OTW (zestaw 7 - środa 19.12.2018)

OTW (zestaw 7 - środa 19.12.2018)

30. Model gwiazdy - równania TOV (Tolman-Oppenheimer-Volkov. Statyczna, sfer- ycznie symetryczna czasoprzestrzeń jest opisana elementem liniowym:

ds² = −e^ν(r)dt²+ e^λ(r)dr + r²dΩ², gdzie wygodnie jest wprowadzić parametryzację (G = 1):

e^ν(r) =



1 − 2m(r) r



e^2δ(r), e^λ(r) =



1 − 2m(r) r

−1

.

Materię z której zbudowana jest gwiazda modelujemy jako statyczny płyn doskonały o ten- sorze energii-pędu

T_αβ = ρ(r)u_αu_β + p(r) (g_αβ+ u_αu_β) , u = e^−ν(r)/2∂_t.

Proszę wyprowadzić równania opisujące taki układ (tzn. podane na wykładzie równania TOV), wynikające z równań Einsteina G_αβ = 8πT_αβ oraz hydrodymaicznych równań dla płynu ∇_αT^αβ = 0. Proponuje wykorzystać w tym celu pakiet Mathematica. Model gwiazdy o promieniu R otrzymujemy rozwiązując równania TOV domknięte przez równanie stanu p = p(ρ) (lub ρ = ρ(p)) z warunkami brzegowymi: ρ(r)|_r≥R = 0 = p(r)|_r≥R.

31. granica Buchdala. Proszę rozwiązać równania TOV dla modelu gwiazdy o stałej gęstości

ρ(r) = ρ₀ dla r ≤ R 0 dla r > R

i pokazać, że ciśnienie w centrum takiej gwiazdy (r = 0) staje się nieskończone dla R = R_B = (9/4)M > R_S = 2M . Rozwiązanie i interesującą dyskusję przypadku R < R_B można znaleźć w pracy: arXiv:1501.03806

32. Rakieta porusza się swobodnie po orbicie kołowej o promieniu r = 7M w geometrii Schwarzschilda.

(a) Znaleźć okres obiegu orbity mierzony przez zegar w rakiecie i przez zegar w ∞.

(b) Przez przednią szybę z rakiety jest wystrzelony foton o częstości ω. Jaką częstość fotonu zmierzy statyczny obserwator w ∞.

33. Statyczny obserwator znajdujący się w r = r₀ = kM , rozpoczyna swobodny spadek do czarnej dziury Schwarzschilda.

(a) Jaki czas spadku z r = r₀ do horyzontu r = R = 2M zmierzy zegar tego obserwatora?

(b) Ile czasu będzie trwał ten spadek dla obserwatora statycznego w znajdującego się w nieskończoności (tzn. takiego dla którego r → ∞)?

(c) Jaka jest prędkość spadającego swobodnie obserwatora względem obserwatora staty- cznego znajdującego sie na promieniu r, na trajektorii obserwatora spadającego?

34. Obserwator w swobodnym spadku z poprzedniego zadania stara się opisać swoje wrażenia ze spadku do czarnej dziury. Sygnały wysyłane przez tego obserwator tuż przed przekrocze- niem horyzontu są odbierane w nieskończoności z ogromnym redshiftem, który zachowuje się jak exp(−αt) (t jest czasem własnym statycznego obserwatora w nieskończoności). Czy z pomiaru parametru α można określić masę czarnej dziury?

35. Proszę pokazać, że po przekroczeniu horyzontu spadający obserwator dotrze do r = 0 w czasie własnym τ < πM , niezależnie od jego ciągu silników.

A. Rostworowski http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/