O pewnych zastosowaniach metody splotowej rozwiązywania równań różniczkowych nieliniowych

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHN IKI Ś L Ą S K IE J S e r i a : ELEKTRYKA z . 36

_________ 1972 Nr k o l. 343

MAGDALENA UMIŃSKA-BORTLICZEK I n s t y t u t Podstawowyoh Problemów E l e k t r o t e o h n ik i i E n e r g o e le k t r o n ik i

0 PEWNYCH ZASTOSOWANIACH METODY SPLOTOWEJ ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH NIELINIOWYCH

W praoy [2j przed staw io n o pewną metodę poszukiw ania odpowiedzi n i e l i ­ niowego dw ójnika zastępczego n-tego rzędu na Je d n o w a rto śclo w ą , o ią g łą 1 o g ran io zo n ą fu n k c ję wymuszająoą k la s y o

“6

. Dwójnlk t a k i o p is u je rów nanie ró żniozkow e n ie lin io w e rzędu n o w sp ó łrzyn n ik ao h s t a ły o h ( d a le j r r n ) . We­

d łu g proponowanej metody ro z w ią z a n ie r r n zakłada s ię w p o s ta o i s p lo tu pew­

n e j f u n k o ji A (t

3 1

im pulsowej odpowiedzi lin io w e j o z ę śo i u k ła d u j s tą d na­

zwa - metoda sp lo to w a .

Funkoję A ( t ) otrzym uje s ię przez o k re ślo n y p o d z ia ł r r n . Można J ą przed­

s t a w ić w p o s ta o i szeregu potęgowego o w spółczynnikaoh o b licz o n yo h rekuren- o y jn ie [2] . Celem n in ie js z e g o a r t y k u łu J e s t p rz e d s ta w ie n ie konkretnych za­

stosowań omawianej metody, a także p o d k re śle n ie pewnyoh j e j oeoh szozegól- nyoh.

2 . P rz y k ła d y zasto sow an ia metody sp lo to w e j

2 .1 . Odpowiedź n le lin ip w e g o _ d w ó Jn ik a R .L

W szeregowym obwodzie RL z n ie lin io w ą r e z y s ta n o ją Rn ( i ) obow iązuje - p rz y z a ło ż e n iu zerowyoh warunków poozątkowyoh — ró w n a n ie :

S t r e s z o z e n le . W a r t y k u le przedstaw iono p rz yk ła d y zastosowa­

n ia metody s p lo to w e j J

2

] do o b lic z a n ia odpowiedzi n le lin io - wyoh dwójnlków zastępozyoh typu R ,L i R , L f C o raz pewne szozególne ceohy metody.

1.

Wstęp

m

'34 M agd alen a U m iń s k a - B o r t llc z e k

K ład ąo a r b i t r a l n i e ;

i - 1

i u Q(i> - [ i ( U

] 2

e ( t

)

=

1

( t ) + t h t

t

a ta k ż e p o d sta w ia ją c i ( t

)

= x ( t ) otrzymujemy d la t

>

0 ró w n a n ie :

x + x + x

2

^■

1

^{( t}

)

+ t h t . (

2 )

Rozpatrzmy metodą sploto w ą n astępu jąo y równoważny ( 2 ) u kład równań;

x + x = A ( t ) (3a )

A ( t ) = 1 ( t

) +

t h t - x2 , i3b

)

g d z ie [

2

] , [3] :

A ( t ) = ^ 0q t n. ( 4 )

D=*0

Z a k ła d a ją c ro z w ią z a n ie ( 3 ) w p o s t a c i s p lo tu [ 2 ] , [3]

x { t ) = y ( t ) * A f t ) -

£

oQ

9

n< t). ( 5 ) n^C

o b liczym y fu n k c ję momentów <łu i t ) oraz w s p ó łc z y n n ik i on . Fu nkcję momentów q ( t

)

d la układu równań (3a ) można uzyskaó w n a stę p u ją o y sposób:

n

<łQ( t 1 = ę 0 ( t ) * H ( M * . . . « t i It) = n - k ró tn ie

= d - e - *1) * p Ct 3* . . . ♦ li ( t

) =

n - k ro tn ie

= t D - n ęn_^ ( t

), (6

)

O pew nych z a s to s o w a n la o h m etody s p l o t o w e j . . 35

J a k w id a ć , qn ( t ) J e s t lin io w ą kom blnaoją f u n k c ji potęgowych oraz f u n k c j i w y k ła d n ic z y c h - p o r. [

2

] -

Równocześnie zachodzi ( 3 b ) i

A(t )

= f ( t ) - [ x ( t )j ,

g d z ie

? e 2t f C t ) =11 ( t ) + tht = T T —

e

- 1

(7)

n+l0n ,02n

, . t - } * 4 t’ - & t 2 . . . . ♦ V 2n-1

[z (t> ]2 - o,, an<t)| ■

*-n«sO J

° o

1 0

+

2 °0 40

^{° 0 S l + ( 8 )}

n=0

+ o

2 4

^{* +}

2

^{Ł , £} on qn + [ ] £ oB ą J .

n=2 Ln-2 J

Uwzględniając w równaniu (8 ) wyrażenie

16),

a następnie podstawiająo U ) , (7 1 1 (8> do równania (3 b), otrzymujemy dla obliczenia współozynnlków on następujące równanie rekurenoyjne:

n

=0

^°n

1

^{+ t +}

z i

n

=0

- I ^ 122 n(2 2c-1>

T F T B n

2

Q“ 'f

+ o

2

_o ^-

2

^o

2

_o

I n

=0

^{-* n}

=0

L n

=0 1 1

ⁿ

-0

^J

36 M agd alen a U m lń s k a - B o r t llo z e k

+ o

2

( l -

2

t ) +

« 1

t

2

t

2

o

1

* í S '~nl^ +

*- n=0 '

- « • ! [ £ * # • * ] . . . $ [ £ . ■ . * ] ♦

L n=0 J L n=0 J

+

2

o

1

( t

- 1

+ £ = if- t c )o

2

[ t

2

-

2

( t + J T —

57

- t Dl] +

3 í t 3 _ 3 [t _ 2t + 2d - ¿ ±lr- *">]] + •••

1

n

=0

'

+ ] Ż 0o [tn * n

Q

=0

(91

W s p ó ło z yn n ik i oQ z ró w nania ( 9 ) można o b lio z y ó , porównując k o le jn o w s p ó łc z y n n ik i przy tyo h samych potęgaoh zmiennej n ie z a le ż n e j po obu s t r o ­ nach ró w nania (9 1 . W y n ik i o b lic z e ń zestaw iono w t a b l i c y 1.

D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

° n + 1 + 1 - 1 1

" 3 + 1 ♦ 4 - »

_ 2 1 1

3 1 5 +

- .t h . t . 2 8 3 5

Poszukiwana fu n k c ja A (t 1 przyjm uje w ięc postaó n a s tę p u ją c ą :

A ( t 1 = ° n tD “ n

=0

* l + t - t

2

- | t

3

+ | t

4

+

7

| t

5

- ^ t

6

+

211 t 7 . _62

t 8

. _6 2 _ t 9

” 315 * + 315

1

^{+ 2835}

1

^{* (10 1}

Zgodnie z (31 po u w zg lęd n ie n iu (61 ro z w ią z a n ie x ( t 1 z ap isaó można na- s t ę p u ją o o :

x ( t

1

^{= o}

0

^<ł

0

^{+ +}

02

^q-

2

^{+ *** ~}

t - ^ t

3

⁺

-Ą

t

5

^{- t}

7

+ . . . *-tht (111

2 .2 . Odpowiedź n ie lin io w e g o dw ójnika RLC

Szeregowy u k ład R ,L ,C z n ie lin io w ą po jem nością oQ( q ) o p is u je - przy za­

ło ż e n iu zerowyoh warunków początkowych — ró w n a n ie :

R 4Ct1 + L + u

0

1 = e ( t ) . (1 2 )

K ła d ąo a r b i t r a l n i e :

u

0

( ( l ) = ( - i + j l O

< Ł

E ‘ a

O pewnyoh zastosowanlaoh metody splotowej..,_____________________________ 37

o r

£ e ( t ) = f ( t )

o raz p o d s t a w ia ją c :

q ( t ) « x ( t )

otrzym ujem y d la t > O n a stę p u ją c e r r n rzędu d ru g ie g o :

x + ax + bx + ox2 « £ ( t ) . (1 3 )

Rozpatrzm y metodą sp lo to w ą n a stę p u ją c y równoważny 2 u k ła d rów nań:

x + ax + bx - A ( t > i 14« )

A ( t ) - f ( t ) - ox2 (1 4 b )

Z z a ło ż e n ia :

x ( t ) - A ( t ) « y ( t ) f

38 M agd alen a U m lń a k a - B o r t llo z e k

g d z ie

A ( t ) - £ J f t "

n

-0

o raz

y { t ) “ 2 3 r J / z T s T d S ” 5 ^ = s 7 i e 1

Br

a.t

a0t

(e

1

- e

2

)

j £ * y ( t ) - | j - { y (T ) dt

. 0 0

.

0

. Q+1 k r o tn ie

■ 1 ^ A • *

1

^{^L}

S1

^p

=1 1

1

^{/ . a}

2

^{t V}

1 1

^ł.n-p+l]

+ —s7T(e ~1

^{) -}

Z r r in-p+i i r J *

2 P-1 2

R o z w ią z a n ie x ( t ) można uzyskać w sposób n a s tę p u ją c y :

a r a . n+

1

( e S 't t -

1

l - a .

0

+

1

( e a

2

t -

1

)

* < * ' •

2

. r f e r — , a ł

n

=0 1 2 1 31 * 2

p

=1 S1 32

Po zam ianie ¡fu n k c ji w yk ład n io zyo li jna s z e r e g i potęgowe oraz po uporządko­

w a n iu o a ło ś o i względem zmiennej n ie z a le ż n e j według r e g u ł? Cauohy»ego [ i ] , w yra ż e n ie (1 5 ) p rz y jm u je p o s ta ć :

* « ' - Z Z Ą • T o = s = n r ( t 4 + 7 - r f e r 5 t Q +

D.*0 BJ«=0 “ 1 2

V " n 3 1 2 a.n-p+1 r M > i

Z 7n~+-nr ♦ 3 P 3~

p

* J*

p=1 3 1 * 2

O pewnyoh zasto sow anlaoh metody s p lo t o w e j..» 39

w o e lu otrzym ania o g ó ln e j r e g u ły re k u re n o y jn e j d la o b lic z e n ia poszuklw a- nyoh współozynników aQ w yraż e n ia (1 6 ) n a le ż y j

1 ) o b lic z y ć oraz uporządkować według r e g u ły Cauohy*ego w yrażen ie [ x ( t ) ] 2 , 2 ) o b lio z y ć ogólną p o stać szeregu T a y lo ra d la funkojd. wymusza ją o e j f ( t ) . B ę d z ie w ię o !

. n

g d z ie

o raz

n*«

[ x ( t ) ] 2 - £

X

4r ( “ ''*An . r ( , ) + r

«0

+ Ar ( p ) . A n_ r ( p ) - 2Ar ( B ) . A n_ r ( p ) ] t B , (1 7 )

. t Ql

2

Z Z Ar («).An_r (« )tn

- [ £ An (m ).t

a=0 r»0 *•

£ Z - r g An ( p ) t ° ] "

n«=0 r«0 L n«Q J

Z Z V “ > * W p» D - r f v * “ i r £ AQ(P )tnj

n»0 r-0 la « 0 JL n « 0 J

n a

V ffl) “ Z Tś4sT7 ‘ Tń=E=TTT ~ ¡4 ? 7 ł

m

«0 1 2

S . P + S , P An

, . V

1 1 2

*.

1

-®

( p i “ Z T T ^a T T • • r r j r * * *

p«1 1 2 1 * 2

Równanie d la o b llo z e n ia w spółczynników a n otrzymujemy po wykonaniu d z ia ­ ła ń zgodnie z (1 7 ) i p o d staw ie n iu wyników do (1 4 b ).

P rz y jm u je ono p o sta ć n a s tę p u ją c ą ?

40 M agd alen a U m ińska—B o r t ll o z e k

°« £ [ £ tt=E=T r

«0

Lm

=0

a n-r a

M I s . - S , i^ai+Ź

„»+2

5] in - r - m - ili ( a . -s ) { T i ^ T i + S ’

1 2

A

®”0 1 1 2

j

“ r ' a a r P~r a aP+aP

W sz c z e g ó ln o śo i J e ż e l i :

a * 10, b » 9, o * 1

f ( t ) « -

20

e~2 t ,

to

r (t)

- B-0

'E

j

20

l r i - ż r ~ 2“ *t B

o raz

T a b lio a

2

a

s , = - 1, s „ = - 9

Q

0 1 2

s n

-20

-4,12 -58

W y n ik i o b lio z e ń współczynników

a B f u n k o jl A (t ) d la n » 0 ,1 ,2 zestaw iono w t a b lio y 2 .

Poszukiwane ro z w ią z a n ie p rz e d sta w ić więo można w p o s t a c i następu jąoego szeregu potęgowego:

x ( t ) « 0 - 10,07 t

2

+ 40,93 t

3

- 57,34 t

4

+ 178 t

5

(1 9 )

3

, In n a ¡¡¡ożliwośó u z ysk a a ia ro z w ią z a n ia r r n metoda sp loto w ą

W ro zw iązanyoh w yżej p rz yk ła d a o b dokonywano określonego p o d z ia łu tema­

towego r r n , m ianow lole p rz y w sz ystk io h ozłonaoh. lin lo w y o h [p o r . w yraż en ia

O pewnyoh za s to s o w a n ia o h m etody s p l o t o w e j * 41

(

3

)

1

( 1 4 ] . R o zw iązan ie r r n b y ło w tym przypadku lin io w ą kom binaoją współ- ozynników f u n k o ji A ( t ł i f u n k c ji momentów im pulsowej odpow iedzi lin io w e j j z ę ś c l ró w n a n ia .

I s t n i e j e sz e re g inn yoh m o ż liw o ści p o d z ia łu rów nania tematowego ( 3 ) . Na szozególne p o d k re ś le n ie z a s łu g u ją w y n ik i uzyskane metodą sp lo to w ą przez p o d z ia ł r r n przy n ajw yższ ej N - te j poohodnej l i n i o w e j . Rozważmy tę m o ż li- wośó.

P o d z ia ł ro zpatryw anego [z\ ró w n a n ia :

p rz y n a jw yższ e j N - te j pochodnej lin io w e j prow adzi do n a stę p u ją ceg o równo­

ważnego układu równań:

. . . X f CN-1 )(N )

. . x , + f N(x ,x

(N—1 ) , x , . . . x ) » f ( t

1

X ( t

) m

A jj(t ) (

20

a )

(N—

1

⁾

Ajj.it "> = f ( t

)

- f K ( x ( x , . . . x V f (x ,x

(N-1

)

, . . . x ) (2 0 b )

W dalszym o lą g u f zgodnie z metodą sp lo to w ą :

x ( t

)

* ¿ g i t ) *

7

K i t i

a le t e r a z :

(21) n«0

o raz

r

wobec czeg o :

42 Magdalena U m iń sk a- B o rtllo z ek

R ozw iązan ie (2 3 ) rów nania (2 0 ) otrzymane przez p o d z ia ł r r n przy najw yż­

s z e j N - te j pochodnej lin io w e j j e s t zatem N-krotną o a łk ą f u n k o ji AN ( t ) . W s p ó łc z y n n ik i f u n k c ji A j j ( t ) otrzym uje s ię z rów nania re k u re n o y jn e g o , k tó ­ re w sposób n a tu ra ln y J e s t uporządkowane względem k o le jn y o h potęg t .

Omówioną wyżej możliwośó innego u zysk an ia ro z w ią z a n ia r r n zastosujem y do ro z p a tryw a n ych poprzednio równań ( 2 ) 1 ( 1 3 ) .

Równanie 2 . P o d z ia ł ró w n an ia ( 2 ) przy n ajw yższ ej poohodnej lin io w e j pro w ad zi do następu jąoego równoważnego układu równań:

p rz y ozym w w yra ż e n iu [ x ( t ) ] ^ uwzględniono x ( o ) =

0

, oo w ynika z z a ło ż e ­ n ia zerowyoh warunków poozątkowyoh w p rz y k ła d z ie p .

2

.

1

.

P o d s ta w ia ją o (2 5 ) (2 6 ) (2 7 ) dó (2 1 b ) uzyskujemy równanie konieozne d la o b llo z e n la współozynnlków a Q:

x - A ( t )

A ( t ) = 1) ( t ) + t h t - x - x

2

^{(2 4 )}

O b lio z a m y:

OO

(2 5 ) n-0

(2 6 )

n

«2

m

**0

(2 7 )

|n+122n»22n-1

1 b b t 2“ - 1 +

TnT

co Q

—2

°o o

V S T 7 £Q d h d - 2 í.Q Pr i «.o

- Z Z Tm+TT Tn=m=TTT t “ 2 . T T 6

n

-2

^m

«0

^o

*0

(2 8 )

O pewnych zastosow anlaoh metody s p lo t o w e j..

JQ

lu b ró w nanie re k u re n o yjn e d la o b lic z e n ia w spółczynników oQ:

/ . »k+ l^k+ l/.k+ l . « t - » - » « ‘■ W

n

-2

^{_ rt}

V 1 B D—■—2 D“ 1

+ Z Tm+TT • fn-Hi-irr - n • ffl

»0

gdzie

n — lio z b a n a tu r a ln a ,

k — lio z b a n a tu ra ln a n ie p a r z y s t a , ón k - d e lt a K ro n eo k era .

W w yniku o b lic z e ń uzyskujemy z k o le i n a stę p u ją o ą postaó f u n k o ji A ( t )

A f t ) ■ 1 - t 2 + | t “ - t 6 + t 8 + . . .

wobeo ozego ro z w ią z a n ie rów nania ( 2 ) można z ap lsaó n a stę p u ją o o :

cCt ) - | A ( f ) d * - |A (f )d z - | x (^ W t, + x ( o ) -

--

Równanie 13. Podobnie ja k poprzednio przez p o d z ia ł równania (13 i n a jw y ż sz e j poohodnej lin io w e j uzyskujem y:

x « A f t )

A f t ) » f ( t ) - ox2 - bx - ax

( 2 9 )

(3 0 )

(3 1 )

przy

b) (3 2 )

b )

o b lio z a m y :

44 M agdalena llm lń s k a - B o r t lio z e k

x {u = X

Tñ-YTñ tD + ¿ ( o H + x ( o ' (35) n=2

co n-4

Cx ( t 3

2

“ X

¿ L

(m

+1

Wm

+2 )

* iQ-m-3TTn—m

—2

) fcQ

i36 )

n=4 m=o

p rz y czym w w y ra ż e n iu ( 3 6 ) u w z g lę d n io n o , że w a ru n k i początkow e d la rów nań ( 3 2 ) s ą z e ro w e .

P o d s t a w ia j ą c ( 3 3 ) , ( 3 4 ) , ( 3 5 ) i ( 3 6 ) do (3 2 b ) u zysku jem y ró w n a n ie ko­

n ie c z n e d la o b l ic z e n ia w sp ó łcz y n n ik ó w a Q:

V an f n V f i Q ) t

¿ ñT t = Z ,

~ST~

n=o ^{t = t.}

. t Q +

00

o~4 „ „

V

"1

^{m n-m-4 t n .}

~ 0 mTTm+TTTm+TT * (n-m-4 ) 11 n-m-3) (n-m^TT n*4 m=o

- ‘ X

n=2 n=0

(37 )

W wyniku o b lio z e ń fu n k c ja A ( t ) przyjm uje p o s ta ć :

A { t ) ~ 20(-1+12 t - 57,5 t

2

+ 178,3 t

3

- 401 t

4

+ 84,2 t

5

+ . . . ) (3 8 )

wobeo ozegoi

( t ) = 2 0 (- \ t

2

^{+ 2 tJ} - 2 ,8 8 tą + 89 t ? - 13,3 8 t D + 2 0,1

t'

^{. . . ) ( 3 9 )}

4 . Z ak o ń o z e n ie

F u n k o ję A ( t ) p o trz e b n ą d la u z y s k a n ia r o z w ią z a n ia r r n metodą s p lo to w ą o trz y m u je s i ę p rz e z o k r e ć lo n y p o d z ia ł te g o r ó w n a n ia . I s t n i e j e s z e r e g mo- ż l i w o ś o i p o d z ia łu r r n . Każda z n ic h p ro w a d z i o o z y w iś o ie do te g o samego r o z w i ą z a n ia , ró ż n a J e s t n a to m ia s t o za so o h ło n n o ść o b l ic z e ń . P r z y k ła d y r o z ­ w ią z a n e w n in ie js z y m a r t y k u l e p o t w ie r d z a ją p o w yższe. R o z p atryw an o tu dw ie m o ż liw o ć o i p o d z ia łu ró w n a n ia tem atow ego:

a ) p rz y w s z y s tk io h o z ło n a o h li n io w y c h , b ) p rz y n a jw y ż s z e j p o ch o d n ej l i n i o w e j .

O pewnyoh z a s to s o w a n ia c h metody s p l o t o w e j . . 45

Można wykazaó [2] , że ze względu na czasochłonność o b llo z e ń są to m o ż li­

w o śc i s k r a jn e : p o d z ia ł rćw n an ia tematowego przy n ajw yższej pochodnej l i ­ n io w e j prow adzi do ro z w ią z a n ia drogą n a jk r ó t s z ą . Ponadto

3

ta n o w i on w ła ś ­ c iw ą podstawę d la zasto sow ania do ro z w iąz yw an ia r r n t r a n s f o-rmaojl Cauohy- T a y lo r- C a u o h y’ ego [

2

^{] •}

l it e r a t u r a

1 . SAATY T .W .: N o n lin e a r m athem atios. Mo G r a w - H ill, New York 1964..

2 . UMIŃSKA-BORTLICZEK M .: Tran sfo rm ao ja Cauohy-Taylor-Cauohye’g o , i j e j za­

sto so w an ie do badan ia s t a b il n o ś c i pewnych n ie lin io w y c h układów e le k - tr y o z n y c h . Rozprawa d o k to rsk a , G liw ic e 1971

Pr-żyjęto do druku w marou 1972 r .

O HEKOTOPŁK IIPKMEHEHEhX METGflA CllJIETEHlriii

RJlłl PHiEHMh HEJUlHiłiHiffi EPEHLKAJIbHŁK yPABHEHIiM

P e 3 n m e

B cTaTbe npesCTaBJieHH npMMephi upwMeHeHHH MeTo.ua cnaeTeHHa ( 2 ) A»ia pac- u e T a o i B e i a HejiwHeiiHHK saMeHHHK sBynoJiBCHwKOB T u n a R^ -£ u R f l^ C a Ta& se HeKOTopae ocoOeHHae x ap aK T e p n cT n K K M eToaa.

ON SOME APPLICATIONS OF THE CONVOLUTION METHOD FOR SOLVING NON-LINEAR D IFFEREN TIAL EQUATIONS

S u m m a r y

In the p a p e r, some examples o f a p p lic a t io n o f the c o n v o lu tio n method (

2

) in com puting response o f n o n - lin e a r e q u iv a le n t two—p o rt networks type R ,L ,C are p re s e n te d and some s p e c ia l fe a t u r e s o f th e method are d iso u ssed