Wyklad 1 1 Teoria zbiorow 1.1 Pojecie zbioru, Pojecie zbioru jest na pozor bardzo intuicyjne

Matematyka dyskretna dla informatykow. Wyklad 1

1 Teoria zbiorow

1.1 Pojecie zbioru^,

Pojecie zbioru jest na pozor bardzo intuicyjne. O zbiorach ucz^, a si^, e dzieci ju_z w pierw-^, szej klasie szkoly podstawowej. Jest ono tak zakorzenione w czasie przerabiania calego programu szkolnego matematyki, _ze nie zauwa_za sie niebezpieczenstw zwi^, azanych z jego^, stosowaniem. Po raz pierwszy na klopoty zwiazane z dowolnosci^, a okreslenia zbioru zwrocil^, uwage w polowie XIX wieku Bolzano, a rozwin^, al badania nad zbiorami wybitny matema-^, tyk niemiecki Georg Cantor pod koniec XIX wieku. Jego odkrycia byly tak niespodzie- wane, _ze wywolaly gwaltowna reakcj^, e niektorych jego kolegow, posuwaj^, ac^, a si^, e niekiedy^, do odsadzania od czci i wiary tworc^, e teorii zbiorow.^,

Podstawowa obserwacj^, a Cantora bylo to, _ze nie ka_zdy zbior, ktory jestesmy w stanie^, ,,okreslic" istnieje. Niektore konstrukcje myslowe bowiem prowadza do sprzecznosci i^, sprawiaja, _ze to, co nam si^, e zdawalo poprawnym okresleniem zbioru, nie jest w ogole^, de nicja _zadnego obiektu.^,

Nie ma problemow, dopoki u_zywamy zbiorow skonczonych, czyli takich, ktorych ele- menty mo_zna podac przez wyliczenie w skonczonym czasie. Przyklady takich zbiorow, to

f1 3^g,^f1^g,^ff1 3^g 1^g,^ff1 3^{g f}1^ggfff1 3^{g f}1^ggg. Nazwijmyje kolejno^{Z1 Z2 Z3 Z4 Z5}. Pierwszy z tych zbiorow,^Z1ma 2 elementy: 1 oraz 3. Drugi,^Z2, jest zbioremjednoelemen- towym zawierajacymelement1, trzeci,^{, Z3}, dwuelementowym jednymjego elementemjest pierwszy z wy_zej zde niowanych zbiorow, a drugim liczba 1. Czwarty z tych zbiorow, ^Z4 te_z ma 2 elementy: oba sa zbiorami. Pi^, aty ,^{, Z5} jest zbiorem jednoelementowym jego jedynym elementem jest zbior ^Z4.

Bardzo wa_znym zbiorem jest zbior pusty, nie zawierajacy _zadnego elementu i ozna-^, czany przez ^. Przyjmuje sie, _ze wszystkie zbiory puste s^, a sobie rowne, czyli inaczej^, mowiac, zbior pusty jest tylko jeden. Oczywiscie zbior^{, fg} zawierajacy jako jedyny ele-^, ment zbior pusty, sam pusty nie jest. Przyjmujemy konwencje, wedlug ktorej elementy^, zbioru powtarzac sie nie mog^, a^,1, a kolejnosc ich wymieniania nie wplywa na zawartosc zbioru. Dla unikniecia nieporozumien przyjmiemy, _ze jesli przy wyliczaniu elementow^, zbioru jakis element sie powtorzy, to takie powtorzenie ignorujemy. Tak wi^, ec zapis^,

f1 1 2^g bedzie oznaczal zbior^{, f}1 2^g, ktory jest identyczny ze zbiorem ^f2 1^g.

Wlasciwie najlepiej mo_zna okreslic zbior, jako cos, co posiada pewne elementy, przy czym dla ka_zdego obiektu powinnismy byc w stanie stwierdzic, czy do zbioru nale_zy, jako jego element, czy nie. Fakt nale_zenia elementu^xdo zbioru ^A oznaczamy przez^x2A.

Typ obiektow nale_zacych do jednego zbioru mo_ze byc bardzo ro_zny i nawet w ra-^, mach jednego zbioru mamy do czynienia czasami z obiektami zupelnie ro_znych typow.

Przykladem takiego zbioru jest zbior ^Z3, ktorego elementami sa jednoczesnie liczba oraz^, zbior. W informatyce czesto mamy do czynienia ze zbiorami jednakowego typu i niektore^, jezyki programowania (np. Pascal) umo_zliwiaj^, a bezposrednio operowanie na obiektach^, typu zbiorowego. Implementacja zbiorow niejednorodnych co do typu elementow wy- maga pewnych specy cznychtechnik realizacyjnych. Uwaga: do _zargonu informatycznego

1obiekty matematyczne bed^, ace odpowiednikami zbiorow, z t^, a ro_znic^, a, _ze elementy mog^, a si^, e^, powtarzac, nazywane sa wielozbiorami, multizbiorami lub zbiorami z powtorzeniami^,

1

przeniknelo niestety u_zywanie okreslenia^, zbiorzamiastplik, kiedy mowa jest o zapisach na dysku. Nie jest mi znana geneza tej praktyki | w ka_zdym razie pliki dyskowe nie maja^, wiele wspolnego ze zbiorami: sa one najcz^, esciej uporz^, adkowane, elementy wchodz^, ace w^, ich sklad moga si^, e powtarzac, nie mo_zna na nich wykonywac _zadnych standardowych^, operacji zbiorowych. Slowo zbior i tak jest przecia_zone, wi^, ec nadu_zywanie go w jeszcze^, jednym znaczeniu jest nieporozumieniem.

W koncu XIX wieku matematycy pokusili sie o aksjomatyzacj^, e teorii zbiorow (nazy-^, wanej po polsku te_z teoria mnogosci). Uklad aksjomatow zaproponowany na pocz^, atku^, XX wieku przez dwoch matematykow: Zermelo i Fraenkla pozwala na uscislenie pojecia^, zbioru, ale nie bedziemy go tu przytaczali, odwoluj^, ac si^, e do intuicyjnego poj^, ecia zbioru^, i wyjasniwszy nieporozumienia, jakie moga plyn^, ac z radosnego podejscia do problemow^, zwiazanych ze zbiorami.^,

1.2 Klopoty ze zbiorami

Co jest zlego w przyjeciu, _ze zbiorem mo_ze byc wszystko? Ka_zda grupa obiektow, je_zeli^, tylko sobie tego za_zyczymy, powinna dac sie zebrac w zbior. Okazuje si^, e, _ze takie naiwne^, podejscie zawiera nieoczywiste pulapki. Za chwilepodamy prob^, e konstrukcji zbioru, ktora^, doprowadzi do sprzecznosci.

Postawmy sobie pytanie: czy zbior mo_ze byc elementem samego siebie. To znaczy, czy mo_ze zachodzic^A2Adla pewnego zbioru^A? Konstrukcja takiego zbioru w zasadzie powinna bycmo_zliwa. Nielatwo sobie wyobrazic, jak taki twor moglby wygladac, choc, jak^, zaraz sie przekonamy, cos w rodzaju przykladu takiego obiektu b^, edziemy mogli zobaczyc^, na wlasne oczy. Na razie nie wiemy, czy takie zbiory istnieja, ale nam to nie przeszkadza,^, bo jesli nawet nie istnieja, to po prostu zbior zlo_zony ze zbiorow, ktore s^, a swoimi wlasnymi^, elementami jest pusty. Niewatpliwie wi^, ekszosc zbiorow powinny stanowic zbiory, ktore^, same do siebie nie nale_za. Nazwijmy je roboczo ,,normalnymi". Utworzmy zatem zbior^,

Z zlo_zony z takich wlasnie ,,normalnych" zbiorow, ktore do siebie nie nale_za. Postawmy^, teraz pytanie, czy ^{Z 2 Z}? Je_zeli ^{Z 2 Z}, to znaczy, _ze ^Z jest ,,nienormalny", a zatem nie nale_zy do siebie, na mocy swej de nicji. Czyli z tego, _ze ^{Z 2 Z} wynika, _ze ^{Z 2= Z}. Sprzecznosc. Zatem jedyne, co nam pozostaje, to przyjac, _ze^{, Z 2= Z}. Ale wtedy nasz zbior ^Z jest ,,normalny", wiec^{, Z 2Z}. Kolejna sprzecznosc.

Nie da sie tego cyklu przerwac. Po prostu do sprzecznosci przywiodlo nas zalo_zenie, _ze^, istnieje zbior ^Z. Tymczasem takiego zbioru po prostu nie ma. Paradoks ten zauwa_zony zostal po raz pierwszy przez wielkiego matematyka angielskiego, Bertranda Russella i tak naprawde nigdy do konca nie zostal rozwi^, azany. Unika si^, e tego paradoksu przyjmuj^, ac^, pewne ograniczenia na sposoby okreslania zbiorow.

_Zeby pozbyc sie wra_zenia o akademickosci tego problemu, podamy przyklad, tego,^, _ze w informatyce mo_zna sie zetkn^, ac z paradoksem Russella naocznie. Dla tych, ktorzy^, znaja system DOS^{, 2}, wiadomym bedzie, _ze w ka_zdym katalogu mo_zemy miec rozmaite^, podkatalogi oraz pliki. System katalogow normalnie tworzy drzewo opisane w specjalnej tablicy systemowej zwanej FATem (File Allocation Table). Mo_zna zatem powiedziec, _ze katalog, to jest zbior jego podkatalogow (byc mo_ze pusty) oraz zbior znajdujacych si^, e w^, nim plikow (te_z mo_ze byc pusty). Warto zauwa_zyc, _ze podstawowe wlasciwosci zbiorow sa^,

2... i nie tylko: wiekszosc istniej^, acych systemow operacyjnych jest podatna na opisywan^, a poni_zej^, aberracje^,

2

tu zachowane: kolejnosc wymienienia elementow nie ma wplywu na zawartosc katalogu, jak rownie_z niemo_zliwe jest powtorzenie nazwy jakiegokolwiek obiektu w ramach danego katalogu.

Okazuje sie, _ze prosta sztuczk^, a hakersk^, a mo_zna podkatalogiem danego katalogu uczy-^, nic ten sam katalog. Wystarczy w odpowiednim miejscu w tablicy FAT wpisac adres tego katalogu, jako adres jednego z jego podkatalogow. System cokolwiek zglupieje. To zna- czy najczesciej b^, edzie probowal przy wykonywaniu komend przechodzenia do podkatalogu^, wchodzic po prostu po raz kolejny do tego samego katalogu, w ktorym bedziemy widzieli^, kolejna instancj^, e katalogu, w ktorym si^, e caly czas znajdujemy. Program Norton Com-^, mander na przyklad bedzie poslusznie wydlu_zal scie_zk^, e dost^, epu o kolejne wcielenia tego^, samego katalogu, a wyglad zawartosci katalogu nie b^, edzie si^, e zmienial ani na jot^, e. Co^, gorsza, pozbyc sie tego dziwol^, aga wcale nie jest prosto: w szczegolnosci system zabez-^, piecza sie przed usuni^, eciem katalogu, ktory jest niepusty i cos zawiera. O ile usuni^, ecie^, wszystkich plikow i innych podkatalogow jest latwe, o tyle usuniecie samego siebie jako^, podkatalogu powoduje w najlepszym przypadku odmowe z komentarzem, _ze nie mo_zna^, usuwac niepustych podkatalogow.

Wywolanie w takiej sytuacji programu probujacego rozwin^, ac podkatalogi, np. wys-^, wietlajacego pelne drzewo podkatalogow, najcz^, esciej powoduje zawieszenie si^, e systemu.^,

Tak oto paradoks Russella z teorii zbiorow ma swoja ilustracj^, e w informatyce. Proba^, zrobienia katalogu, ktory jest swoim podkatalogiem doprowadza do powa_znych klopotow.

Takich sytuacji w informatyce jest znacznie wiecej. W szczegolnosci trzeba byc ostro_znym^, gdy mamydo czynienia ze strukturami de niowanymi rekurencyjnie, o czym bedzie mowa^, w kolejnych rozdzialach, gdy_z moment nieuwagi mo_ze spowodowac zapetlenie si^, e algo-^, rytmu tak, jak to mialo miejsce w opisywanym przykladzie z katalogami.

Oto inne znane przyklady sprzecznosci oparte na paradoksie Russella.

Przyklad 1. Krol pewnego niewielkiego panstwa wydal edykt, na mocy ktorego jedyny golibroda w krolestwie mial golic tych i tylko tych mieszkancow, ktorzy sie sami nie gol^, a^,. Rozwa_z, czy golibroda powinien sam sie golic, czy nie.^,

Przyklad 2. Niektore ciagi liter i cyfr opisuj^, a w sposob jednoznaczny pewne liczby.^, Przykladowo ciagi: '1', 'jeden', 'liczba o jeden wi^, eksza ni_z zero' opisuj^, a liczb^, e^, 1. Dla odmiany ciag 'liczba, ktora podniesiona do kwadratu daje jeden' nie jest takim ci^, agiem,^, bo nie wiadomo, czy ma okreslac 1, czy ^;1. Podobnie nie jest takim ciagiem ci^, ag 'Ala^, ma kota', ani 'pppqqq'. Rozwa_zmy zbior wszystkich napisow co najwy_zej 1000-literowych i wybierzmy z nich te, ktore okreslaja jednoznacznie pewne liczby. Takich napisow jest^, skonczona liczba, wiec zbior liczb mo_zliwych do okreslenia za pomoc^, a tych napisow b^, edzie^, skonczony. Skoro tak, to bedzie w tym zbiorze istniala liczba najwi^, eksza. Zdeniujmy^, liczbe^{, X}, jako liczbe o 1 od niej wi^, eksz^, a^,. Powy_zszy tekst de niuje pewna liczb^, e. Zauwa_z,^, _ze tekst ten jest pewnym napisem o dlugosci nie przekraczajacej tysi^, aca znakow. Czy^, widzisz sprzecznosc?

1.3 Dzialania i zale_znosci miedzy zbiorami.^,

Wa_zna cech^, a zbiorow jest mo_zliwosc wykonywania na nich dzialan. Najcz^, esciej mamy do^, czynienia z sytuacja, w ktorej rozwa_zane zbiory s^, a podzbiorami pewnego zbioru zlo_zonego^, ze wszystkich interesujacych nas elementow. Taki zbior oznaczymy liter^, a^{, U} i bedziemy^, nazywali przestrzenia. Czasami, kiedy zbior^{, U} jest oczywisty nie bedziemy w ogole o nim^,

3

wspominali.

Wa_znym narzedziem umo_zliwiaj^, acym de niowanie podzbiorow jest zapis^,

X =^fx2U : ^P(^x)^g

ktora tworzy zbior ^X zlo_zony z tych elementow ^x zbioru ^U, ktore spelniaja wlasnosc^,

P(^x). Na przyklad zbior^fx2IN : x jest liczba pierwsz^, a parzyst^, a de niuje zbior jednoe-^, lementowy^f2^g. Istotne jest, aby u_zywac jej tylko wtedy, gdy jest dany zbior ^U. Pozwala to uniknac paradoksu Russella.^,

Powiemy, _ze zbior ^A zawiera sie^, w zbiorze^B (albo, rownowa_znie, jestpodzbiorem^B), wtedy i tylko wtedy, gdy ka_zdy element zbioru^Ajest elementemzbioru^B. Oznaczamy te^, sytuacje przez^{, AB}. Z kolei^A=^B wtedy i tylko wtedy, gdy^AB oraz^{B A}. Je_zeli

A  B i ^{A 6}=^B, to mowimy, _ze ^A jest podzbiorem wlasciwym zbioru ^B i oznaczamy to przez ^AB.

Niech^{A B CU}. Rozwa_zamy nastepuj^, ace dzialania:^,

;A=^fx2U :^{x2= Ag}

AB =^fx2U :^x2A lub ^x2Bg

A\B =^fx2U :^x2A oraz ^x2Bg

AnB=^fx2U :^x2A oraz ^{x2= Bg}

Dzialania te sa nazywane odpowiednio dopelnieniem zbioru, sum^, a dwoch zbiorow, ich^, iloczynem (albo przecieciem) i ro_znic^, a. Zauwa_zmy, _ze^{, AnB 6}= ^A(^;B), wiec nie ma^, analogii z dodawaniem i odejmowaniem liczb. De niuje sie te_z czasami operator^, ro_znicy symetrycznej zbiorow i ze wzgledu na jego u_zytecznosc wprowadzimy go do naszego re-^, pertuaru:

AB =^fx:^x2A lub ^x2B oraz ^x2=A\B

Zatemro_znica symetrycznazlo_zona jest z tychelementow zbiorow^Ai^B, ktore rozro_zniaja^,

A i ^B. Bezposrednio z de nicji wynikaja rownosci:^,

AB = (^AB)^;(^B\A) = (^A;B)^(^B;A) Zachodza nast^, epuj^, ace rownosci:^,

(^AB)^C =^A(^BC) lacznosc sumy^,

AA=^A idempotentnosc sumy

A\A=^A idempotentnosc iloczynu

;(^;A) =^A prawo podwojnego dopelnienia (^A\B)^\C =^A\(^B\C) lacznosc iloczynu^,

AB =^{B A} przemiennosc sumy

A\B =^B\A przemiennosc iloczynu

(^A\B)^C = (^A\C)^(^B\C) rozdzielnosc sumy wzgledem iloczynu^, (^AB)^\C = (^AC)^\(^BC) rozdzielnosc iloczynu wzgledem sumy^,

4

;(^AB) = (^;A)^\(^;B) prawo negacji sumy

;(^A\B) = (^;A)^(^;B) prawo negacji iloczynu Dwa ostatnie prawa nazywaja si^, e te_z^, prawami de Morgana.

A=^A

AU =^U

A\=^

A\U =^A

Cztery ostatnie prawa nazywane sa prawami identycznosci.^,

Bardzo wa_zna konstrukcj^, a jest tworzenie^, uporzadkowanych par^, z elementow dwoch zbiorow. Je_zeli^{a 2A}oraz ^b2B, to przez (^{a b}) bedziemy rozumieli uporz^, adkowan^, a par^, e^, zlo_zona z^{, a}i z ^b. Uwaga: elementy^a i^bnie musza byc ro_zne, a dodatkowo (^{, a b}) = (^{b a}) wtedy i tylko wtedy gdy ^a = ^b. Zatem, jak sama nazwa wskazuje, kolejnosc elementow jest w parze uporzadkowanej, istotna. Zbior^{, f}(^{a b}) : ^{a 2 A b 2 Bg} jest nazywany iloczynem kartezjanskim zbiorow ^Aoraz^B oraz oznaczany przez^AB. W szczegolnosci ma sens pojecie^, kwadratu kartezjanskiego zbioru ^A, ktory okreslamy jako ^AA.

Przyklad Niech^A=^f1 ^f1^{gg B} =^f1 2 3^g.

Wtedy ^AB =^f(1 1) (1 2) (1 3) (^f1^g 1) (^f1^g 2) (^f1^g 3)^g.

Formalnie po raz pierwszy de nicje pary uporz^, adkowanej podal wybitny polski mate-^, matyk, Kaziemierz Kuratowski, ktory pare (^{, a b}) zde niowal jako zbior ^{ffa bg ag}. Przy tej de nicji podaje sie oba elementy, ktore maj^, a w takiej parze wyst^, apic oraz wskazuje^, sie na ten, ktory ma byc pierwszy. Warto zwrocic uwag^, e na to, _ze w przypadku pary^, uporzadkowanej nie _z^, adamy ro_znosci elementow^{, a} i ^b.

Pojecie iloczynu kartezjanskiego uogolnia si^, e na dowolne skonczone ci^, agi zbiorow^,

A

1 ... ^Anprzyjmujac, _ze^{, A1A2} ... ^An=^f(^{a1 a2} ... ^an) :^{a1 2A1 a2 2A2} ... ^{an 2}

A

n g.

Zadania

1. Poka_z, _ze jesli^a2ffbgg, to ^b2a

2. W pewnym kraju znajduje sie centralna biblioteka, ktora zarz^, adza bibliotekami^, lokalnymi. Ka_zda z bibliotek na _zyczenie dyrektora centralnej biblioteki miala przygotowac wydany w formie ksia_zkowej katalog wszystkich ksi^, a_zek znajduj^, acych^, sie w niej, dol^, aczyc taki katalog do swego ksi^, egozbioru, a drugi egzemplarz przeslac^, do centrali. Niektore z przyslanych katalogow zawieraly odnosniki do siebie samych, inne nie. Dyrektor centralnej biblioteki polecil przygotowac wydanie ksia_zkowe^, zawierajace list^, e wszystkich tych katalogow, ktore s^, a we wszystkich bibliotekach^, (w tym w centralnej) i ktore nie zawieraja odnosnika do samego siebie. Czy ten^, katalog powinien zawierac odnosnik do samego siebie?

3. Zadanie 2/34, 4/35, 9/35, 6/35, 7/35, 8/35, 12/36, 15/36,17/36(b,c) z ,,Matematyki dyskretnej" Rossa i Wrighta.

Te z zadan, ktorych sie nie zd^, a_zy zrobic na zaj^, eciach nale_zy zrobic w domu. Jest to^, generalna zasada dotyczaca przyszlych scenariuszy.^,

5