Metody Numeryczne Laboratorium 1 Bł¸edy numeryczne. Arytmetyka zmiennopozycyjna.
Zadanie 1 (5 pkt) Obliczamy numerycznie pochodn¸a funkcji f (x) = sin(x) w punkcie x0 = 1.5. Prosz¸e napisać skrypt w OCTAVE o nazwie pochsin.m do zobrazowania wza- jemnego przenikania si¸e bł¸edów dyskretyzacji i bł¸edów zaokr¸agleń.
Wskazówka. Prosz¸e rozwin¸ać funkcj¸e f (x) w szereg Taylora.
Zadanie 2 (5 pkt) Prosz¸e obliczy˙c numerycznie wartość funkcji f (x) = √
x + 1 −√ x dla x = 105 w pi¸eciopozycyjnej arytmetyce dziesi¸etnej.
Zadanie 3 (5 pkt) Prosz¸e napisać w OCTAVE skrypt funkcyjny o nazwie roundc.m zaokr¸aglania dowolnej liczby x zapisanej w arytmetyce zmiennopozycyjnej do n pozycji dziesi¸etnych.
Zadanie 4 (5 pkt) Obliczamy wartość funkcji h(x) = sinh(x) = ex−e2−x dla wartości x 1. Ze wzgl¸edu na bł¸edy obliczeń, prosz¸e zastosować rozwini¸ecie funkcji h(x) w szereg Taylora np. do trzech składników.
Prosz¸e napisać w OCTAVE skrypt o nazwie sinhip.m zobrazowuj¸acy efekt przenikania si¸e bł¸edów dyskretyzacji i zaokr¸agleń dla argumentów x = 0 : .01 : 1.
Zadanie 5 (5 pkt) Prosz¸e napisać w OCTAVE skrypt o nazwie sindwapi.m obliczaj¸acy wartości funkcji s(x) = sin (2πt) w 101 równoodległych punktach od 0 do 1.
Zadanie 6 (5 pkt) Ile różnych liczb zmiennoprzecinkowych - znormalizowanych wyst¸epuje w arytmetyce zmiennoprzecinkowej (β, t, L, U ) = (10, 4, −1, 2)?
Zadanie 7 (5 pkt) Prosz¸e napisać w OCTAVE skrypt o nazwie lizmp.m obliczaj¸acy ilość różnych liczb znormalizowanych w arytmetyce zmiennoprzecinkowej (β, t, L, U ) w zależności od wartości β, t, L, U.
Wskazówka . Prosz¸e zastosować instrukcj¸e wewnetrzn¸a OCTAVE input( ).
Zadanie 8 (5 pkt) Prosz¸e zapisać liczb¸e x = 488 w standardowym formacie 64 - bitowym IEEE i odwrotnie.
Zadanie 9 (5 pkt) Prosz¸e udowodnić, że najwi¸eksza liczba reprezentowana precy- zyjnie w 64-bitowym formacie IEEE jest nie wi¸eksza od 21024≈ 10308.
Zadanie 10 (5 pkt) Prosz¸e udowodnić, że najmniejsza liczba reprezentowana precy- zyjnie w 64-bitowym formacie IEEE jest nie mniejsza od 2.2∗10−308.
1
Zadanie 11 (5 pkt) Prosz¸e udowodnić że bł¸ad bezwzgl¸edny |x − f l(x)| dowolnej liczby x ∈ R zapisanej w systemie zmiennopozycyjnym (β, t, L, U ) jest nie wi¸ekszy od β−t∗βe - dla obcinania i 12β−t∗ βe - dla zaokr¸aglania.
Zadanie 12 (5 pkt) Prosz¸e udowodnić że bł¸ad wzgl¸edny |x−f l(x)||x| dowolnej liczby x ∈ R zapisanej w systemie zmiennopozycyjnym (β, t, L, U ) jest nie wi¸ekszy od ε = β1−t. - dla obcinania i η = 12β1−t - dla zaokr¸aglania.
Zadanie 13 (5 pkt) Ile wynosi epsilon maszynowy ε w OCTAVE ? Pami¸etajmy, że program OCTAVE pracuje w 64 - bitowym standardzie IEEE.
Zadanie 14(5 pkt) Epsilon maszynowy ε jest także definiowany jako odległość liczby 1 od najbliższej liczby zmiennoprzecinkowej w komputerze - wi¸ekszej od 1, (1 + ε > 1).
Prosz¸e napisać w OCTAVE skrypt o nazwie epsilon.m obliczaj¸acy jego wartość.
Zadanie 15 (5 pkt) Funkcj¸e f1 = cos(x + δ) − cos(x) możemy przekształcić do in- nej postacif2(x, δ), stosuj¸ac tożsamość trygonometryczn¸a na różnic¸e kosinusów. cos(ϕ) − cos(η) = −2 sin(ϕ+η2 ) sin(ϕ−η2 ). Zakładamy, że funkcje f1 i f2 przyjmuj¸a takie same wartości dla dowolnych argumentów x i δ. Prosz¸e obliczyć wartość funkcji f2(x, δ) dla x = 3, δ = 1.e−11.
Zadanie 16 (5 pkt) Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego x2− 2bx + c = 0, b2 > c, używaj¸ac dwóch różnych algorytmów: (a) x1 = b +√
b2− c, x2 = b −√ b2− c, (b) jeśli b > 0 to x1 = b +√
b2− c, x2 = c/x1 w przeciwnym razie x2 = b −√ b2 − c, x1 = c/x2. Który z algorytmów daje dokładniejszy wynik i dlaczego?
Zadanie 17 (5 pkt) Całk¸e yn = R1 0
xn
x+10dx dla n = 1, 2, . . . , 30 możemy obliczyć ze wzoru rekurencyjnego yn = n1 − 10yn−1 przy czym y0 = R1
0 1
x+10 = ln(11) − ln(10) Prosz¸e udowodnić ten zwi¸azek i obliczyć w OCTAVE yn dla n = 1, 2, . . . , 30.
Zadanie 18 (5 pkt) Obliczamy wartość funkcji w arytmetyce fl( ), f1(a, b) = a2− b2 i f2 = (a − b)(a + b). Która z postaci funkcji ”daje ”mniejszy bł¸ad obliczeń i dlaczego?
Zadanie 19 (5 pkt) Liczba 83 = 2.666 . . . nie daje si¸e przedstawić w arytmetyce dziesi¸etnej (β = 10) ze skończon¸a precyzj¸a t. Czy jest taki system zmiennopozycyjny (β t, L, U ), w którym ta liczba ma przedstawienie skończone
Zadanie 20 (5 pkt) W statystycznej analizie danych cz¸esto obliczamy wielkości x =
1 n
Pn
i=1xi, s2 = n1Pn
i=1(xi − x)2 nazywane odpowiednio wartości¸a średni¸a i wariancj¸a, gdzie x1, . . . , xn s¸a wielkościami danymi, pochodz¸acymi z badań lub obserwacji. Zakła- damy, że n = 10000. Można wykazać, że s2 możemy zapisać w postaci s2 = 1nPn
i=1x2i−x2. Która z metod obliczania s2 jest tańsza ? Napisz skrypt w OCTAVE o nazwie stat.m do obliczeń x i s2.
2
