Praca domowa 10. (na czwartek 10 XII) Zadanie 1.

Praca domowa 10. (na czwartek 10 XII) Zadanie 1. Znaleźć kresy zbiorów

a) {√

n + 1 −√

n : n ∈ N}, b) {n²− 32n + 257 : n ∈ N}, c) {₂ⁿn² : n ∈ N}.

Zadanie 2. Obliczyć granice następujących funkcji w odpowiednich punktach (lub w nieskończoności), lub wykazać, że nie istnieją:

— lim_x→0cos x,

— lim_x→0a^x,

— lim_x→0x¹x,

— limx→∞e^x x,

— limx→∞ x log x,

— lim_x→0⁺x log x.

Zadanie 3. Wykazać, że jeśli granice jednostronne funkcji f (prowadzącej z pewnego odcinka w R) w punkcie x istnieją i obie są równe g, to granica f w x istnieje i jest równa g.

Zadanie 4. Dana jest funkcja ciągła f : [0, 1] → [0, 1]. Pokazać, że istnieje x ∈ [0, 1] taki, że f (x) = x (czyli punkt stały funkcji f ).

Zadanie 5. Wykazać, że jeśli f (x) = ax + b, to asymptota ukośna funkcji f pokrywa się z tą funkcją.

* Zadanie 6. Wykazać, że lim_x→0^{sin x}_x = 1.

1