Dodatkowe zadania II Javier de Lucas Cwiczenie 1. Udowodnij, ˙ze ´

Dodatkowe zadania II Javier de Lucas Cwiczenie 1. Udowodnij, ˙ze ´

∀ n ∈ N \ {0, 1} :

n−1

X

k=0

e

^k = 0 .

Cwiczenie 2. Udowodnij, ˙ze: ´

a)

n−1

Y

k=1

sin πk 2n =

√ n

2 ⁿ⁻¹ , b)

n

Y

k=1

sin πk 2n + 1 =

√ 2n + 1 2 ⁿ . Cwiczenie 3. Wykaza´ ´ c, ˙ze odwzorowanie homograficzne

w = az + b

cz + d , (ad − bc = 1), z ∈ C,

odwzorowuje prost¸ a rzeczywist¸ a na siebie wtedy i tylko wtedy, gdy liczby a, b, c, d s¸ a rzeczywiste.

Cwiczenie 4. Znajd´ ´ z wszystkie zespolone rozwi¸ azania r´ ownania |z + i| + |z − i| = 2.

Cwiczenie 5. Niech f : {z ∈ C | |z| = 1} → C b¸edzie funkcj¸a zadan¸a wzorem ´

f (u) = 2u u ² − 4u + 1 . Znajd´ z zbi´ or wszystkich warto´sci funkcji f .

Cwiczenie 6. Wyka˙z, ˙ze ∀x / ´ ∈ 2πZ :

a) cos x + cos 2x + ... + cos nx = sin(nx/2) cos((n + 1)x/2)

sin(x/2) ,

b) sin x + sin 2x + · · · + sin nx = sin ¹ ₂ nx sin ¹ ₂ (n + 1)x

sin ¹ ₂ x .

Cwiczenie 7. Oblicz ´

Cwiczenie 8. Rozszerzon¸ ´ a p laszczyzn¸ a zespolon¸ a nazywa si¸e p laszczyzn¸e zespolon¸ a z do l¸ aczonym ,,punktem w niesko´ nczono´sci” ∞. Wykaza´ c, ˙ze je˙zeli (z ₁ , z ₂ , z ₃ ) i (w ₁ , w ₂ , w ₃ ) s¸ a dwiema tr´ ojkami parami r´ o˙znych punkt´ ow rozszerzonej p laszczyzny zespolonej, to istnieje odwzorowanie homograficzne

w = az + b

cz + d , a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0, przeprowadzaj¸ ace pierwsz¸ a z tych na drug¸ a.

Cwiczenie 9. Rozwi¸ ´ a˙z r´ ownanie z ⁵ + 40z ² − 69z + 108 = 0. Wsk: Skorzysta´c z tego, ˙ze wielomian o rzeczywistych wsp´ o lczynnikach mo˙zna napisa´ c jako mno˙zenie wielomian´ ow a˙z do drugiego stopnia.

Cwiczenie 10. Udowodnij, ˙ze cos(2π/7) jest pierwiastkiem wielomianu 8z ´ ³ +4z ² −4z−1.

Cwiczenie 11. Podaj przyk lad wielomianu nad Z ´ 5 kt´ orego funkcja wielomianowa jest zerem.

Cwiczenie 12. Dla kt´ ´ orych warto´sci p nast¸epuj¸ ace wektory



 p 2 1



 ,



 0 p p



 ,



 1 9 1





s¸ a liniowo niezale˙zne nad R i nad C.

Cwiczenie 13. Dla ka˙zdego z poni˙zszych podzbior´ ´ ow W przestrzeni liniowej V sprawdzi´ c czy spe lnia on definicj¸e podprzestrzeni:

a) W := {(x ₁ , x ₂ ) ∈ V | x ₁ , x ₂ ∈ Z}, gdzie V = R ² ;

b) W := {(x 1 , x 2 ) ∈ V | x 1 = 0 lub x 2 = 0}, gdzie V = R ² ; c) W := {(x ₁ , x ₂ ) ∈ V | |x ₁ | − |x ₂ | = 1}, gdzie V = R ² ; d) W := {(x ₁ , x ₂ ) ∈ V | x ² ₁ + x ² ₂ = 2x ₁ x ₂ }, gdzie V = R ² ;

e) W := {w ∈ V : w ⁰ = 2w }, gdzie V to przestrze´ n wielomian´ ow o wsp´ o lczynnikach

rzeczywistych a˙z do stopnia n i w ⁰ oznacza pochodn¸ a wielomianu w.

Cwiczenie 14. Sprawd´ ´ z liniow¸ a niezale˙zno´s´ c nast¸epuj¸ acych wektor´ ow w przestrzeni lin- iowej wielomian´ ow. Je˙zeli s¸ a liniowo zale˙zne to zredukuj system do liniowo niezale˙znego.

v ₁ = x ³ + 2x ² + 3x + 4, v ₂ = x ³ + 3x ² + 4x + 5, v ₃ = x ² + 2x ² + 3x + 3, v 4 = x ³ + 2x ² + 3x.

Cwiczenie 15. Niech V ´ ₁ i V ₂ b¸ed¸ a podprzestrzeniami przestrzeni R ⁴ , gdzie V ₁ jest rozpi¸eta przez wektory







 2 1 3 4







 ,







 3 9 3 9







 ,









−1 7

−3 1







 ,

a V ₂ przez wektory







 1

−3 3 0







 ,







 2 5 3 5







 ,







 1 8 0 5







 .

Znale´ z´ c bazy i wymiary przestrzeni V 1 + V 2 oraz V 1 ∩ V 2 .

Cwiczenie 16. Niech V ´ ₁ i V ₂ b¸ed¸ a podprzestrzeniami przestrzeni R ⁴ , gdzie V ₁ jest rozpi¸eta przez wektory







 3 2 1 0







 ,







 4 3 0 2







 ,







 1 2 2

−3







 ,

a V ₂ jest opisana uk ladem r´ owna´ n

U ₂ :

 x ₁ + 2x ₂ − x ₃ + x ₄ = 0 2x ₁ + 5x ₂ + x ₃ − 5x ₄ = 0 . Znale´ z´ c bazy i wymiary przestrzeni V ₁ + V ₂ oraz V ₁ ∩ V ₂ .

Cwiczenie 17. Niech v ´ ₁ = (3, 2, 1, 2), v ₂ = (9, 6, 3, 6), v ₃ = (6, 6, 6, 5) i v ₄ = (6, 8, 10, 6).

Czy wektor u = (1, 2, 3, 4) jest kombinacj¸ a liniow¸ a wektor´ ow {v i } i=1,...,4 ?

Cwiczenie 18. Dana przestrze´ ´ n R ⁴ i podprzestrzenie

V ₁ = h(1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (3, 2, 3, 2)i, V ₂ = h(2, 3, 4, 5), (1, 2, 3, 0)i.

Oblicz bazy V ₁ , V ₂ i ich wymiary. Oblicz V ₁ + V ₂ i V ₁ ∩ V ₂ . Czy V ₁ ⊕ V ₂ ? W takim przypadku oblicz rzutowanie wektora (1, 2, 3, 0) na V ₁ r´ ownolegle do V ₂ .

Cwiczenie 19. Czy przekszta lcenie ϕ : R ´ ³ → R ² ,

ϕ



 x ₁ x ₂ x ₃



 :=  (x ₁ + 2) ² − x ₁ − x ₃ − 4 4x ₁ + 2x ₂ + 6x ₃

 ,

jest przekszta lceniem liniowym?

Cwiczenie 20. Okre´sl wymiar i znajd´ ´ z bazy podprzestrzeni w R ⁵ zadanych przez uk lady r´ owna´ n:

a)



 

 

 



 

 

 



x ₁ + 2x ₂ + x ₃ + 2x ₄ + x ₅ = 0, x ₁ + 2x ₂ + 2x ₃ + 2x ₄ + x ₅ = 0, x ₁ + 2x ₂ + x ₃ + 2x ₄ + x ₅ = 0, 2x ₁ − x ₃ + 2x ₅ = 0,

4x ₁ + 4x ₂ + 3x ₃ + 4x ₄ + 4x ₅ = 0.

b)



 

 

 



 

 

 



x ₁ + 2x ₂ + 3x ₃ + 4x ₄ + 5x ₅ = 0, 2x ₁ + 3x ₂ + 4x ₃ + 5x ₄ + x ₅ = 0, 3x ₁ + 4x ₂ + 5x ₃ + x ₄ + 2x ₅ = 0, 4x ₁ + 5x ₂ + x ₃ + 2x ₄ + 3x ₅ = 0, 5x ₁ + x ₂ + 2x ₃ + 3x ₄ + 4x ₅ = 0.

Cwiczenie 21. Niech V ´ ₁ i V ₂ b¸ed¸ a podprzestrzeniami przestrzeni R ⁴ opisanymi uk ladami r´ owna´ n liniowych odpowiednio U ₁ i U ₂ :

U ₁ :  2x ₁ + x ₂ − x ₃ + 4x ₄ = 0,

3x ₁ − x ₂ + 2x ₃ + x ₄ = 0, U ₂ :  −x ₁ + 2x ₂ − 5x ₃ + 3x ₄ = 0, 3x ₁ − 4x ₂ + 10x ₃ − 6x ₄ = 0.

Znale´ z´ c bazy i wymiary przestrzeni V ₁ + V ₂ oraz V ₁ ∩ V ₂ .

Cwiczenie 22. Niech V ´ ₁ i V ₂ b¸ed¸ a podprzestrzeniami przestrzeni R ⁴ opisanymi uk ladami r´ owna´ n liniowych odpowiednio U ₁ i U ₂ :

U 1 :  2x ₁ + x 2 − x 3 + 4x 4 = 0,

3x ₁ − x ₂ + 2x ₃ + x ₄ = 0, U 2 :  −x ₁ + 2x 2 − 5x 3 + 3x 4 = 0, 3x ₁ − 4x ₂ + 10x ₃ − 6x ₄ = 0.

Znale´ z´ c bazy i wymiary podprzestrzeni V 1 + V 2 oraz V 1 ∩ V 2 .