Praca domowa 2. (na czwartek 15 X)
Zadanie 1. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 0 zachodzi wzór 1
5 · 8+ 1
8 · 11 + . . . + 1
[5 + 3(n − 1)](5 + 3n) = n 5 · (5 + 3n).
Zadanie 2. Wykazać, że dla każdego n ∈ N, n 1 i dla każdego x takiego, że: −1 <
x < n+11 zachodzi nierówność
(1 + x)n ¬ 1 + nx 1 + (1 − n)x. (Wskazówka: nierówność Bernoulliego.)
Zadanie 3. Udowodnić, że dla każdego n ∈ N:
1. liczba postaci 10n− 4 jest podzielna przez 6, 2. liczba postaci n3− n jest podzielna przez 6.
Zadanie 4.
a) Sprawdzić, czy następujące zdania są tautologiami:
p ⇒ [((∼ q) ∧ q) ⇒ r], [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇒ p ∨ q.
b) Zaznaczyć na płaszyźnie zbiór:
A = {(x, y) ∈ R2| ∃z∈Rx2 = z2 + 1 − y2}.
Zadanie 5. Udowodnić kombinatorycznie, że
n
X
k=2
n k
!
k(k − 1) = n(n − 1)2n−2.
Zadanie 6. W grupie 1000 osób:
— 480 studiuje matematykę,
— 410 studiuje biologię,
— 305 studiuje informatykę,
— 210 studiuje jednocześnie matematykę i informatykę,
— 105 studiuje biologię i informatykę,
— 100 studiuje matematykę i biologię,
— 65 studiuje równolegle te trzy kierunki.
Ile osób w tej grupie nie studiuje żadnego z wymienionych kierunków? Ile osób studiuje dokładnie jeden z podanych kierunków?
* Zadanie 7. Wyprowadzić nierówność Cauchy’ego z nierówności Bernoulliego, oraz nierówność Bernoulliego z nierówności Cauchy’ego.
1
