Równania I i II stopnia z dwiema niewiadomymi
1. Cele lekcji
a. Wiadomości
Uczniowie poznają bliżej równania I i II stopnia z dwiema niewiadomymi, metody ich rozwiązywania oraz wykresy równań z dwiema niewiadomymi.
b. Umiejętności Po zajęciach uczeń:
- potrafi rozwiązać równanie I i II stopnia z dwiema niewiadomymi;
- potrafi formułować wnioski i zapisywać je w języku matematyki.
2. Metoda i forma pracy:
- praca w grupach – rozwiązywanie zadań tekstowych.
3. Środki dydaktyczne:
a. instrukcja wykonania zadania, b. schematy do uzupełnienia.
4. Przebieg lekcji
a. Faza przygotowawcza
Uczniowie zajmują miejsca przy stolikach. Nauczyciel wyjaśnia przebieg zajęć i czynności, które będą kolejno wykonywane przez uczniów. W zespołach trzyosobowych uczniowie odpowiadają na pytania:
a) Znajdź wszystkie liczby naturalne różniące się o 4 od liczby 1 (odp. Jedyną taką liczbą jest 5).
b) Znajdź wszystkie liczby całkowite różniące się o 4 od liczby 1 (odp. Są dwie takie liczby: 5 i –3).
c) Znajdź wszystkie takie liczby naturalne, których suma wynosi 8 (odp. Jest 5 par takich liczb: 0 i 8, 1 i 7, 2 i 6, 3 i 5, 4 i 4).
d) Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste, których suma wynosi 8 (odp. Takich par liczb jest nieskończenie wiele, można je otrzymać zaznaczając w układzie współrzędnych punkty z poprzedniego zadania i kreśląc przez nie prostą).
Wnioski z wykonania tych zadań: uczniowie zauważają, że przy takim samym sformułowaniu treści mogą być różne liczby rozwiązań – jedno, kilka lub nieskończenie wiele. Zależy to od tego, w jakim zbiorze liczbowym ma się zawierać rozwiązanie.
b. Faza realizacyjna
1. Uczniowie rozwiązują na tablicy przykłady z omówieniem sposobu rozwiązania:
a) 2x + y = 5
- z wzoru wyznaczamy y y = –2x + 5.
- wyznaczamy dwa punkty spełniające to równanie (0;5); (3;-1).
- kreślimy prostą przechodzącą przez te 2 punkty.
- współrzędne punktów tej prostej to pary rozwiązań równania, jest ich nieskończenie wiele.
b) 2x + y > 5
- wykonujemy wszystkie polecenia z poprzedniego zadania,
- wybieramy dowolny punkt w układzie współrzędnych, nie należący do prostej – najlepiej (0;0),
- podstawiamy współrzędne tego punktu do równania y = -2x + 5, L = 0, P = 5, czyli u nas L < P,
- rozwiązaniem nierówności jest zbiór punktów półpłaszczyzny (bez punktów prostej) leżącej po stronie przeciwnej niż (0;0)
c) x2 – y2 = 24 w liczbach naturalnych
- lewą stronę rozkładamy na czynniki x2 – y2 = (x – y)(x + y) - prawą stronę rozkładamy na czynniki 2412223
- tworzymy iloczyny (po 2 czynniki) 83, 46; 124; 212 - otrzymujemy równania:
(x – y)(x + y) = 83 (x – y)(x + y) =46(x – y)(x + y) = 124 (x – y)(x + y) = 212 - ponieważ rozwiązanie ma być w liczbach naturalnych, różnica musi być większa od
sumy i obydwa czynniki po prawej stronie muszą dać w sumie liczbę parzystą - mamy więc możliwe dwa przypadki:
x – y = 4 i x + y = 6 stąd x = 5 y = 1 x – y = 2 i x + y = 12 stąd x = 7 y = 5 - rozwiązanie tego równania to pary liczb: (5;1) i (7;5)
- sprawdzenie: dla (5;1) 25 – 1 = 24 dla (7;5) 49 – 25 = 24 2. W grupach trzyosobowych uczniowie rozwiązują zadania:
Grupa 1 i 3
1. Rozwiąż: 2x + y = 6 i 2x + y > 6 (posłuż się schematem rozwiązania).
2. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie: a) x2 – y2 = 28 b) x2 = y2 +2y + 12
3. Napisz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (2;3) B = (4;1)
4. Punkty A = (0;0) i B = (6;0) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Znajdź współrzędne trzeciego wierzchołka, pole oraz obwód tego trójkąta.
Grupa 2 i 4
1. Rozwiąż: 3x – y = 6 i 3x – y < 6 (posłuż się schematem rozwiązania)
2. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie: a) x2 – y2 = 55 b) 9x2 – 4y2 = 65
3. Napisz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (1;5) B = (2;-4) 4. Punkty A = (1;1) i B = (9;1) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Znajdź
współrzędne trzeciego wierzchołka, pole oraz obwód tego trójkąta.
c. Faza podsumowująca
Nauczyciel zadaje uczniom następujące pytania:
- Jak rozwiązujemy równania lub nierówności stopnia pierwszego (wymień główne etapy)?
- Ile rozwiązań może mieć równanie I stopnia z jedną niewiadomą?
- Ile rozwiązań może mieć nierówność I stopnia z jedną niewiadomą?
- Jak rozwiązujemy równania I stopnia z dwiema niewiadomymi (wymień główne etapy)?
- Ile rozwiązań może mieć równanie I stopnia z dwiema niewiadomymi (od czego to zależy)?
- Jak rozwiązujemy nierówność I stopnia z dwiema niewiadomymi (etapy rozwiązania)?
- Jak rozwiązujemy równanie II stopnia z dwiema niewiadomymi (etapy rozwiązania)?
- Ile rozwiązań może mieć takie równanie – od czego to zależy?
Za prawidłową odpowiedź i uzasadnienie każdego pytania uczniowie zdobywają punkty 1-2 pkt.
za każde pytanie (do oceny aktywności). Pytania uczniowie chętni losują.
Uczniowie oceniają zajęcia, wypełniając kartę oceny zajęć.
5. Bibliografia
a. P. Nodzyński, Liga zadaniowa, wyd. Czarny Kruk, Bydgoszcz, 1996;
b. N. Dróbka, K. Szymański, Matematyka w szkole podstawowej, WNT, Warszawa, 1996.
6. Załączniki
a. Schemat – Jak to rozwiązać (Równanie I stopnia z dwiema niewiadomymi) b. Zadanie domowe: Zadanie 1 i 2 strona 118 (pozycja „b” w bibliografii)
Zadanie 1: Dla każdego równania znajdź po 5 par liczb będących jego rozwiązaniami:
a) 2x – 3y = –1 b) 2x + 5y = 7 c) 2x = y + 1 d) x + 4y = 5
Zadanie 2: Wiadomo, że pary liczb (1;a) i (b;4) są rozwiązaniami danego równania. Wyznacz a i b.
a) 2x + y = 7 b) 3x – 2y = 5
