Zmienne losowe dyskretne

(1)

Z. l. dyskretne Dystrybuanta Z. l. ciągłe Dystrybuanta Dodatek

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

4.1. Zmienne losowe dyskretne i ciągłe.

Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

(2)

Definicja/Rozkład

Zmienne losowe dyskretne

Definicja

Zmienną losową, która jest skupiona na co najwyżej przeliczalnej liczbie wartości nazywamyzmienną losową dyskretną

Przykład 1

Które wśród zmiennych:

X – wygrana Bolka w ruletkę (postawił na czerwone); Y – liczba punktów Lolka przy strzale w tarczę; Z – odległość strzału Lolka od środka tarczy; są zmiennymi losowymi dyskretnymi?

(3)

Definicja/Rozkład

Zmienne losowe dyskretne

Definicja

Zmienną losową, która jest skupiona na co najwyżej przeliczalnej liczbie wartości nazywamyzmienną losową dyskretną

Przykład 1

Które wśród zmiennych:

X – wygrana Bolka w ruletkę (postawił na czerwone);

Y – liczba punktów Lolka przy strzale w tarczę;

Z – odległość strzału Lolka od środka tarczy;

są zmiennymi losowymi dyskretnymi?

(4)

Z. l. dyskretne Dystrybuanta Z. l. ciągłe Dystrybuanta Dodatek Definicja/Rozkład

Definicja

Dla zmiennej losowej X , dowolną liczbę rzeczywistą a ∈ R taką, że PX({a}) = P (X = a) > 0

nazywamyatomem (rozkładu) zmiennej losowej X .

(5)

Przypomnienie

Rozkładem zmiennej losowej X

nazywamy miarę probabilistyczną PX na prostej R wyposażonej w σ-ciało zbiorów borelowskich B(R) zadaną wzorem

PX(A) := P

ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A

= P X⁻¹(A)= P(X ∈ A) dla dowolnego borelowskiego zbioru A ∈ B(R)

Rozkład zmiennej losowej dyskretnej

Niech A = {a1, a2, . . .} będzie zbiorem wszystkich atomów dyskretnej zamiennej losowej X . Wtedy PX(A) = P (X ∈ A) = 1 i aby podać rozkład zmiennej X wystarczy podać wartości:

PX({a1}) = P (X = a1) , PX({a₂}) = P (X = a2) , ...

Dlaczego?

(6)

Przykład 2

Podaj rozkład zmiennej losowej X równej wygranej Bolka w ruletkę.

Przykład 3

Podaj rozkład zmiennej losowej Y równej liczbie punktów zdobytych przez Lolka w rzucie do celu.

(7)

Własności rozkładu zmiennej losowej dyskretnej Niech A = {a1, a2, . . .} będzie zbiorem wszystkich atomów (rozkładu) zamiennej losowej dyskretnej X . Wtedy

1 PX({x }) = P (X = x) > 0 dla x ∈ A;

2 P

x ∈APX({x }) =^P_{x ∈A}P (X = x ) = 1.

(8)

Histogram i dystrybuanta

Przykład 2 c.d.

Narysuj histogram zmiennej losowej X równej wygranej Bolka w ruletkę.

Przykład 2 c.d. c.d.

Narysuj dystrybuantę zmiennej losowej X równej wygranej Bolka w ruletkę.

Przypomnienie

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R → R daną wzorem

F (a) = PX((−∞, a]) = P (X ¬ a) .

(9)

Histogram i dystrybuanta

Przykład 2 c.d.

Narysuj histogram zmiennej losowej X równej wygranej Bolka w ruletkę.

Przykład 2 c.d. c.d.

Narysuj dystrybuantę zmiennej losowej X równej wygranej Bolka w ruletkę.

Przypomnienie

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F : R → R daną wzorem

F (a) = PX((−∞, a]) = P (X ¬ a) .

(10)

Własności dystrybuanty zmiennej dyskretnej

Przypomnienie

Dystrybuanta F zmiennej losowej ma następujące własności:

1 jest niemalejąca;

2 F (−∞) = lim_t→−∞F (t) = 0,

3 F (∞) = lim_t→∞F (t) = 1;

4 jest prawostronnie ciągła, tzn. F (t) = lim_s→t⁺F (s) Własności dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej

W dodatku, jeśli zmienna losowa jest dyskretna i jest skupiona na zbiorze atomów {x1, x2, . . .}, to jej dystrybuanta F

jest funkcją schodkową (przedziałami stałą);

z punktami nieciągłości w x₁, x₂, . . ..

(11)

Przykład 4

Lolek strzela jeden raz do tarczy. Wiemy, że zawsze trafia do tarczy i w dowolny punkt tarczy trafia „z tym samym prawdopodobieństwem”.

Z – odległości strzału od środka tarczy Dystrybuanta zmiennej losowej Z

F (z) =











0 dla z < 0

1

100z² dla 0 ¬ z ¬ 10 1 dla z > 10

(12)

Jak określić rozkład tej zmiennej losowej?

Definicja

Zmienna losowa X jest (absolutnie)ciągła(ma rozkład ciągły), jeśli istnieje funkcja f : R → R+ taka, że dla każdego

borelowskiego zbioru A ∈ B(R) zachodzi PX(A) = P(X ∈ A) =

Z

A

f (x ) dx ;

funkcję f nazywamyfunkcją gęstości prawdopodobieństwa, (gęstością)

Uwaga

Aby podać rozkład zmiennej losowej ciągłej X wystarczy podać jej funkcję gęstości. Dlaczego?

(13)

Definicja

Z

A

f (x ) dx ;

Uwaga

(14)

Definicja

Z

A

f (x ) dx ;

Uwaga

(15)

Ważny wniosek

Jeśli zmienna X ma rozkład ciągły z gęstością f , wówczas dla dowolnych a ¬ b zachodzi

P(a ¬ X ¬ b) = P (a < X < b) = P (X ∈ (a, b)) = Z b

a

f (x ) dx

P (X = a) = Z a

a

f (x ) dx = 0

„pole pod wykresem”

Własności gęstości

1 f (x ) 0,

2 R∞

−∞f (x ) dx = P (X ∈ (−∞, ∞)) = PX(R) = 1,

(16)

Ważny wniosek

Jeśli zmienna X ma rozkład ciągły z gęstością f , wówczas dla dowolnych a ¬ b zachodzi

P(a ¬ X ¬ b) = P (a < X < b) = P (X ∈ (a, b)) = Z b

a

f (x ) dx

P (X = a) = Z a

a

f (x ) dx = 0

„pole pod wykresem”

Własności gęstości

1 f (x ) 0,

2 R∞

−∞f (x ) dx = P (X ∈ (−∞, ∞)) = PX(R) = 1,

(17)

Z. l. dyskretne Dystrybuanta Z. l. ciągłe Dystrybuanta Dodatek Dystrybuanta z.l. ciągłej

Przypomnienie

Dystrybuantą zmiennej losowej X

nazywamy funkcję FX : R → R+ zadaną wzorem

F_X(t) := P(X ¬ t) = P (X ∈ (−∞, t]) = PX((−∞, t]).

Ważny fakt

Jeśli X jest zmienną losową ciągłą z gęstością f , wówczas dystrybuanta F_X jest funkcją ciągłą,

F_X(t) = P (X ∈ (−∞, t]) = Z t

−∞

f (x ) dx dla każdego t.

f (t) = F_X⁰ (t) dla tych t, dla których prawa strona istnieje.

(18)

Przypomnienie

F_X(t) := P(X ¬ t) = P (X ∈ (−∞, t]) = PX((−∞, t]).

Ważny fakt

F_X(t) = P (X ∈ (−∞, t]) = Z t

−∞

(19)

Przypomnienie

F_X(t) := P(X ¬ t) = P (X ∈ (−∞, t]) = PX((−∞, t]).

Ważny fakt

F_X(t) = P (X ∈ (−∞, t]) = Z t

−∞

(20)

Dystrybuanta z.l. ciągłej

Przydatne fakty

Jeśli zmienna losowa jest ciągła, to ma ciągłą dystrybuantę.

Nie każda zmienna losowa o ciągłej dystrybuancie jest zmienną losową ciągłą. (przykład na ćwiczeniach)

Jeśli dystrybuanta FX jest funkcją ciągłą oraz jest przedziałami różniczkowalna (tzn. jest różniczkowalna wszędzie, z

wyjątkiem skończenie wielu punktów), to X ma rozkład ciągły. Zmienna losowa ciągła o danej gęstości f ma tylko jedną dystrybuantę;

Zmienna losowa ciągła o danej dystrybuancie F nie ma jednoznacznie wyznaczonej gęstości

(może mieć wiele gęstości, które różnią się tylko na zbiorach miary 0).

(21)

Przydatne fakty

wyjątkiem skończenie wielu punktów), to X ma rozkład ciągły. Zmienna losowa ciągła o danej gęstości f ma tylko jedną dystrybuantę;

(22)

Przydatne fakty

wyjątkiem skończenie wielu punktów), to X ma rozkład ciągły.

Zmienna losowa ciągła o danej gęstości f ma tylko jedną dystrybuantę;

(23)

Przydatne fakty

(24)

Przydatne fakty

(25)

Podaj gęstość poniższych zmiennych losowych.

Na jakim zbiorze są one skupione?

Przykład 6

Z – odległość strzału Lolka od środka tarczy.

F (z) =











0 dla z < 0

1

100z² dla 0 ¬ z ¬ 10 1 dla z > 10

Przykład 7

T – czas przyjścia Toli na przystanek.

F (t) =











0 dla t < 0

1

60t dla 0 ¬ t ¬ 60 1 dla t > 60

(26)

O Toli ciąg dalszy.

Przykład 8

Tola przychodzi na przystanek rano w dowolnym momencie między 7.00 a 8.00.

O wiele większe szanse są na to, że Tola przyjdzie przed 8.00 tzn.

Czas przyjścia na przystanek ma gęstość:

f (t) =











0 dla t < 0

1

60 dla 0 ¬ t ¬ 60 0 dla t > 60

Pasują jej dwa autobusy: 74 i 91. Oba jeżdżą punktualnie według rozkładu:

74: ... 7.00, 7.30, 8.00, ... ; 91: ... 7.10, 7.40, 8.10, ... ;

Jaka jest szansa, że Tola pojedzie autobusem 74?

(27)

O Toli ciąg dalszy.

Przykład 8

Tola przychodzi na przystanek rano w dowolnym momencie między 7.00 a 8.00.

O wiele większe szanse są na to, że Tola przyjdzie przed 8.00 tzn.

Czas przyjścia na przystanek ma gęstość:

f (t) =











0 dla t < 0

1

1800t dla 0 ¬ t ¬ 60 0 dla t > 60

Pasują jej dwa autobusy: 74 i 91. Oba jeżdżą punktualnie według rozkładu:

74: ... 7.00, 7.30, 8.00, ... ; 91: ... 7.10, 7.40, 8.10, ... ;

Jaka jest szansa, że Tola pojedzie autobusem 74?

(28)

Dodatek

Z zupełnie innej beczki

Przykład 9

Rzucamy kostką K4. Jeśli wypadnie liczba parzysta zapisujemy ją a jeśli nieparzysta, to zapisujemy losową liczbę wybraną z odcinka [0,1]. Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej loswej. Czy jest ona dyskretna/ciągła/ani dyskretna ani ciagła.

(29)

Dodatek

Zmienne (i rozkłady prawdopodobieństwa) nie są tylko dyskretne lub ciągłe!!!

Szczypta teorii miary itp.

Jeśli µ jest rozkładem prawdopodobieństwa na R i dla pewnej funkcji f : R → R całkowalnej w sensie Lebesgue’a mamy

µ(A) = Z

A

f (x )dµ, A ∈ B(R),

to f nazywamy gęstością rozkładu µ (uwaga: całka powyżej to całka Lebesgue’a).

Dla rozkładu PX zmiennej losowej dyskretnej X : f (x ) = PX(x ) = P (X = x) , x ∈ R

Dla rozkładu PX zmiennej losowej ciągłej X : f to jest gęstość zdefiniowana w tym rozdziale.

(30)

Dodatek

Podsumowanie

Która z poniższych funkcji jest dystrybuantą? Która jest dystrybuantą zmiennej losowej ciągłej/dyskretnej?

1. 2. 3. 4.

Jak podać rozkład zmiennej losowej ciągłej/dyskretnej? Jakie własności ma gęstość zmiennej ciągłej?

Jakie własności mają prawdopodobieństwa atomów zmiennej losowej dyskretnej?

Na jakim zbiorze jest skupiona zmienna losowa ciągła/dyskretna?

(31)

Dodatek

Podsumowanie

1. 2. 3. 4.

Jak podać rozkład zmiennej losowej ciągłej/dyskretnej?

Jakie własności ma gęstość zmiennej ciągłej?

(32)

Dodatek

Podsumowanie

1. 2. 3. 4.

(33)

Dodatek

Podsumowanie

1. 2. 3. 4.