r h e is s t : „ E s w ir d g e s a m m e lt in d em S c h w a r z e n w ie L i c h t “ , u n te r d em S c h w a r z e n is t ein a u s g e p ic h t e s G e f ä s s v e rsta n d e n .
D i e T h e o r ie se tz t z u n ä c h s t in e ig e n t ü m lic h k o m p liz ie r t e r , a b e r s ic h a n d ie N a t u r a n s c h lie s s e n d e r W e is e ein. S i e b e h a n d e lt n ic h t p a r a lle le S t r a h le n , s o n d e r n so lc h e , d ie v o n e in e m P u n k t a u sg e h e n , a u c h b e i B e t r a c h t u n g d e r S o n n e . D a a u ss e rd e m v o m le u c h t e n d e n P u n k t s t i ll
s c h w e ig e n d a n g e n o m m e n w ird , d a s s d ie P u n k t e e n tfe rn te r a ls d e r K u g e l m i t t e lp u n k t lie g e n , so is t d ie s e r d ie G r e n z e fü r d ie S c h n it t p u n k t e d e r re fle k t ie re n d e n S t r a h le n m it d em d u r c h den le u c h t e n d e n P u n k t g e z o g e n e n . S o e r k lä r t es sic h , d a s s d e r B r e n n p u n k t in d e r E u k l i d z u g e s c h rie b e n e n K a t o p t r i k in d e n M i t t e l p u n k t d e r K u g e l g e le g t w i r d . 1)
N a c h e in e m F r a g m e n t d e s A n t h e m i n s h a t n u n A p o l l o n i u s in se in e m W e r k ü b e r d ie B r e n n s p ie g e l (o d e r „ g e g e n d ie K a t o p t r i k e r “) d ie se n S a t z w id e r le g t u n d d e u t lic h g e m a c h t, w o d e r B r e n n p u n k t lie gt.
I s t ein T e il d e s H o h ls p i e g e ls
A B C
9 0 G r a d u n dD E = \ D B,
so lie g e n b ei e in fa lle n d e n p a r a lle le n S t r a h le n d ie S c h n it t p u n k t e a lle r anA B C
re fle k t ie r e n d e n S t r a h le n z w is c h e nE
u n dF.
A J e n ä h e r
E
anF
lie g t, u m so v o llk o m m e n e r i s t d e r B r e n n s p ie g e l. I m A n s c h l u s s a n s o lc h e G e d a n k e n g ä n g e m e in t n u n Z e u t h e n , hä tte A p o l l o n i u s d e n p a r a b o - lo id is c h e n B r e n n s p ie g e l fin d en k ö n n e n .t Z e u t h e n g la u b t, d a ss
F ig . m a n n ic h t v o m S t u d iu m d e r s p h ä r is c h e n u n d e v e n t u e ll d e r e llip t i
s c h e n B r e n n s p ie g e l a u s g e g a n g e n sei, s o n d e rn d a ss m a n u m g e k e h r t , n a c h d e m m a n d u r c h E n t d e c k u n g d es S a t z e s ü b e r B r e n n p u n k t e d ie A n
l) Z e u t h e n , Die L eh re von den K egelschnitten im A ltertum . K openhagen 1886. S. 376.
S . 1 0 0 . Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. J a h r g . X I I . N o . 5 .
w e n d b a r k e it p a r a b o lo id is c h e r H o h l s p i e g e l n a c h g e w ie s e n , u n te r su c h t e , in w ie w e it d ie le ic h t e r k o n s t r u ie r b a r e n s p h ä r is c h e n H o h ls p i e g e l a n ih re S t e lle tre te n k ö n n t e n .
Z e u t h e n v e r m u t e t fe rner, d a s s A r c h i m e d e s in e in e r in m in im a le n F r a g m e n t e n e r
h a lte n e n S c h r if t ü b e r K a t o p t r i k z u e r s t die K o n s t r u k t io n p a r a b o lo id is c h e r S p ie g e l m it g e te ilt h a b e u n d m e in t, o b n ic h t d ie h e r v o r r a g e n d e S c h ö n h e it d ie s e r E r f i n d u n g d ie Q u e lle f ü r d ie S a g e g e w e s e n ist, d a s s A r c h i m e d e s d ie r ö m i sc h e F lo t t e d u r c h B r e n n s p ie g e l in B r a n d g e s t e c k t h a b e .1) D i e s i s t e in e „ S a g e “ . W i e a b e r ein s e lb s t a u f d ie s a g e n h a f te n T a t e n s e in e r M ä n n e r s to lz e s V o l k h is t o r is c h e U n w a h r h e it e n v e r e w ig t , z e ig t d ie S t a t u e d e s A r c h i m e d e s in S y r a k u s , d e r e in e n B r e n n s p ie g e l in d e r H a n d hält. D i e S t a t n e t r ä g t d ie U n t e r s c h r if t : In v e n t o s p e c u lo n a v e s R o m a n a s in c e n d it.
D i e H e r s t e l l u n g p a r a b o lo id is c h e r S p ie g e l h a t I h n a l H a i t a r n a u f d a s g e n a u e s t e b e sc h rie b e n , n a c h d e m e r v o r h e r ih r e T h e o r ie m it g e t e ilt hat.
V o n d e m se lb e n a ra b is c h e n G e le h r te n i s t a u ch d ie L e h r e v o n d e n s p h ä r is c h e n H o h ls p i e g e ln e in g e h e n d e n t w ic k e lt , w o b e i e r d ie lo n g it u d in a le A b w e i c h u n g in a llg e m e in e r F o r m a u fw ie s. U m d ie se z u v e rm e id e n , se tz t e r s e in e S p ie g e l a u s e in e r R e ih e v o n s p h ä r is c h e n R i n g e n z u s a m m e n ; d ie R a d ie n d e r K u g e l n , a u s d e n e n sie a u s g e s c h n it t e n w e rd e n , s in d u m s o g r ö s s e r , je w e it e r d ie R i n g e v o n d e r A c h s e e n tfe rn t sin d , u n d um s o w e it e r lie g e n d ie K r ü m m u n g s m it t e lp u n k t e v o n d e m S c h n i t t p u n k t e d e r A c h s e m it dem S p ie g e l e n tfe rn t. I b n a l H a i t a r n b e w ir k t e d a d u rc h , d a s s d ie P u n k t e E u n d F f ü r S p ie g e l m it b e lie b ig g r ö s s e r Ö e ff n u n g a u f einer" k le in e n S t r e c k e z u s a m m e n lie g e n .
I b n a l H a i t a r n g i b t a u c h an, w ie m an s o lc h e S p ie g e l a n f e r t ig t ; d a b e i b e s c h r e ib t er Z ir k e l, u m d ie g r o s s e n K r e is e z u ze ic h n e n . A u f e in e r R e ih e v o n S t a h lb le c h e n a . b , c w e r d e n d a n n aus K r e i s b ö g e n z u s a m m e n g e se t z te B ö g e n , w ie s ie d e r o b ig e n K o n s t r u k t i o n e n tsp re c h e n , a u fg e z e ic h n e t u n d a u s g e s c h n it t e n . D i e a n d ie B ö g e n a n s t o s s e n d e n R ä n d e r d e rse lb e n w e r d e n d e r R e ih e n a c h s o z u F e il e n z u g e h a u e n , d a s s d a s B le c h b e in e fe in e re F e ile a ls a d a r st e llt u s w . u n d m it d e n F e il e n d a n n a u f d e r D r e h b a n k e in a n d e re s S t ü c k M e t a ll a u sg e d re h t.
D a s s s p h ä r is c h e H o h ls p i e g e l v o n so lc h e n , d ie s ic h m it ih r e r T h e o r ie b e fa sst, im A lt e r t u m h e r g e s t e llt w u rd e n , w is s e n w ir v o n A n t h e m i u s , d e r s ie b e n u tzt, u m s e in e n N a c h b a r n Z e n o n in S c h r e c k e n z u v e rse tz e n . D a s s in d e r O p t i k
!) A u f die K onzentration d er L ich tstrah len durch K om binationen von ebenen Spiegeln soll h ier n ic h t ein- gegangen w erden. Solche h a t A n t h e m i u s (Paradox- ogr. G raeci ed. W e s t e r m a n n , S. 149 ff.) hergestellt, d er auch H ohlspiegel a n fe rtig te (B eiträge V, §. 403).
s e lb s t da, w o s ic h a lle s a u s d e n e in fa c h e n G e se tze n ü b e r S e h w in k e l u n d R e f le x io n e rg ib t, n o c h m e h r a ls in d e r M e c h a n i k d e r V e r s u c h h e r v o r t r it t , lie g t in d e r g r ö s s e r e n A n s c h a u l i c h k e it d e r E r s c h e i n u n g u n d in d e r g r ö s s e r e n M a n n i g f a l t i g k e it d e r P ro b le m e .
A u f d ie se n g a n z e n G e b ie t e n fin d e n w ir also, w e n n ic h n ic h t irre , e ine re g e e x p e rim e n te lle B e t ä t ig u n g , s o b a ld w ir u n s n ic h t d u r c h d ie d o g m a t is c h e B e h a n d lu n g tä u s c h e n lasse n.
I m e in z e ln e n b le ib e n u n s V e r s u c h s r e s u lt a t e e rh a lte n , s o b a ld s ic h k e in e a llg e m e in e n G e se tz e a u s d en B e o b a c h t u n g e n e rge b e n .
I n d e n 7 0 er J a h r e n m u s s te m a n s ic h n o c h m it a lle n d e n e in z e ln e n A b w e ic h u n g e n v o n d en G a s g e s e t z e n b e s c h ä f t ig e n u n d a u c h in e le m e n ta re n L e h r b ü c h e r n d ie T a b e lle n m itte ile n . S e it a b e r V a n d e r W a a l s s e in a llg e m e in e s G e s e tz a u fg e s t e llt, dem s ic h e t w a s a b g e ä n d e rte a n s c h lo ss e n , d ie m it g r o s s e r - A n n ä h e r u n g d ie V e r s u c h s r e s u lt a t e w ie d e rg e b e n , is T O lä s - n i c h t m e h r n ö t ig . A u c h m u s s im a llg e m e in e n da, w o es s ic h n ic h t u m P r ü f u n g v o n G e s e tz e n h a n d e lt, d ie m an a p r io r i f ü r r i c h t i g h ä lt, d ie M e s s u n g e ine w e it g e n a u e re se in . I s t k e in e a lle Z a h l e n w e r te u m fa sse n d e F o r m e l g e fu n d e n , so w e rd e n in T a b e lle n d ie z u s a m m e n g e h ö r ig e n W e r t e ü b e r lie fe rt.
A u s d em A l t e r t u m u n d M it t e la lt e r k o m m e n h ie r z w e i G e b ie t e in B e t r a c h t ; b e i d e m e in e n h a n d e lt es s ic h u m B e o b a c h t u n g e n , b e i d em a n d e re n u m M e s s u n g e n .
B e o b a c h t u n g e n in u m f a ss e n d s t e m M a s s e h a b e n d ie A l t e n w ie die. A r a b e r in d e r A s t r o n o m ie a n g e s t e llt u n d z a h lre ic h e T a b e lle n le g e n Z e u g n is v o n i h r e r e m s ig e n T ä t i g k e i t ab. W e n n P t o l e m a e u s n u r v o n ca. 1 0 0 0 F i x s t e r n e n d ie P o s it io n e n a n g ib t , s o s in d d ie s e b e n d ie d e r v o n ih m g e n a u fe s tg e le g te u F u n d a m e n t a ls t e r n e . W o h l s tü t z e n s ic h d ie A r a b e r a u f d ie se n g r o s s e n A s t r o n o m e n , a b e r a n d e n S t e r n w a r t e n in d e n v e r
s c h ie d e n s t e n T e ile n d e s L a n d e s w e r d e n n e u e M e s s u n g e n a u s g e fü h r t . U m d ie A b w e ic h u n g e n , d ie S o n n e , M o n d u n d P la n e t e n v o n d e r e r w a r te te n L a g e a u fw e ise n , m it m ö g lic h s t e r G e n a u ig k e it fe stz u le g e n , w ir d d e m In s t r u m e n t e n b a u e in e s te ts w a c h se n d e A u f m e r k s a m k e it z u g e w a n d t 1), d ie T e ilu n g e n v e r v o llk o m m n e t u n d v e r b e s se r te M o d if ik a t io n e n d e s A s t r o l a b , d e s Q u a d ra n te n , d e r A r m ill a r s p h ä r e u s w . k o n s t r u ie r t . U e b e r a u s z a h lre ic h s in d d ie N a m e n , w e lc h e d en e in z e ln e n In s t r u m e n t e n b e ig e le g t w u rd e n , u n d e ine F ü l l e v o n S c h r if t e n i s t u n s a u s d e m O r ie n t ü b e r d ie se n
G e g e n s t a n d e rh a lten .
D u r c h m e sse n d e E x p e r im e n t e s in d d a n n d ie B e z ie h u n g e n z w is c h e n E i n f a l l s w i n k e l u n d
L V ergl. dazu z. B. P t o 1 e in a c u s Synt. I I I . 1. ed.
H e ib e r g S. 197.
1 9 0 G . N o . 5 . I J b k r d a s Ex p e r i m e n t i m Al t e r t u m u n d Mi t t e l a l t e r. S . 1 0 1 .
B r e c h u n g s w i n k e l fe s t g e s t e llt u n d z w a r v o n P t o l e m a e u s u n d I h n a l H a i t a r n , d ie z u d ie se m Z w e c k b e s o n d e re A p p a r a t e h e rste llte n . D i e z u s a m m e n g e h ö r ig e n E i n f a l ls - , A b l e n k u n g s u n d B r e c h u n g s w i n k e l s in d in T a b e lle n n ie d e r
g e le g t u n d u n s n o c h e rh a lte n . E i n e in h e itlic h e s, alle W e r t e u m fa ss e n d e s G e se tz, an dem sic h n o c h ein K e p p l e r v e r g e b lic h a bgem üht. hat, k o n n t e n w e d e r P t o l e m a e u s n o c h se in e N a c h f o lg e r fin d e n , o b g le ic h ih n e n ja d e r S i n u s als s o lc h e r b e k a n n t w ar. S ie v e r m o c h te n n u r einen q u a l it a t i v - q u a n t it iv e n S a t z ü b e r d ie A r t d e r Z u n a h m e d e r W i n k e l im z w e ite n M e d iu m b ei A e n d e r u n g d e s E i n f a l l s w i n k e l s a u fz u ste lle n . D e r G r u n d li e g t zu m T e il d a rin , d a s s d e r A b l e n k u n g s w in k e l z u n ä c h s t a ls d a s w e s e n t lic h s t e b e i d e r B r e c h u n g e rs c h e in e n m u sste , w e n n a u c h die T a b e lle n n e b e n ih m d e n B r e c h u n g s w i n k e l e n t
h a lte n .
A n d e r H a n d d e r e x p e r im e n te ll b e stim m te n M e s s u n g s r e ih e n w u r d e n n u n v o n I h n a 1 H a i t a m b e z w . K a m ä l a l D i n g e ra d e e be nso, w ie w ir d a s tu n w ü rd e n , d ie in v e r sc h ie d e n e n F ä lle n a u ft re te n d e n E r s c h e i n u n g e n a b g e le it e t u n d m it d e r E r f a h r u n g v e r g lic h e n . S o w u r d e d ie B r e c h u n g d u r c h e ine G l a s k u g e l v e r f o lg t ( F ig . 3 ) u n d d e r B r e n n p u n k t r i c h t i g k o n s t r u ie r t . F e r n e r w ir d e in e e in m a lig e u n d e ine m e h r fa c h e R e f le x io n im In n e r n v o n K u g e l n u n t e r s u c h t u n d d a d u r c h e in e T h e o r ie d e s R e g e n b o g e n s e n t w ic k e lt ( F i g . 4). A u c h die
U m k e h r u n g d e r S t r a h le n b e im D u r c h g a n g d u r c h e ine K u g e l w ir d b e h a n d e lt. A l l e d ie g e w o n n e n e n R e s u lt a t e w e r d e n e x p e r im e n te ll g e p r ü f t ; w ir k ö n n e n d ie R i c h t i g k e i t d e r m it g e te ilt e n B e o b a c h t u n g e n k o n t r o llie r e n u n d se he n, d a ss s ic h u n s e r F o r s c h e r n ic h t m it e in e r e in fa c h e n A b l e it u n g d e r F o r m e ln b e g n ü g t hat.
E i n e '- g r o s s e A n z a h l e x p e r im e n te lle r A r b e it e n
d e r N e u z e it s t e llt s ic h d ie A u f g a b e , d ie A b w e ic h u n g e n v o n d e n g e fu n d e n e n e in fa c h e n G e se tze n g e n a u e r z u v e r fo lg e n u n d E r s c h e in u n g e n , d ie z u n ä c h s t a ls n e b e n s ä c h lic h e rsc h e in e n , die s o g e n a n n te n R e s tp h ä n o m e n e , e in g e h e n d z u u n t e r s u c h e n ; s in d sie es d och, d ie u n s in v ie le n F ä lle n d ie a lle r w ic h t ig s t e n A u f s c h lü s s e g e b e n . I c h e r
innere, n u r an d ie A b w e ic h u n g e n v o n d en G a s g e se tze n v o n B o y l e - C h a r l e s o d e r M a r i o t t e - G a y L u s s a c ’, d ie u n s b ei Z u g r u n d e l e g u n g d e r k in e t is c h e n G a s t h e o r ie d ie D im e n s io n e n u n d K r ä f t e d e r M o le k ü le k e n n e n g e le h r t h a b e n ; fe r n e r an d ie E r s c h e in u n g e n d e r D i s p e r s i o n u n d z w a r v o r a lle m d e r a n o m a le n , d u r c h d ie e rs t b e i d e r U n d u la t io n s t h e o r ie d ie V e r k n ü p f u n g e n z w is c h e n M a t e r ie u n d A e t lie r g e w o n n e n w u rd e n . S o lc h e A u f g a b e n tr a te n im a llg e m e in e n d e n ä lte re n G e n e ra t io n e n g a r n ic h t e n tg e g e n , d a d ie H i l f s m itte l z u r U n t e r s u c h u n g n o c h zu u n v o llk o m m e n w a re n .
F r e i l i c h in e in e m F a ll, b e i d e m es s ic h a b e r n ic h t u m E x p e r im e n t e , s o n d e r n u m B e o b a c h t u n g e n h a n d e lt, h a b e n s ic h d ie F o r s c h e r d e r ä lte ste n Z e i t m it s o lc h e n P r o b le m e n b e f a s s t ; ich m e in e d ie P la n e t e n b e w e g u n g e n , d ie u m so k o m p liz ie r t e r e rsc h ie n e n , je lä n g e r m a n s ic h m it ih n e n b e fa sste . Im m e r z a h lr e ic h e r m u s s t e n die S p h ä r e n , im m e r k o m p liz ie r t e r ih re B e w e g u n g e n a n g e n o m m e n w e rd e n , w o b e i es z ie m lic h g l e i c h g ü l t i g w ar, o b d ie se S p h ä r e , d ie T r ä g e r d e r P la n e t e n , a ls m a te rie lle o d e r a ls a b s t r a k t e G e b ild e a n g e s e h e n w u rd e n . E r s t K ö p e r n i l c u s u n d K e p p l e r b ra c h t e n O r d n u n g in d a s C h a o s u n d z w a r m it V o r s t e llu n g e n , d ie d em A lt e r t u m d u r c h a u s n ic h t fre m d w a re n . H e i s s t d o c h b e i K o p e r n i k u s Z e it g e n o s s e n d ie g a n z e h e lio z e n tr is c h e W e lt a n s c h a u u n g d ie s a m i s c h e.
K o p e r n i k u s g i b t j a s e lb s t an, d a s s e r s e in e R e s u lt a t e A n r e g u n g e n v e r d a n k t , d ie e r a u s C i c e r o e m p fin g u n d z w a r a u s d e n je n ig e n Ste lle n , w o d e r R ö m e r v o n d e n k o s m is c h e n T h e o r ie n d e r P y t h a g o r ä e r b e ric h te t. B e i d e n A r a b e r n ta u c h e n a u c h v o n Z e i t z u Z e it ä h n lic h e A n s ic h te n auf, d ie a b e r s te ts z u r ü c k g e w ie s e n w u rd e n .
E in g e h e n d e E x p e r im e n t a l - U n t e r s u c h u n g e n h a b e n w i r d a z u e rw a rte n , w o es s ic h u m die P r ü f u n g t h e o re tis c h e r A n s c h a u u n g e n u n d e in e r E n t s c h e id u n g z w is c h e n z w e i A u f f a s s u n g e n h a n d e lt. I n d ie s e r R i c h t u n g s in d w e it m e h r V e r s u c h e a n g e s t e llt a ls m a n g e w ö h n lic h a n n im m t. In d e s s is t m ir b e i d e n A r a b e r n k e in e A e u s s e r u n g b e k a n n t , d ie d a s E x p e r im e n t in d e r W e i s e b e w u s s t in d e n V o r d e r g r u n d ste llt, w ie d a s m e h r fa c h d ie G r ie c h e n tu n , so z. B . d ie H i p p o k r a t i k e r in Z u s a m m e n h a n g m it e in e r A b l e h n u n g d e r S p e k u la t io n u n d d e m H i n w e i s a u f d ie N a tu r.
Z u n ä c h s t s e i e in V e r s u c h v o n d em A r a b e r G e b e r e r w ä h n t ; e r g e h t d a v o n aus, d a s s d e r
S . 1 0 2 . U N T E R R I C H T S B L Ä T T ER . J a h r g . X I I . N o . 5 .
M a g n e t s t e in d as E i s e n d u r c h e in e g e is t ig e K r a f t a n z ie h t, d ie m a n n ic h t s ie h t u n d n i c h t fü h lt.
A l s B e w e is f ü h r t e r an, „ sie d r i n g t d u r c h d as D ic h t e d es M e s s i n g s '), w ä h r e n d d a s M e s s in g z w is c h e n d e m M a g n e t s t e in u n d dem E i s e n s ic h b efinde t, s o w e it sie w i l l . “ D a n n w ä g t e r M o s c h u s u. s. f. u n d fin d e t im L a u f e d e r T a g e k e in e A b n a h m e , w ie j a b e i d e r g e r in g e n e n tw e ic h e n d e n Q u a n t it ä t z u e rw a rt e n w a r ; h ie r s in d e s g e is t ig e K r ä f t e , d ie w ir k e n so lle n . E n d l i c h fin d e t er, d a s s d ie K r a f t e in e s M a g n e t s t e in e s m it d e r Z e it s ic h ä n d e rt, s ta tt 3 0 0 g r t r ä g t e r n a c h e in ig e r Z e i t n u r 2 4 0 g r, s e in G e w ic h t w a r a b e r u n g e - ä n d e r t g e b lie b e n ; a u c h e in B e w e i s d a fü r, d a ss liie r Im p o n d e r a b ilie n t ä t ig sin d .
E i n v ie l e rö rte rt e s P r o b le m w ar, o b d ie L u f t s c h w e r s e i o d e r n ic h t. U m d ie s zu p rü fe n , w u r d e e in S c h la u c h le e r u n d m it L u f t g e f ü llt g e w o g e n . S o la n g e m an , w ie A r i s t o t e l e s , d e r 3 2 2 sta rb , a lso v o r A r c h im e d e s le b te (d e r 2 8 7 g e b o r e n w u rd e ), n ic h t w u ss te , d a s s ein K ö r p e r in e in e m M e d iu m v o n d e m se lb e n s p e z ifis c h e n G e w ic h t s c h e in b a r k e in G e w ic h t b e sitzt, w a r d ie F r a g e p r in z ip ie ll u n lö s b a r. E s e rg a b e n s ic h v e r s c h ie d e n e R e s u lt a t e , d ie v o n u n v e r m e id lic h e n F e h le r q u e lle n , E r w ä r m e n b e im E i n b l a sen, E in f ü h r e n v o n W a s s e r d a m p f u s w . h e r r ü h r e n k o n n t e n . D i e F r a g e w u r d e v o n d e n v e r s c h ie d e n ste n S e ite n e x p e r im e n te ll in A n g r i f f g e n o m m e n . S o g la u b t A r i s t o t e l e s 2), d a s s e in a u f
g e b la s e n e r S c h l a u c h e in g r ö s s e r e s G e w ic h t hat, d a alle D i n g e a u s s e r d e m F e u e r an ih re m O r t e in G e w ic h t b e sitz e n , d. h. w e n n sie in d e m s e lb e n M e d iu m s ic h b efin d e n .
D a g e g e n e rö rte rt P t o l e m a e u s 3) d a s P r o b le m n a c h d e r r ic h t ig e n A n n a h m e n a c h A n g a b e n in s e in e r S c h r if t jie qI Q Ö m ö n ~ d a s s d ä s r~ W ä 3 S 5 r~
in W a s s e r u n d d ie L u f t in L u f t k e in G e w ic h t b e sitz e n . D a n n w ä g t e r e in e n le e re n u n d e in e n a u fg e b la s e n e n S c h l a u c h u n d findet, d a s s d ie s e r n ic h t n u r n ic h t s c h w e r e r w ir d , s o n d e r n er g la u b t s o g a r e in e G e w ic h t s a b n a h m e z u fin d e n , w a s e ig e n t lic h d e m v o n ih m a u fg e s t e llte n S a t z w id e r s p r ic h t . S i m p l i c i u s , d e r d ie s ü b e rlie fe rt, s t e llt n u n s e lb s t e in e n V e r s u c h a n u n d fin d e t d a s g le ic h e G e w ic h t f ü r d e n a u fg e b la s e n e n u n d u n a u fg e b la s e n e n S c h la u c h . E r w ill a b e r g a n z s ic h e r g e h e n u n d lä s s t e in e n a n d e re n d a s s e lb e E x p e r im e n t m a c h e n ; d ie s e r s c h r e ib t ih m , d a s s e r in b e id e n F ä lle n d a s g le ic h e G e w ic h t g e fu n d e n , d a s s a b e r e h e r n o c h v o r d e m A u f b l a s e n d a s G e w ic h t u m s e h r w e n ig g r ö s s e r g e w e s e n sei.
A u f d ie w e it e r e n D i s k u s s i o n e n ü b e r d ie se n G e g e n s t a n d i s t h ie r n ic h t e in z u g e h e n .
( S c h lu ß fo lg t.)
*) Das W o rt Safo kann auch Gold heissen.
2) A ristoteles de eaelo lib. I V , cap. 4. P a rise r A us
gabe. S. 429.
3) Sim plicius in L ib ru m de caelo. ed. l T e i b e r g . S. 710/711. B erlin 1894.
D e r Z ah l- u n d M e n g e b e g r iff im U n te r r ic h t.
V o rtrag au f der H auptversam m lung zu E rlangen*).
V on Dr. 11. W i e l e i t n e r (Speyer).
M eine H e r r e n ! Dem V o rtrag e, den iah heute vor Ih n en halten d arf, m öchte ich zwei B em erkungen vor
ausschicken. D ie eine ist, daß kurz nach d er A nm eldung m eines V ortragthem as das Buch von M . S i m o n
„ Methodik der elementaren A rithm etik usw.“ (T eubner 1906) erschien, das alles, was ich ü b er die B ehandlung des B egriffes d er »endlichen« Z ahl h ä tte sagen können, in m eisterh after W eise ausführlich darstellt. Indem ich also -h ierm it au f dieses B uch ausdrücklich aufm erksam m ache, werde ich in betreff der endlichen Zahl m ich auf die H ervorhebung d er H auptgesichtspunkte be
schränken. Um so m eh r kann ich dann au f die eigent
lichen (»unendlichen«) M engen eingehen, besonders da H e r r S i m o n die hierher gehörigen, hauptsächlich fü r die G eom etrie w ichtigen B egriffe und Sätze n u r teil
weise und nebenher erw ähnt.
Die zw eite B em erkung bezieht sieh eben auf die unendlichen M engen. Ich w erde — wie ich hoffe — G elegenheit haben, m anchem aus Ih re r M itte neue, zum T eil überraschende und auch überraschend ein
fache W ahrheiten vor A ugen zu führen. Die Begriffe d er M engenlehre sind erst seit etw a~80-.Iahreu in der K lä ru n g begriffen — das H a u p tv e rd ie n st'rin —dieser R ich tu n g fällt H errn G. C a n t o r zu — un d es exi
stie rt noch kein deutsches Buch, das alles E inschlägige im Zusam m enhang darstellte**). F ü r den elem entaren U n terrich t n u tzb ar sind sie wohl ü b erh au p t noch nicht g em acht w orden. Sie haben n ich t einm al in d er Enzyklopädie von W o b e r - W e l 1 s t e i n eine B ehand
lung erfahren. Wenn ich nun auch d er M einung hin, daß viele von diesen D ingen in en g ster B eziehung zum S c h u lu n terrich t stehen, so m öchte ich Sie doch durch m eine A usführungen n u r m it den einfachsten, dies
bezüglichen G rundw ahrheiten b ek an n t m achen, ohne Sie zu d er M einung verpflichten zu wollen, all das solle u n b ed in g t in den U n te rric h t der entsprechenden K lasse u n d jed es Jalires- aufgenom m en w erden. M öge d er eine u nd andere aus Ih r e r M itte, wo es p a ß t und angeht, ganz nach eigenem D afürhalten, einzelne Teile des von m ir behandelten W issenszw eiges seinem U n ter
ric h t einverleihen, n ich t um den Stoff zu verm ehren, sondern um dessen B ehandlung zu vertiefen. Das allein ist die A bsicht, die m eine A usführungen leitet.
A u f den ab strak ten B eg riff d er Z ahl — als ganze Zahl g ed ach t — w erde ich n ich t zurückgehcu. H e rr W e h e r h a t die A b leitu n g desselben aus allgem eineren G attungsbegriffen in d er Enzyklopädie und neuerdings im Jah re sb e r. d er D tsch. M ath.-V er. (15, 1900, S. 174 bis 184) d u rch g efü h rt. W ir w erden in d er Schule ge
wiß m it dem Begriff- der positiven ganzen Zahl als dem R e su lta t des A b z ä h l e n s irg en d ein er endlichen M enge von E lem en ten ohne w eiteres beginnen dürfen.
N u r kann m an vielleicht d a ra u f aufm erksam m achen, daß das U rsprünglichere sei, ganz gleichartige D inge,
*) S. Ü nt.-B l. X II, Nr. 3, S. 61.
**) Voll dem Bericht über ..Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfultigkeilen", erstattet der Deutschen M athematiker- Vereinigung von A. S c h ö n f l i e s , ist bis je tz t nur der erste Teil, der übrigens alles, was w ir brauchen, in nuce enthält, erschienen (Teubner 1800). Vorzüglich, wenn auch knapp, ist die D arstellung im 1. Teil der durch Herrn G u t z m c r be
arbeiteten ..Theorie der eindeutigen anahitischai Funktionen'' von G.
V i v a n t i (Teubner 1906). Sonst ist noch auf den l. Band des Couri d’Analgtc von C. J o r d a n (2e ed. Paris,* Gaufchier-Villars 1893) zu verweisen. Die O riginalabhandlungen sind bei S c h ö n f l i e s nachzusehen.
1 9 0 6 . N o . 5 . De r Za h l- u n d Me n g e b e g r i f f i m Un t e r r i c h t. S . 1 0 3 .
wie 3 Schafe, 20 P ferd e u. dergl. zu zählen, w ährend es schon eine gewisse A bstraktion v erlan g e, etw a ein Schaf, einen K irch tu rm und einen F ed erh alter auch als drei Dinge zu zählen. U nd m an kann hinzufügen, daß auch von hier bis zum reinen Begriff der Zahl D rei im m er noch ein g ro ß e r S c h ritt sei.
Diesen Z ahlbegriff erw eitern w ir nun, indem wil
den ganzen positiven Z ahlen gewisse B edingungen auf
erlegen, die durch die gew öhnlichen direkten O perationen des A ddierens, M ultiplizierens und Potenzierens gegeben werden. E s seien b und a zwei beliebige ganze Zahlen, so fordern wir zunächst von einer zu bestim m enden Z ahl x , daß sie zu b a d d ie rt a ergehe. Dies schreiben
wir b -f- x — a.
F o rd eru n g wie G leichung haben n u r einen Sinn bezw.
eine Lösung, wenn b < ^a. W ir schreiben dann x — {a — b).
I s t b )> a , so ist (a — b) ein bloßes Symbol, das an
deutet, daß w ir etw as U nerfüllbares verlan g t hatten.
Es ist Ih n en allen bekannt, w ie m an an dieser Stelle, indem m an dem Sym bol (a — b) eine B edeutung auch in den F ällen b ]> a beilegt, die N ull und die negativen Grössen als Z ahlen einführt.
W ir kom m en nun sofort auf eine zw eite, jedem S chüler durchaus geläufige A rt d er V erw endung der Zahlen, näm lich zur M e s s u n g . Indem w ir eine be
liebig gew ählte S trecke a u f einer geraden G eraden 1, 2, 3 ■ • • • m al von einem w illkürlichen A nfangs
pun k te 0 aus nach beiden Seiten auftragen, erhalten w ir die gebräuchliche sinnenfiilligo D arstellung der R eih e d er ganzen positiven und negativen Zahlen m it d er N ull (s. F ig u r 1).
Daß diese Z ahlenreihe nach beiden Seiten unbe
g ren zt fortgesetzt w erden kann, w ird der S chüler ohne w eiteres einsehen und m an kann unbedenklich durch P feile andeuten, daß in der einen R ich tu n g sozusagen eine positiv unendlich große Zahl, in der anderen eine negativ unendlich große Z ahl liegen w ird, was m an d urch die Symbole -}-co und — c o andeuten kann.
A b er diese beiden G renzzahlen scheinen durch die m ysteriöse U nendlichkeit wie durch eine gähnende K lu ft g etren n t. Das ist ein g ro ß er N achteil dieser V ersinnlicliung. Man h a t zw ar dem S chüler bei der P arallelenlehre vielleicht etw as gesagt von dem e i n e n unendlich fernen P u n k t d er G eraden, aber das ist, wie Sie alle wissen, eine bloße R edew eise ohne S innen
fälligkeit. H ier kann n un gleich etw as zur G eltung kom m en, was ich heute noch oft verw enden werde, das P r i n z i p d e r A b b i l d u n g , der gegenseitig ein
d eutigen Z uordnung, das erst neuerdings H e r r L o r i a in d e r von m ir übersetzten R ede *), die Ih n en vielleicht schon b e k an n t gew orden ist, als nach dem F u n k tio n s
begriff zw eitw ichtigsten G rundbegriff fü r den U n te r
ric h t hervorgehoben h at. E s ist j a gew iß w illkürlich, daß w ir die Z ahlenreihe a u f einer G eraden auftrugen.
Dazu könnte m an ebenso g u t einen K reis benutzen.
Dann w äre es aber höchst unpraktisch, die Bogen 0 —1, 1 —2, 2 — 3 usw. im gew öhnlichen Sinne gleich zu m achen, da der K reis in' sich zurückläuft u nd m an erst re c h t kein E n d e fände.
D enken w ir uns ab er irg en d einen P u n k t P des K reises m it allen P u n k ten der geraden Z ahlreihe ver
bunden, so en tsp rich t jed em P u n k te des K reises ein b estim m ter P u n k t d e r G eraden und um gekehrt, wenn
* ) Vergangene und künftige Lehrpläne. L e i p z i g 1906 , G . J . G ö s c h e n .
w ir n u r dem P u n k te Q au f dem K reise, der durch die P arallele zu der G eraden bestim m t w ird, d e n u n e n d l i c h f e r n e n . P u n k t d e r G e r a d e n z u w e i s e n . D er P u n k t P zeigt sich ebenfalls als keineswegs aus
gezeichnet.
F ig. 1.
Die ganze Z ahlreihe ist m ith in au f den U m fang des K reises, also a u f einen endlichen B ereich, abge
bildet, H ier sehen w ir nun aufs deutlichste, daß der P u n k t Q sowohl dem Sym bol -j-c o , wie — 00 en t
spricht, je nachdem m an sich ihm von einer Seite her nähert. H ie r findet also ebenso wie im N ullpunkt, wo m an auch + 0 oder — 0 schreiben kann, ein stetig er U ebergang statt. "Wie w ichtig die V orstellung dieser T atsache z. B. fü r den Zeielienw echsel d er T angente hei 9 0° und 270° ist, brauche ich wohl n ic h t zu e r
wähnen.
A uffallen w ird bei dieser D arstellung der Z ah len reihe auf dem K reise n u r, daß die S treck en 0 —1, 1—2 usw. w irklich n ich t m eh r im gew öhnlichen Sinne gleich sind. A b er gerade das ist ein w eiterer V orteil.
Die U eb ertrag u n g d er Z ahlenreihe auf die M essung der G eraden w ar eine W illkür, die durch die A b b il
du n g a u f den K reis w ieder b eseitig t wurde. D ie Z ahl 5 en th ält u rsprünglich n ich t die T atsache in sieh, daß irgend eine S trecke 0 —5 fünfm al so groß sei als die S treck e 0 — 1; die 5 h a t ihre Stelle im Zahlensystem e einzig und allein dadurch, daß sie nach 4 und vor 6 kom m t.
Ein elem entarer Satz d er M engenlehre la u te t:
J e d e unendliche P unktm enge h a t m indestens eine H äufungsstolle; d . h . es g ib t einen P u n k t, in dessen N ähe unendlich viele P u n k te d er M enge liegen. Bei der natürlichen Z ahlreihe ist das d er unendlichferne Punkt. Diese T atsache, die bei d er D arstellung au f der G eraden seh r v erd u n k elt erscheint, da sich der unendlichferne P u n k t d er B eobachtung, j a sogar d er V orstellung entzieht, könnte w ohl n ic h t d eu tlich er ge
m ach t w erden, w ie durch den P u n k t Q au f dem K reise.
Z ugleich k an n uns dieselbe F ig u r noch etw as anderes versinnlichen. H e rr W e 11 s t e i n h a t ¡11 der Enzyklopädie e rk lä rt, dem naiven M ahn aus dem p ra k tischen L eben sei m it ein er S trecke im m er auch der B egriff d er L änge m itgegeben. M eine H e rre n , ich glaube n ich t fehlzugehen, w enn ich annehm e, daß dieser T ypus des »naiven M arines aus dem p rak tisch en L eben«
auch u n te r uns noch ziem lich w eit v e rb re ite t ist. Ich erinnere m ich w enigstens noch deutlich an die Z e it;
S . 1 0 4 . Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. J a h r g . X I I . N o . 5 .
wo ich selbst noch bis zu einem solchen G rade naiv war. A b er nichts kann in der T a t deutlicher zeigen, wie es anders sein könnte, wenn w ir die A u ftrag u n g d er Z ahlenreihe auf dom K reise w irklich als eine
»Messung« b etrach ten . D enn es ste h t uns begrifflich vollkom m en frei, gleichen Zahlendifferenzen auch au f dem K reise gleiche S trecken zuzuweisen. D ann sind lau t Definition die ß o g c n 0 - 1, 1—2 usw. als gleich zu b etrach ten und die F ig u r g ib t eine vorzügliche Illu stratio n einer M essung auf dem K reise, wo das A rchim edische A xiom *) für keine Strecke, die den P u n k t Q enthält, erfü llt ist.
W ir wollen a b er bei d e r unendlichen Zahlenreihe noch einige A ugenblicke stehen bleiben, um an ih r den B e g riff d er M ü c h t i g k e i t zu erläu tern , d er fü r die ganze M engenlehre grund leg en d ist. Das Z eichen oo, das w ir oben benutzten, bedeutete eigentlich keine Zahl, sondern sollte n u r den oberen A bschluß der Z ahlenreihe andeuten. W ir können a b er dem R esu ltat d e r A bzählung d er ganzen Z ahlenreihe doch so etwas wie eine Z ahl im w eiteren Sinne, eine unendlich große Zahl zuordnen, die w ir als solche m it n bezeichnen, a b ed eu te t dann sozusagen die Anzahl aller positiven ganzen Zahlen, od er wie m an besser sagt, die »M äch
tigkeit« d e r R eihe d er natürlichen Zahlen. W ir müssen dann so fo rt definieren, w ann denn zwei M ächtigkeiten iq u u d .a 2 als gleich g roß zu betrach ten seien. H ierzu verw endet m an w ieder das P rin zip der A bbildung.
Zw ei endliche A nzahlen e, und e2 heißen gleich, wenn jed em E lem ente von ein E lem en t von e2 zugeordnet w erden kann. G enau ebenso heißen w ir zwei unend
liche M engen a , u n d a 2 gleichm äehtig, wenn n, u nd a2 eindeutig aufeinander bezogen w erden können. Im besonderen h e iß t je d e M enge, die der natürlichen Z ahlreihe eindeutig zugeordnet, oder also in eine w ohl
geordnete R eihe (m it bestim m tem A nfangsgliede und b estim m ter A ufeinanderfolge) geschrieben w erden kann,
» a b z ä h l b a r « . I h r e M äch tig k eit a is t m it d er ersten unendlichen K ardinalzahl Nq, nach der G. 0 a n t o r sehen B ezeichnung, identisch.
W ir sehen n un gleich folgendes. N ehm en w ir von der natürlichen Z ahlreihe 0, 1, 2 • • • • eine A nzahl e vorne w eg u nd fangen erst b ei (e - f - 1) m it 1 zu zählen an, so werden w ir trotzdem die ganze unendliche Z ahl
reihe abzählen können. Z. B.
1000 1001 1002 1003 ...
0 1 2 3 ...
Diese T atsache können w ir d u rch die G leichung aus- d rücken
a -]- e = a • [a — a = e],
welche die unendliche K ard in alzah l so fo rt wesentlich von allen endlichen Z ahlen unterscheidet, indem h ie r d e r T e i l g l e i c h d e m G a n z e n s e i n k a n n.**) A uch diese Beziehung ist dem S chüler nicht frem d, ic h erinnere n u r an die harm onische T eilung einer Streck e A B durch die P u n k te 0 und O', so daß
A 0 A O ' .
y -g = = /. = dem Teilungsverhältnis.
Lassen w ir dieses T eilungsverhältnis allm ählich gleich 1 w erden, so rü c k t 0 ' ins U nendliche und es ist
A 0 ' — B 0 ' bezw. A O ’ — B 0 ' — A B .
* ) S . etw a H i l b e r t , Grxmdtagen der Geometrie (2. Aufl., Teubner 1903), S . 16.
**) Ich merke hier an, dali K ardinalzahl deswegen gesagt werden muß, weil die unendlichen Ordinalzahlen, die sogen,
»transfiniten Zahlen« Cantors, auf die ich nicht eingchcn werde, etwas wesentlich anderes sind.
Die K ardinalzahl aller Z ahlen von — oo bis -j-o o ist nun offenbar 2 a. E s ist a b e r sofort klar, daß w ir all diese Z ahlen in eine Reihe ordnen können
0, - 1 . + 1 , - 2 , + 2 , - 3 , + 3 , ...
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, --- , so daß, wenn w ir die natürliche Zahlenreihe d aru n ter schreiben, au die Stelle d er ungeraden Z ahlen die negativen u nd an die S telle der geraden Z ahlen die p ositiven treten . Es ist also auch
a + a = 2 ii = a.
D araus fo lg t ab er sofort, daß auch (i - f a 4 - a — « 4 - a = n und ü b erh au p t
e • « : ist. B eisp iel: Die Reihen
0, 1, 2, 3, 4, . . . . 0, 1001, 2001, 3001, 4001,
sind gleiclim ächtig, obwohl die erste sozusagen lOOOmal so viel G lieder e n th ält wie die zweite. A u f die M ächtig
k e it von a • a = a 2 kom m en w ir n achher gleich von selbst.
Z unächst wollen w ir w ieder zu den endlichen Z ahlen zurückkehren un d setzen die B edingung, die ganze Zahl b soll m it einer neuen Zahl x m ultipliziert, das P ro d u k t a ergehen. D. h. w ir wollen die lineare G leichung lösen
b • x — a.
Die form elle L ösung x h a t n u r einen Sinn, wenn a = n - b , a also ein V ielfaches von b ist. Indem wir dem Sym bol — auch eine B ed eu tu n g beilegen, wenn(l a < ^ b oder wenn a — n b - \ - r . erh alten w ir die neue Zahlform d er r a t i o n a l e n B r ü c h e . D urch einige Festsetzungen kann m an rein analytisch die R ecbnungs- regeln fü r solche B rüche ableiten, wie dies z. B . H e rr W e b e r in der Enzyklopädie d u rch g efü h rt b at. A ber in der Schule müssen w ir u n b ed in g t k o n k reter ver
fahren. W ir knüpfen dann w ieder entw eder an das A bzählen an, indem w ir im m er n S ch ritte in der Z ahlenreihe als neue E in h eit, einen S c h ritt als — auf- fassen, oder an das Messen, das h ier au f ein Teilen hinausläuft. Das m ögen S ie alles b ei S i m o n nachlescn.
le b will gleich w ieder auf die M ä c h t i g k e i t d e r M e n g e d i e s e r B r ü c h e eingehen. D enke ich m ir all die positiven und negativen rationalen B rüche zwischen die ganzen Z ahlen m einer Z ahlreihe ein
geschaltet, so w ird die G erade, wie m an sagt, »überall dicht« m it P u n k ten belegt. D. h. je d e r so erhaltene P u n k t ist seihst eine H äufuugsstelle d er P unktm enge.
Z. B. ist
1 1 9997
+ ■ 1 10 003
3 10 000 3 0 0 0 0 ’ 3 1 10 000 30 0 00' A lle unendlich vielen B rüche also, die zw ischen den
. . . „ r , 9997 . 10 003 ,
beiden W erten ^ und — - h e g e n , sind um w eniger als . von dem W e rt i en tfern t. Dieses
1U UUU o
In terv all kann m an noch beliebig cinengen. D aher ist
— ein H äufungspunkt. U nd so je d e r andere, o
B etrachten w ir das In te rv a ll 0— l,.d a s alle echten B rüche e n th ä lt u n d in d er ganzen G eraden a-m al ent
halten ist. F ü r je d e n N enner v g ib t es höchstens (>■— 1)
1 9 0 6 . N o . 5 . De r Za h l- u n d Me n g e b e o k r t f f i m Un t e r r i c h t. S . 1 0 5 .
B rüche, die von allen vorhergehenden dem W ert nach verschieden sind. Im ganzen sind also in dem In te r
vall höchstens 1 -j- 2 + 3 -f- 4 + • • • — a B rüche, wobei m an leich t erkennt, daß es nichts ausm acht, auch wenn m an je d e n B ruch in seinen unendlich vielen verschie
denen ungekürzten Form en m itzählt. A uf der ganzen Z ahlreihe g ib t es also a 2 oder m it E inschluß der nega
tiven 2 ci2 == 2 n ■ n — a 2 B rüche. Zählt, m an dazu noch die ganzen Zahlen, so haben w ir ü b erh au p t
a2 -)~a = a ( a - ! - l ) = a - a = a2
rationale Zahlen. D ieselbe M äch tig k eit e rg ib t sich leichter, ab er w eniger anschaulich durch die Bem erkung’, daß in der erzeugenden G leichung a lle r R ationalzahlen b ■ oö = a sowohl a, wie b jo a W erte annehm en können.
N achdem so die M äch tig k eit a2 festgestellt ist, können w ir folgenderm aßen schließen: J e d e Zahl kom m t da
bei « m a l — in u n gekürzter F orm — zur Zählung, so daß sich fü r die .M ächtigkeit schließlich auch — = c tn2
a ergäbe. Diese form elle U eberlegung ist tatsächlich rich tig . D enn w ir können alle rationalen Zahlen (aller
dings n ich t nach ih re r G röße) in eine w ohlgeordnete R eihe bringen
. 1 , 1 1 2 2 , 1 1 , 3 3
0 , + 1 , - 1 , + - D - , — p + + p — y ,
■ f r - 4 ’ + 3 *1
1 ’ l , n 3 ’ 3 ’ 3 ’ 2 ’ 2 ’ 1 ’ 1
wo die B rüche von kon stan ter Sum m e des Zählers und N enners nach dem Z ähler geo rd n et sind.
D i e G e s a m t h e i t a l l e r r a t i o n a l e n Z a h l e n i s t a l s o a b z a h l b a r , d, h. v o n d e r M ä c h t i g k e i t a.
W ir finden dem nach a2 = a
und n atü rlich auch e • a2 = a. D araus folgt ab er so
fo rt durch In d u k tio n
a e = (l.
M au kann sich die A b zäh lb ark eit der M enge der rationalen Zahlen auch geom etrisch versinnlichen, indem m an die Z ahlenpaare (a, b) als P u n k te in ein re c h t
winkliges A chsensystem e in trä g t (Fig. 2). D ann kann m an, vom A nfangspunkte beginnend, die Punktm enge, die gew iß die M äch tig k eit a 2 hat, in einer L inie durch
laufen, wenn m an d er in der F ig u r ausgezogenen eckigen 1
-
6 5
-
h A
-
Z 1
-
-£ -S ->/ -J - 1
-/
0/ z
s ts 6
-!
— -3
—r
3- i 1
I
F i g . 2.
Spirale folgt. Dies lä ß t sich auch im R aum fü r die Z ahlentripel (<
7
, b, c) von - d er M äch tig k eit a3 m achen, w ird ab er da schon w eniger übersichtlich, weil m an nach zwei U m läufen schon 5 3 = 125 P u n k te abzuzählen hat. N ach dem O bigen w ird sich aber die M äch tig k eit der P unktm enge auch n ic h t verändern, w enn w ir alle Zahlenpaare (a, 6), wo a und b selbst alle rationalen Z ahlen b edeuten können, in das K oordinatensystem cintragcn. Die E bene is t dann sogar überall d ich t b ed eck t und die M äch tig k eit ist a 2 • a 2 = a 1 = n.Ebenso für einen R aum von beliebiger (endlicher) Dim ensionszahl. .Ta, w ir w erden gleich sehen, daß sich auch diese P u n k tm en g e noch bedeutend verdichten läßt, ohne die E ig en sch a ft d er A b zäh lb ark eit zu ver
lieren.
M it den rationalen Zahlen sind die L ösungen aller G leichungen ersten G rades erschöpft. E s ist hinzuzu- fügen, daß die ratio n alen Z ahlen einen ,»Z ahlkörper«
bilden, so daß d u rch endliche A nw endung d er vier G rundrechnungsarten aus einer ratio n alen Z ahl im m er w ieder eine rationale Z ahl h ervorgeht. Ic h unterw erfe nun x der B edingung, daß es einer quadratischen, zu
nächst rein quadratischen G leichung genügen soll und
setze x - — «,
wo a eine ratio n ale Z ahl b edeuten soll. Diese G leichung ist dann n u r lösbar, w enn « das Q uadrat einer anderen R ationalzahl ist. W ir setzen in diesem Falle
x — 1 n
u nd definieren d u rch dieses Sym bol w ieder eine neue Z ah lg attu n g , wenn u keine Q uadratzahl ist. I s t a p o sitiv, so kann m an durch das V erfahren des Q u ad rat
wurzelziehens die neue Z ahl T n bis zu einer beliebigen G enauigkeit berechnen. Sie ch a ra k te risie rt sieh auch bei dieser B erechnung so fo rt als R eihenzahl, weshalb auch ich m it H e rrn S i m o n der G. C a n t o r s e h e n Auffassung der Irratio n alzah l den V orzug gehe. H ie r
a u f will ich jed o ch n ich t eingehen. Sie finden hei S i m o n alles in b ester A usführlichkeit. W enn w ir versuchen, die P u n k te, welche den irratio n alen Q u ad rat
wurzeln entsprechen, auch noch au f unserer lin earen Z ahlenreihe u nterzubringen, so ist von vornherein klar, daß sie sich zwischen die zw ar überall d ic h t liegenden, ab er doch nirgends die G erade ste tig erfüllenden Z ahlen * eindrängen müssen. D a es a b er zu je d e r reellen posi
tiven Zahl höchstens zwei Q uadratw urzeln g ibt, die Im K ö rp e r d e r rationalen Zahlen n ich t Vorkommen, so w ird die M äch tig k eit d e r M enge d er R ationalzahlen durch A d ju n k tio n d er Q uadratw urzeln n ic h t v erg rö ß ert.
Ich stelle eben in d er abzahlbaren M enge d er rationalen Zahlen h in te r je d e positive Z ahl ihre beiden Q uadrat
wurzeln,
N ehm en w ir nun auch den F all eines negativen a hinzu, soll also
sein, so füh ren w ir die neue Z a h lg attu n g d er im aginären Zahlen in b ek an n te r W eise ein u nd setzen
X = }; — « — - f - i | f a.
Da auch jed es solche Z ah len p aar h in te r die betreffende n egative Zahl — a eingeschoben w erden kann, w ird die M ächtigkeit des Zahlsystem s auch d u rch H inzunahm e d e r rein im aginären Z ahlen n ic h t v erän d ert. W ir haben je tz t folgende w ohlgeordnete R e ih e :
1 . i
/ T
l/ T
. 1 ;,/ T 2 ’ + F 2 > “ | ' 2 ’ - 2 , + T 2 ’
0 , + 1 , — 1 , - j — 1 ,
