10DRAP - Zmienne losowe

10DRAP - Zmienne losowe

Definicja. 1. Niech f : X → Y będzie funkcją i niech A ⊆ Y . Przeciwobrazem zbioru A względem funkcji f nazywamy zbiór

f⁻¹(A) = {x ∈ X : f (x) ∈ A}.

Definicja. 2. Niech (Ω, F , P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienna losowa to funkcja X : Ω → R taka, że X⁻¹(A) ∈ F dla dowolnego zbioru borelowskiego A ⊆ R.

Definicja. 3. Zmienna losowa (rozkład zmiennej losowej) X jest skupiona na zbiorze S, jeśli PX(S) = P X⁻¹(S)
= P (X ∈ S) = 1.

(Podajemy najmniejszy lub „najładniejszy” taki zbiór.)

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1. Dla podanych niżej funkcji f oraz zbiorów A, B znajdź przeciwobrazy f⁻¹(A) i f⁻¹(B).

a. f : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → {0, 1}, f (x) =

(0, jeśli x jest liczbą parzystą,

1, jeśli x jest liczbą nieparzystą. , A = {0, 1}, B = (0, 1), b. f : R → R, f (x) = sin(x), A = {−1, 0, 1}, B = (−1, 1),

c. f : R → R, f (x) = bxc, A = {−1, 0, 2}, B = [−1, 2],

d. f : [0, 2] × [0, 2] → [0, 2], f (x, y) = x, A = {0, 1, 2}, B = (−∞, 1).

Zadanie A.2. Niech f : X → Y będzie funkcją i niech B, B1, B2⊆ Y . Udowodnij, że a. f⁻¹(B1∩ B2) = f⁻¹(B1) ∩ f⁻¹(B2),

b. f⁻¹(B₁\ B₂) = f⁻¹(B₁) \ f⁻¹(B₂),

c. f (f⁻¹(B)) ⊆ B. Kiedy zachodzi f (f⁻¹(B)) = B?

Zadanie A.3. Myśliwy ma trzy naboje i strzela do momentu trafienia do celu lub do momentu wystrzelenia wszystkich naboi. Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy każdym strzale jest równe 1/3. Liczba wystrzelonych naboi jest zmienną losową X.

a. Opisz przestrzeń probabilistyczną związaną z tym eksperymentem;

b. Narysuj obrazowo funkcję X : Ω → R.

c. Wynacz zbiory {X ¬ 1, 5} = X⁻¹((−∞; 1, 5]), {X = 2} = X⁻¹({2}).

d. Wyznacz P (X = x) dla x = 0, 1, 2, 3, 4.

e. Na jakim zbiorze jest skupiona X?

Zadanie A.4. Z trójkąta o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1) wybrano losowo (zgodnie z prawdopodobieństwem geome- trycznym) jeden punkt. Niech X oznacza pierwszą współrzędną wybranego punktu.

a. Opisz przestrzeń probabilistyczną związaną z tym eksperymentem;

b. Wynacz zbiory {X ¬ 1/2} = X⁻¹((−∞; 1/2]), {X = 1/2} = X⁻¹({1/2}).

c. Oblicz P(X ¬ 1/2) i P(X = 1/2).

d. Na jakim zbiorze jest skupiona X?

Zadanie A.5. Grzesiu zwykle ma problem z podjęciem decyzji o wyjściu z imprezy. Zaraz przed północą rzuca monetą.

Jeśli wypadnie orzeł, to wychodzi o północy. Jeśli wypadnie reszka, to wychodzi w losowym momencie między północą a godziną pierwszą. Niech X oznacza moment (czas po północy liczony w godzinach) wyjścia z imprezy.

a. Wyznacz zbiory {X = 0} = X⁻¹({0}) oraz {X < 1/2} = X⁻¹((−∞, 1/2)).

b. Na jakim zbiorze jest skupiona zmienna losowa X?

c. Oblicz: P (X = 0), P (X = 1/2), P (X > 1/2).

1

Zadanie A.6. Niech X będzie zmienną losową określoną na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F , P). Wykaż, że a. P (X < 3) = 1 − P (X ­ 3),

b. P (1 < X < 2) = P (X < 2) − P (X ¬ 1), c. P (X < 7) = P (X ¬ 7) − P (X = 7).

Zadanie A.7. Antek przegląda oferty wczasów zagranicznych. Do wyboru ma trzy kraje (Włochy, Grecję i Hiszpanię) oraz trzy długości pobytu (7,10 lub 14 dni). Wakacje 14-dniowe kosztują 5000 zł (niezależnie od kraju), wakacje 10-dniowe w Grecji lub Hiszpanii kosztują 4500 zł, a pozostałe wakacje kosztują 4200 zł. Załóżmy, że Antek wybiera losowo i niezależnie kraj oraz długość pobytu (każda opcja równoprawdopodobna). Niech X będzie zmienną losową oznaczającą koszt wakacji.

a. Podaj przykład przestrzeni probabilistycznej, na której może być określona zmienna losowa X.

b. Wyznacz zbiory {X = 4200 lub X = 4500} = X⁻¹({4200, 4500}) oraz {X < 5000} = X⁻¹((−∞, 5000)).

c. Na jakim zbiorze jest skupiona zmienna losowa X?

d. Oblicz P (X = 4200) , P (X = 4200 lub X = 4500) , P (X ­ 5000).

B Zadania domowe

ZADANIA PODSTAWOWE

Zadanie B.1. Dla podanych niżej funkcji f oraz zbiorów A, B znajdź przeciwobrazy f⁻¹(A) i f⁻¹(B).

a. f : N → {0, 1, 2, 3}, f (x) = x (mod 4), A = {0, 2}, B = [3, +∞),

b. f : K → R, f (x, y) = x²+ y², gdzie K oznacza koło jednostkowe o środku w zerze, A = (−∞, 1/4), B = (1/9, 1/4).

Zadanie B.2. Niech f : X → Y będzie funkcją i niech B, B1, B2⊆ Y . Udowodnij, że:

a. f⁻¹(B1∪ B2) = f⁻¹(B1) ∪ f⁻¹(B2),

b. [f⁻¹(B)]⁰ = f⁻¹(B⁰) (Przez zbiór [f⁻¹(B)]⁰ rozumiemy dopełnienie zbioru f⁻¹(B) w X, a f⁻¹(B⁰) oznacza przeciwobraz zbioru będącego dopełnieniem zbioru B w Y ).

Zadanie B.3. Zorganizowano grę polegającą na rzucie monetą i kostką o następujących zasadach: wygrywamy 4zł w przypadku wyrzucenia reszki i jedynki, wygrywamy 2zł w przypadku wyrzucenia orła lub parzystej liczby oczek, w pozostałych przypadkach przegrywamy 3zł (tzn. „wygrywamy” minus 3 zł).

a. Podaj przestrzeń probabilistyczną na której może być określona zmienna losowa X jaką jest „wygrana”.

b. Znajdź zbiór, na którym jest skupiona zmienna losowa X.

c. Znajdź zbiory X⁻¹({2, 3, 4}) i X⁻¹((−∞, 0)).

d. Oblicz P (X = −3) , P (X = 0) , P (X = 2) , P (X = 4) , P (X < 0) , P (X ­ 2).

Zadanie B.4. Z przedziału [0, 1] wybrano (zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym) dwie liczby. Niech X oznacza sumę wybranych liczb.

a. Podaj przestrzeń probabilistyczną, na której jest określona zmienna losowa X. W Ω wyznacz zdarzenia {X = 1/2}, {X ¬ 1/2} i {1/2 < X < 1}.

b. Na jakim zbiorze jest skupiona zmienna losowa X?

c. Oblicz P (X = 1/2) , P (X ¬ 1/2) i P (1/2 < X < 1).

ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z PODSTAWOWYMI

Zadanie B.5. Losujemy dwie kule z urny zawierającej 8 białych, 4 czarne i 2 pomarańczowe kule. Wygrywamy 1zł za każdą kulę czarną, a tracimy 1zł za każdą kulę białą. Kula pomarańczowa nie ma wartości wygranej. Niech X będzie wygraną.

Podaj przykład przestrzeni probabilistycznej, na której może być określona X. Dla tej przestrzeni wypisz wszystkie zdarzenia elementarne należące do zdarzeń {ω ∈ Ω : X(ω) = 0} = {X = 0} oraz {ω ∈ Ω : X(ω) ¬ −1} = {X ¬ −1}, a następnie oblicz prawdopodobieństwa tych zdarzeń. Na jakim zbiorze jest skupiona zmienna losowa X?

Zadanie B.6. Z przedziału [0, 2] wylosowano dwie liczby (zgodnie z prawdopodobieństwem geometrycznym). Niech X będzie większą z wylosowanych liczb.

a. Podaj przestrzeń probabilistyczną, na której jest określona zmienna losowa X. W Ω wyznacz zdarzenia {X = 1} i {X ¬ 1}.

b. Oblicz P (X = 1) i P (X < 1).

c. Na jakim zbiorze jest skupiona zmienna losowa X?

2

Odpowiedzi do niektórych zadań

B.1 a) f⁻¹(A) - zbiór liczb parzystych,

f⁻¹(B) - zbiór liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3;

b) f⁻¹(A) - koło o środku w zerze i promieniu ¹₂,

f⁻¹(B) - pierścień kołowy o środku w zerze, małym promieniu równym ¹₃ i dużym promieniu równym ¹₂ B.3 (a) Przestrzeń probabilistyczna:

Ω = {(O, 1), (O, 2), (O, 3), (O, 4), (O, 5), (O, 6), (R, 1), (R, 2), (R, 3), (R, 4), (R, 5), (R, 6)}, F = 2^Ω,

∀ω∈ΩP ({ω}) =₁₂¹, (b) {−3, 2, 4},

(c) X⁻¹({2, 3, 4}) = {(R, 1), (O, 1), (O, 2), (O, 3), (O, 4), (O, 5), (O, 6), (R, 2), (R, 4), (R, 6)}, X⁻¹((−∞, 0)) = {(R, 3), (R, 5)},

(d) P (X = −3) = ¹6, P (X = 0) = 0, P (X = 2) =³4, P (X = 4) = 12¹, P (X < 0) = ¹6, P (X ­ 2) =⁵6

B.4 (a) Przestrzeń probabilistyczna:

Ω = [0, 1]²,

F - podzbiory borelowskie Ω,

∀A∈FP (A) = ^λ(A)_λ(Ω) = λ(A);

{X = ¹₂} = {(x, y) ∈ Ω : y =¹₂− x}, {X ¬ ¹₂} = {(x, y) ∈ Ω : y ¬¹₂− x},

{¹₂ < X < 1} = {(x, y) ∈ Ω : ¹₂− x < y < 1 − x}, (b) [0, 2],

(c) P X = ¹2
= 0, P X ¬¹2
= ¹₈, P ¹2 < X < 1
= ³₈ B.5 Przestrzeń probabilistyczna:

Ω - wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru 14 kul, F = 2^Ω,

∀ω∈ΩP ({ω}) = ₉₁¹;

{X = 0} - wszystkie podzbiory kul składające się z jednej kuli białej i jednej czarnej lub z dwóch kul pomarańczowych;

{X ¬ −1} - wszystkie podzbiory kul składające się z dwóch kul białych lub kuli białej i kuli pomarańczowej;

P (X = 0) = ³³₉₁, P (X ¬ −1) = ⁴⁴₉₁;

Zbiór, na którym jest skupiona zmienna losowa X to {−2, −1, 0, 1, 2}

B.6 (a) Przestrzeń probabilistyczna:

Ω = [0, 2]²,

F - podzbiory borelowskie Ω,

∀A∈FP (A) = ^λ(A)_λ(Ω) = ^λ(A)₄ ;

{X = 1} = ({1} × [0, 1]) ∪ ([0, 1] × {1}), {X < 1} = [0, 1) × [0, 1) (b) P (X = 1) = 0, P (X < 1) =¹₄

(c) [0, 2]

3