Lista 9: Przestrzenie liniowe
(1) W zbiorze R
2okre´slamy dzia lania dodawania (x
1, x
2) + (y
1, y
2) = (x
1+ y
1, x
2+ y
2), oraz mno˙zenia przez liczb¸e
α ◦ (x
1, x
2) = (αx
1, αx
2).
Sprawdzi´ c, czy czw´ orka (R
2, R, +, ◦) jest przestrzeni¸a wektorow¸a.
(2) Niech V = (0, ∞). Okre´slamy dzia lania ∗ oraz ◦ w nast¸epuj¸ acy spos´ ob
∀
a,b∈Va ∗ b = ab,
∀
α∈R∀
a∈Vα ◦ a = a
α.
Zbada´ c, czy (V, R, ∗, ◦) jest przestrzeni¸a wektorow¸a.
(3) W zbiorze R
2okre´slono dzia lania
(x
1, y
1) + (x
2, y
2) = (x
1+ x
2, y
1+ y
2), α · (x, y) = (αx, y).
Czy (R
2, R, +, ·) jest przestrzeni¸a wektorow¸a?
(4) W zbiorze R
2okre´slono dzia lania
(x
1, y
1) + (x
2, y
2) = (x
1+ x
2, y
1+ y
2), α · (x, y) = (αx, −αy).
Czy (R
2, R, +, ·) jest przestrzeni¸a wektorow¸a?
(5) W zbiorze R
3rozpatrzmy podzbiory:
(a) A
1= {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1= 0}, (b) A
2= {(x
1, x
2, x
3) ∈ R3; x
1· x
2= 0},
(c) A
3= {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
26= 0}, (d) A
4= {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1+ x
2= 0},
(e) A
5= {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1+ x
2+ x
3= 0}, (f) A
6= {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1+ x
2= 1}.
Zbada´ c, czy (A
i, +, ·), gdzie i = 1, ..., 6, jest podprzestrzeni¸ a R
3.
(6) Kt´ ore z podzbior´ ow V
1, V
2⊂ R
4s¸ a podprzestrzeniami R
4(R):
(a) V
1= {x ∈ R
4; x
1∈ Z},
(b) V
2= {x ∈ R
4; x
1= 0 ∨ x
2= 0}.
(7) Czy A, B s¸ a podprzestrzeniami przestrzeni V , gdzie:
(a) V = R
4, A = {(x, x + 1, 0, 1); x ∈ R},
(b) V = R
4, B = {(x, y, x + y, x − y}; x, y ∈ R}.
1
