29.10.2019, kl 2b
Przygotowanie do sprawdzianu nr 2
Zadanie 1. Zapisz w postaci a + bi liczby (a) (1−i
√ 3)18 (1+i√
3)12, (b) 1 −
√3−i 2
24
Zadanie 2. Naszkicuj zbiory (a) {z ∈ C : Im(z2) < 0}, (b) {z ∈ C : z − i = z − 1},
(c) {z ∈ C : Im1+iz1−iz = 1}.
Zadanie 3. Niech = −12 +
√3
2 i. Rozwiąż w liczbach zespolonych równanie z2+ z + z + 3 = 1
2.
Zadanie 4. Znajdź wszystkie pierwiastki czwartego stopnia z liczby −√ 3 + 3i.
Zadanie 5. Rozwiąż równanie (a) z+iz−i3 = i;
(b) 3z2 = 5z − 50;
(c) |z| + z = 8 + 4i;
(d) z2 + 3a|z| + a2 = 0, gdzie a ∈ R, (e) z4 + (15 + 7i)z2+ 8 − 5i = 0, (f) z8 + 4z6− 10z4 + 4z2+ 1 = 0.
Zadanie 6. Znajdź wielomian stopnia 3, którego pierwiastkami są liczby sin2π9 , sin4π9 i sin8π9 . Zadanie 7. Udowodnij implikacje
(a) |z| ¬ 1 =⇒ |z2− z + i| < 3, (b) Re(z) > 1 =⇒ 1z −12 < 12.
Zadanie 8. Narysuj obraz brzegu kwadratu o wierzchołkach −2 − i, 1 − i, 1 + 2i, −2 + 2i przy przekształceniu z 7→ z2, z ∈ C.
Zadanie 9. Oblicz indeksy pętli t 7→ f (r(cos t + i sin t)), 0 ¬ t ¬ 2π dla (a) f (z) = z2+ z, r = 12,
(b) f (z) = z + z−1, r = 2,
(c) f (z) = z100+ z + 1 dla r = 12 i r = 2.
Zadanie 10. Znajdź wszystkie wielomiany unormowane p ∈ C[z] spełniające warunki (a) jeżeli z ∈ C i p(z) = 0, to Im(z) ¬ 0,
(b) |p(i) = 1|.
Zadanie 11. Czy istnieje wielomian p ∈ C[z] taki, że p(z) = z dla każdej liczby zespolonej z?
