Jahresbericht über das Königliche Katholische Gymnasium zu Braunsberg in dem Schuljahre 1852-53

über baß

âöntglidje âatl)oltsd)f (^ßinitastum

5«

Brauneberg

in bem 3>c£iilj<tï)te 1832 — 53,

mit roeld)em ju ber

©effспіііфеп Prüfung um % SMuguft

nnb ju ben

(Sntlaffunflsfeicrlit&feitcii am 5. îltxQiift

ergeben# eingelaben toirb.

3nbatt: 1. »e fisuris quadrangulis, circum quas vel in qua * Circulus perscribi potest, bom феггп Oberlehrer Solberg.

2. 3abre$bertd)t bom Direktor Dr. Sdjulfc.

SSrauitdbetcț,

perscribi potest.

JľWnnis 1846 et 1850 in programmatis Progyrnnasii Roesseliensis ՛ aequationes tetragonomelricas typis imprimendas curavi, ut eas ad nonnulla systemata problemalum letragonometricorum adhiberem.

IHuc igitur paragraph! spectant, quae in hoc libelle commemoratae sunt. Notae, quibus usus sum, hac sunt: si ángulos figuráé eo ordine, quo se subsequuntur, literis a, ß, y, Ժ signavisti, literae a, b, c, d dénotant latera aß, ßy, yd, da et literae e, e* lineas diagonales «y, ßS. Ad has ac- cedunt: r, p radii circulorum, qui circum figuram et in figuram perscribi possunt, p, radius cir­

culi, qui latus a et producta latera b, d tangit, et eodem modo рг, p3, p, radii circulorum, qui latus b, c, d et producta latera finítima tangunt.

A. Figuráé quadrangulae, circuía quas circulas perscribi potest.

1) Quum in hujusmodi figuris summae angulorum oppositorum aequales sint («4՜7=/5+ժ), quattuor quantitatibus definiuntur. Si igitur latera et anguli figuráé locum quantitatum definien- lium teneni, summum duo anguli dali esse possunt iique sibi finiți mi sint oportet. Quamobrem data esse possunt:

1) a, b, c, d. 3) a, b, a, ß.

2) a, b, c, ß. 4) a, c, a, ß.

Aequatio a-\-y =. ß^-ö non patitur, has figuras quandrangulas esse sbcundi generis.

sin

y = 180"—a, vel sin

— V |.(fl4~ft)~Hc—d) \ [(«֊|-ծ) — (с—<յշ1 4 (ab-\-cd)

2) Problema 1. Datis 4 lateribus (a, b, c, d,), quaerantur anguli (a, ß, y, d), area (J), radius circuli (r)-

S ol u t io. Datis quantitabus 2 s figuráé quadrangulae satisfaciunt, una primi, altera tertii generis.

Quod attinet ad priorom, ex §. 12. sequilar

֊ = і/№+c) + № +c) - (« -

2 4 (6c ֊]- ar/)

sin A = ՜\Հ[(c+<1)+(«—ft)] (« —

2 4 (cd -|- «ծ)

r

4 (cd —ab)

;— լՀ[(a — d) -f-(6 — c )] [(a —d) — (6 — c)]

4 (6c—fíd)

տա - a

I i 1

Area figuráé ./= — ab sin ß 4՜ — cd sin Ժ. Quum vero hic sin ß — sin ô, J — — (ab -f- cd) sin ß

¿ ¿ ճ

ß ß ß ô

=.(ab֊\-cd) sin — - cos ֊ = (ab-\-cd) sin sin — . Igitur

J — - (a-| — ծ 4՜ c ■—d) (a ~\-b — c -j- d) (a — b-)-c-[~d)( — a 4՜ b-\-c 4՜ d) sive, pošilo a Ą-b c ֊V d — 2 s

J —՚ "V՜ (s — a) (s — b) (s — c) (s — d)

Circulus circum figúram quadrangulam perscriplus idem est, qui circum triangulum aßy perscribi potest. In hoc vero est r = ռ 6 a et

1 2 sm ¿9

e' = (а-ЪУ + 4ab sin' А = (a -ծ)' f Л (c4-d-a + fr)

(ас 4- bd) (Ьс -j-ațO_, Quum praeterea sin /9 = ֊֊֊ ,

ÍZÔ 4- cd об+cd

] _ ________________:____ _ __

r = -JJ- V (ab 4֊ erf) (oc 4՜ bd ) (be - ad) , sive _ (ab 4՜ cd) (ас bd) (be 4՞ ad)

(a4֊64-c— d) (a-\֊b — c֊\-d) (a— b-\-c-\-d) (— a֊yb-\-c-\-d) Quod attinct ad figuram quadrangulam tertii generis, ex §. 34. sequitur;

a . y

sin շ՜ ֊ Տ1Ո շ՜

sin Ĺ = sin 4 =

2 2 r 4 (erf—ab)

Q načri potest, qui sit valor (liceat mihi hoc vocábulo uti) haruni quanti tatum, si be— ad —0.

Ex acquatione a : b~c : d, i. e. be — ad— 0, sequitur Д aßy-֊ Д a/ժ, et quum latus «y iis commune sit, etiam Д aßy ՃՋ í« yd; igitur a — c, et b — d. Si vero b — d, (unde se­

quitur, a H c),

1/՜ (я—-c) (íi-j-c — 26) — 2 b — u — c

4b (c~aj ľ ՜ 46՜

46 (c—a) igitur cos « = 1 — 2 sin2 — = ՜՜^~ = cos ß-

Quoniam praelcrea a = c, posila aequalione ad — be, b et

Quum in hujusmodi figuris

cos a — cos ß = quod idem ex co sequitur, quod, d diametri circuli circum figuram perscripti sunt.

sin ß ~ — sin Ժ, area J — ։/յ («ծ — cd) sin ß. Est vero

sin ß _ ab) Ѵ[(с_Ь^)“Ь(в_г^)1 [(c+rf)—(я+6)] [(а—6)4՜(с—d) J [(а—ծ) — (c —Հ)] ;

igilur J — ¿լ У[(է-1֊Ժ)֊|֊(«4-ծ)] [(c-|-(Z)—(a-j-ò)] [(a—ծ)՜4՜(շ—Հ)] L(a——(c—

— [s —(aj֊fZ)| [s — (b-\֊d)\ |.տ՝ —(c \-d)\

r =v (ab — cd) (ас—bd) (be— ad) s[s —(a-j-ճ)] [s — (b \֊d)\ [s — (c-\-d')\

3) Problema 2. Datis 3 lateribus (a, b, c) et 1 angulo (ß), quaerantur quartum latus (d), anguli non dali (a, y, ô), area (J); radius circuli (r).

Solutio. Si ß < 180°, secundum §. 10

О = a sin а — Ь sin (а ß) — c sin ß,

an­

el

. a—6 cos ß . c

unde sequitur: —¡—-——í— sin a — cos a ~ —

1 bsmß b

c . . a—b cos ß

et sin (a — a>) — — sin cp, si cot cp = ———-—.

L f b T T ծ sin

Quum forma cot у = ad calculum logarithmicum minus apta sit, quacras gulos Ճ (ae), Z (be), utens aequationibus tang [/_ (ae) — Z (6e)J = — - cot ß

/ (ae) + Z (be) = 180° — /3. Quum porro a : e = sin Z (be) : sin ß et ec = sin ժ ; sin Z (бе)

— sin ß : sin z (de), a: c = sin Z (be) ■ sin Z (de), ergo sin Z (de) — ° է՜ .

Angulus Z (de) inde 2 valores sibi assumere potest. Si ß > 90° et c > Yâ^b^2âbëösß^, 2 figuráé quadrangulae primi generis exoriuntur. Si ß > 90° et c < Ya2-\֊b2— 2abëosß, aut si ß < 90° et c< Y a2-(b2— 2 ab cos})’ figura quadrangula primi et 1 ter-tii generis exoritur.

Si postremo /?< 90° et c > Уÿq^TZZaôcos^, 2 figuráé quadrangulae tertii generis exoriuntur.

In figuris quadrangulis primi generis est a, — (ae) + Z (de), in figuris quadrangulis tertii generis a = Z ( ae) — Z (de).

Latus quartum figurarum quadrangularum primi generis ex §. 11. invenitur:

d = — c cos ß ± Y a2 4- b2 — 2ab cos /Г—c 2 sin2 ß ,

unde apparet, c sinß < Yä^Yb^20bcösß esse hebere. Quum autem haec forma ad calculum logarithmicum minus apta sit et quum an guli Z (ce) et Հ_ (de) jam invent! sint, d facilius com- putatur aequatione

c sin z (ce)

— sEZße)

J =. 72 (ab ֊V cd) sin ß,

ubi in locum lateris d valor modo repertus substitui debet.

Aequationes, quae quantitates quaesitas figuraron quadrangularum tertii generis definiu nt, cudem modo ex §§. 33, 34. deducuntur.

Radius circuli jam 3 quantitatibus a, b, ß definitor. Secundum No. 2. enim est r = 2 sinß ՜ 2Ïsîü? ֊; 4ռծտռւճ֊

a— b

2 sin ß cos <p si lang' <p =

Si ß > 180°, eodem modo 2 figuráé quadrangulae terlii generis inveniuntur.

4) Problema 3. Datis 2 lateribus íinilimis (a, b) et 2 angulis linitimis (a, ß), quaerantur latera non data (c, d), area (J), radius circuli (r).

Solutio. Sit et « et ß < 180°. Quaerantur anguli Հ_ (ae) et /. (be) aequationibus tang [¿.(ae) — Z-(be)\ — y՜՜ cot ß et Հ_ (ae) -f֊ (be) = 180° — ß. Si tum a > ¿_ (ae), figura quadrangula primi generis oritur ; si autem a < Հ_ (ae), tertii generis.

Quod attinet ad figuram quadranguiam primi generis, ex §. 10. invenitur:

a sin « — b sin (a-\-ß) a sin « cos 2<p_

sin ß sin ß cos2 <jP ’

d = ^(ß-al±bsiaa _ ___bsina____ g. Ա _ 1/

sin ß sin ß COS2 to I) sin a

Porro J = V2 (ad -p be) sin a, et si in locum latcrum c et d valores invent! subsliluunlur, ab sin2 a a 2 sin a sin (ß — a) b2 sin « sin (a -p ß)

sinß 2 sin ß 2 sin ß

Valor radii r idem est atque in problémaié praecedente.

Eodem modo ex §§. 33. et 34. aequationes evolvuntur, quae de figura quadrangula tertii generis valent, si a < Հ_ (ae), aut si unus angulorum a et ß, aut si uterque > 180".

si tang (p=V -in + , asin a

5) Problema 4. Datis 2 lateribus oppositis (a, c) et 2 angulis finitimis (a, ß), quaerantur latera non data (b, cl), area (J), et radius circuli (r).

Solutio. Si non solum a et ß <_ 180°, sed etiam a ß <Լ 180°, 1 figura quadrangula primi, et 1 tertii generis problemati convenit; si autem aĄ- ß"> 180°, 1 tantum primi generis.

Quod attinet ad figuram quadrangulam primi generis, ex §. 10. invenitur:

b =

d = a sin ß — c sin a sin (a֊Vß)

a sin ß cos 2 to sin («4-ß) cos2 to ’

si tang v = Ve—Ж a sin a si tang to - j/ÜE? -

a sin ß

Secundum Nr о. 2. est r = 1

1

1 « + ß

r 2 sin (a֊Vß) 2

2 В. Figuráé quadrangular, in quas cîrculus p ers er ibi potest.

2 sin (a-\-ß) 1 лЛ5՜..

Quuin quantitates a sin « — c sin ß et a sin ß — c sin a simul aut positivae aut ncgativae sint, prout a֊\-ß < 180° aut a-\-ß > 180°, (a2֊|-c2J sin a sin ß > ас (sin2 а ֊4՜ sin2 ß) esse debet.

Postquam in aequatione J — 1/2 (ab ֊]֊ cd) sin ß in locum luterum b et d valores supra reperti substitut! sunt, fit

յ (а֊Ь<9 Ca — c) sin « sin ß 2 sin (a-^ß)

n . „ Ѵаг4-Ь2 — 2abcosß. In hoc igilur casu fit

2 sin/? Ե

7) c, «, մ.

8) a, c, a. y.

9) a, a, ß, 7-

a) Figuráé quadrangulae, in quibus summáé laterum oppositorum aequales sunt (a 4֊ c = b d).

6) Propter conditionem a 4֊ c = b -f- d hae figuráé 4 quantitatibus definiuntur, inter quas V«2+c2+2iïc COS (a-\-ß) — 2sinfe+-^ У (a-\-c)2 — 4«csin2

= 2sinf«f^' " = «f՜

Aequaliones figuram quadrangulam tertii generis definientes, secundum §. 33. evolvunlur.

a sin ce —|— c sin ß a sin ce sin («+/Î) sin fee -\-ß) cos 2 ղ a sin ß c sin a a sin ß

sin fa-\-ß ) sin fee -f ß) cos2 to J = l(aí-«o sin (î == o sin «sinP

„ __ 1 1 Հ a ։ + ծ 2 — 2օծ cos ß __ __

— 2sin/?F 2 si

Eadem conditio non palilor, has figuras quandrangulas esse tertií generis.

summum 3 latera. Data esse igitur possunt.

1) a, b, c, ß. 4) a, b, a, y.

2) a, b, a, ß. 5) a, b, ß, 8.

3) a, b, a, 8. 6) ä, c, a, ß.

Secundum

d -j- c

c (a — b֊\֊c)

7) Problem a 1. Datis 3 lateribus (a, b, c) et i angulo (ß), quaerantur quarlum latus (ď), anguli non dati (a, 7, Ժ), area (J), radius circuli (p).

Solutio. d

1

— ab sin ß s*n

" 6sh4 si"№ ± T> . . . /¡-լՀ — л

=--- Sir?---, » ™ ł = sm T Ւ ¡Г7Г-І Signum superius congruit cum Ժ < 180°, inferius cum Ժ > 180°.

Quum

ß I / ՜ ß

■շ՜ к абс 6«֊ò+c) — a2 ծ2 sin2 ֊֊

= « 4՜ c — b.

sequitur sni — = ■ Ժ

§. 17. est ас sin2 -—

unde sequitur sin y 4- ֊--- a__£25_ß cos ' a sm ß e . ,. , ծ— a cos ß Si hic ponitur tany; <p = — ---,

6 Դ a sin ß ’

J = Vi í«+64"c+^ C, hic igïtur propter conditionem a֊|֊c = bĄ֊d, J — (сЦ-с) ç-, abe (a-\-ć—Ъ) — a2 b2 sin2 ab sin֊- sin (<p + ^~) ,

aĄ-c (a֊\-c) sin <p

. . , . ab + be — ab cos ß ínvemtur sm (y ֊ - ®) = --- --- r—-֊ cos w .

w ac sm ß T

Quum vero ha ec forma ad calculam logarithmicum minus apta sit, quaerantur anguli (ae) et Z. (6e) aequationibus tang cot ф et Հ (ae) 4՜ Ճ (бе) = 180° —ß ;

porro anguli Z, (ce) et Z. (de) aequationibus tang = ճճէ֊Լ cot et

ճ (ce) 4՜ ճ (de) = 180° — ժ. Si tum <Հ 180° et /. (de) < /. (ae) 1 figura quadrangula primi generis oritur, in qua a, — £ (ae) 4՜ Ճ (de) et y = £ (бе) 4՜ Ճ (ce), atque 1 figura quadrangula secundi generis, in qua a = £ (ae) — Z (de) et y — Z. (be) — £ (ce). Ad illám pertinet * / 2 Ժ < 90°, ad liane * / 2 Ժ > 90°.

Si /? >- 180", 1 figura quadrangula secundi generis oritur, in qua ’/2 Ժ < 90°.

J = ab sin ß 4—տ՞ cd sin մ. Est vero sin ~ — sin ՜\ՀՀԼ ,

ձ “ ¿ Z cd

ô y cd— ab sin2 A 2 Sin ՜շ՜ 1Հ ճ

'gitur cos֊=+ f---Ł et sin ժ = H---Д—Ѵ abed - a2 62 sin2 Հ- •

ճ I cd — cd 2

J

a -¡“C

P =

8) Problema 2. Dalis 2 lateribus finitimis (а,Ь) et 2 angulis, qui ad unum horumlaterum adjacent (a, ß), quaerantur latera non data (c, d), anguli non dali (y, ô), area (J), radius cir­

culi (ç).

Solutio. Secundum §. 17. est bd sin2 —^ր՜ = ad sin2 y ab sin2 y , igilur

sin2 b • 2

Secundum §. 14. est a sin « sin 2 / a

a sin

, si cot (p —

igilur է

b* sill2

x cot Հ

չ 2

, si tang դ = ^y՞

a 2

տ

*

(-^ —

)

■ ß ■ sm ֊֊֊ sin (p

sm --ջ a sin ֊շ . « . . ß ->

a sin2 —- cos2 <p

CM շ

b sin -֊- sin U փ - , unde sequitur

A - « + f b տա —շ—

sm — «

sm — «

sin • 0 Հ- 2

. « ՚ a sin sm ֊֊

ab sin2 ֊շ- 8

*

2 . « . ß a sm — sin -у b sin2 Ա-՜Է- —a sin2

J =

[6 sin ~ — « sin —-շ֊^յ «b sin ֊֊

a2 sin2 -g- a

9) Problema 3. Dalis 2 lateribus finitimis (a, b) el 2 angulis, qui ad un uni later uni non datorum adjacent («, quaeranlur latera non data (c, d), anguli non dati (ß, Հ), area (J), ra­

dius circuli ((>)■

շ

Angulus y, igitur etiam ß 2 valores assumere potest, quamobrem 2 figuráé quadrangulae oriuntur.

. a . «փժ 2a sin — sin —֊—

cos-g- ՜մ՜

Ex §. 17. sequitur ac sin2 —= с (сЦ-с — b) sin2 + a (a֊\-c—b) sin2 , 2a sin — cos -І---H 6 sin — + ¿շ (շԹ sin у sin — b cos - igitur c —--- —--- ---—---֊s--- ---

ОС ß ֊4— -у 'V ос -j— Æ

Sohitio. Secundum §.14. est a sin— sin ՚ =: b sin — sin —֊՜2- ,

ձ ձ ճ ճ

t ■ 7 - 7 + à 1 , <5 1 , / . ծ

= ծ տա Ý sm í֊֊֊ — = շ- ծ cos- - — ծ cos (y -f- — ).

, ö . a . «4֊ S 1.

o cos—---2a sm — sm—֊— cos հ o cos 2 țo

<Հ ձ Հ> __ Հ

b cos 2 q> ’

к si tang (ț> — r

b

Quum haec forma ad calculam logarithmicum inutilis, et angulas ß jam notes sit, ex §. 14.

jnvenitur

, . ß . a 4֊ ß b sm sm -֊-C

. ժ . a-VÔ ’ sm-^-sm

Si in aequatione J — ab sin ß ֊)- ~ cd sin ժ secundum §. 16. cd sin ’ ֊֊ = ab sin ’ ֊֊

substitueris, érit

ubi pro ß valorem supra inventum substitui necesse est.

Idem fiat in aequatione

nam si p quanlitatibus datis definitur, est

e

(2a—6) sin sin -^֊֊j֊2acos-^- cos ֊¡^՜՜ 6г—f2asin — sin ф —b cos'— )’

2 sin «+ ժ

՜շ՜

, si tang (f>

a sin2

et

b Ca —b) Sin2 -L

(a — b) cos2 <p cos 2<p

valores latcrum c et d substilueris, érit Si in aequatione J — * / 2 ad sin a ֊|֊ ։/յ be sin y

, si cot <p =.

Quum sit d — c~a — b el secundum §.16. ֊֊ ==

a (a — b) sin2 -շ- a

a sin2 -g-

d — ֊

b sin2 -1---a sin2 ֊ b sin2 ■֊֊

a2

—, invenitur 2 . b sin2 —-

(a — b) sin ’ cf COSÜcfT

10) Problema 4. Datis 2 lateribus finitimis (a,b) et 2 angulis sibi opposilis, quorum neu­

ter est inclusus (a, y), quaeranlur latera non data (c, d), an guli non dali (ß, ô), area (J), radius circuli (ç).

et ß -I— y Solutio. Ex aequalione §. 14. a sin — sin

a Լո — by sin-^L sin cos2 <p sin -Հ- cos 2<p

« y

„ ծ cot-s--- acot-է -‘4=֊ * ->

ab (a — 6) sin -y sin -y

■z = --- ~~7---Г h sin2 ֊<--- a sin2 -y

b cot — cos 2 (p (a—b) cos2 <¡p

= ö siny sin <™-֊ scquilur :

a cot-֊-

= '

si" f *

3

, . y + « • y — «

«6 Sin ֊г— sin —-—

у cc

b sin2 — a sin2 — b sin’ ֊— — a sin’ ֊

2 2

յ ab (sin’ ֊|--- sin ’ ~ ) p = — :— : est autem a 4- c

a -j- c

ergo q —

et . y (а — b) sin — sin —-

si

c

a — / (ae) (ce)

col -Ł 2

/ (de) 4֊ Հ_ (ce) — 180° — ժ.

et y = Ճ (be) + Հ (ce). Si ß >

Si ժ > 180°, « — Z. (ae) — (de) et y = Հ. (be) — Ճ (ce).

Sicut in problémaié 3. invenitur.

quaerantur etiam anguli Հ_ (ce) et (dej aequationibus tang Հ -

Si tum et ß et ժ <հ 180°,

180°, « = Z (de) — ճ б«е), 7 = ճ --- g-. Inde sequilar

lb —a) sin —

Quum aequatio, qua anguii a et y definiuntur, ad calculum logarithmicum inutilis sit, quae- rantur anguli Հ_ (ae) et (be) aequationibus tang — _

11) Problema 5. Datis 2 lateribus finitimis (a, ծ) et 2 angulis sibi oppositis, inter quos angulus est inclusas (ß, ô), qaaerantar latera non data (c, d), angali non dati (a, y), area (J),

(

).

Solutio. Qaam sit c — d — b — a et secundam §. 16.

ab sin ’ ф V 4ab sin ’ Հ

cd ~, c -j-d — f (b —а)г 4--- --- = (b — a) sec tp,

sin’ — 4 sin’у

b ֊[- а b — а b — а

cos у b— сь

1 cosy cot֊- 5 --- et

cos y + Ճ (de)

— Z Í6e?.

յ —

c

2

Igitur

2 >

L 2 4֊ sin -֊• cos v о — А

2 sm —-—

Solu ti о. Secundum §• 15. est a sin sin ճ

-țj- — c sm Denique ç — —

a -f-

«+/? + 2/

- COS --- շ--- ab sin — sin ՜

՜ ժ ՚

2՜

ab sin ф sin ф--

= ---. Est autem Ca+c) sin—

12) Problema 6. Dalis 2 lateribus oppositis (a, c) et 2 angulis, qui ad unum eorum ad­

jacent (cc, ß), quaerantur latera non data (b, d), anguli non dali (y, ô), area (J), radius circuli (շ).

У sin ճ£+ճ/

Г ^{4а6 sin’ ~}

1 +--- y (Ь—а)г sin’ —

= sin ’Z cos զք

C Հ ձ

a ß a- ß i . . a- \-ß

COS - — շ — — COS у COS --- շ- ---- Ւ Sln У Sin —¡շ—

՜՜շ

*4 ™ 4 s,ïe ? =--- ՃՅ--- j/՜ 4a6 sin’ -֊-

+ ~у i —а)г Н--- д— • *í=it ur

՝ s¡"։4

unde sequitur:

si cot

d =

sin

í> =

a lateribus

non data 13) Problema 7. Datis 2

adjacent (a, ő), quaerantur latera S о I u t i о. Secundum §. 17.

c

a ß

cos — sm (<p---շ-)

Sin (f ’

Quuin haec aequatio 2 valores anguli y praebeat, Ex aequatione §. 17. 6d sin1 — od

л ■ a . ß ) sm у sin f ct -|- ß п . et , ß

* + f4-2y ccos-g 2a sm — sm-շ-

COS ■ ■ — շ --- --- —---

sin “֊Ճ- +« sin a (aĄ-c) sin2 ֊

J — (d c)

c cos — cos — — Çjíor\-c) sin— sin

ձ ձ p ճ

c

ß . a 4՜ <5 a sm — sm —Հ—

Հ_. ձ____.

a . «ч-f - 2 Տ1Ո 2

oppositis (a, c) et 2 angulis, qui ad latus non datum (b, d), anguli non dati (ß, y), area (J), radius circuli (ç).

est ac sin2 —= cd sin2 4՜ ad sin2 ֊— ,

. « 4֊ժ ժ

c sin2 —֊—cos2 p . sin——

2 . , 2 ... /---

—--- -— — --- Sł tang Cp = --- 1/ c

s¡»>4- sm 4֊ *

2sin^

Quum autem haec forma ad calculam logarithmicum inutilis et anguli jam invent! sínt, latera b et d quaerantur aequationibus

• a ■ ß 4՜ y a տա -Հ֊ sin

b = ՜ У . a+ß ’

an Z sin -ГР

« . ß a sin — sm —

• * * =Ť*

2«4՜c . а Ф — --- tang ,

2 figuráé qiiandrangulae problemati respondent.

sin2 ֊ 4֊ ab sin2

sive b (a — b-\-c) sin2 = a (a — b-\-c) sin2 4֊ ab sin2 ֊- deducitur

2 2 2

(a-Vc) sin 4- a sin ± [(«4՜օ.)

6=

Eadeiîi rațiune invenilur

posueris, érit lateris d supra i n ven tum

valorem

c sin sin

c)

sequitur

— f«+c) sin2 (? =

COS2 </)

sin - . « 14. Probléma 8.

rantur latera non data (b, d), anguli non dati

sin2 = c (c-}-a—d) sin2 Solul i o. Ex - aequatione §. 16. ad

I ■ a a sin — Si in aequatione y =

Dalis 2 lateribus, oppositis (a,

(ß, ô), area (J), radius circuli (y).

a sin — . a ô . a -j- d c sin — sin—շ- Ex aequatione §. 15. a sin — sin (X

et 2 angulis oppositiș (a, y), quae- a -p Ժ

2 _<r —

շ

(a-Y-c) sin — sm — sin ——

a sin2 —---- 1֊ c sin2 ֊—

2 Հ-

. a . <5 ac sin —- sm —

2 Հ a sin2 —Pc sin2 a . ժ « + ժ

— c sin ՜ cos ——

« + ժ

՜շ՜

ŕ ՞ 2

շ՜՜- . d .

c sin Ț sin

УО

— , si cot = -֊ sin ip

-

. a ֊|-ժ sm -T

a. (a + c) sin2 -y a b — a֊\-c—d~ ■--- ---

a sin2 + c sin2 ~ y

c (a + C). sill2 -g-

d ~ --- --- — (a-Vc)

a 7

a sin2 -g- + c sin2 -g- sm -g 5 . « +<?

sm -g-

<z -4՞ y -4— Ժ , . Ժ .

—֊—!— = c sin — sin — sequitur

2 2 2

. ժ . « í c sin —---- a sin — cos -

7 6 ¿

“l V =--- ——¡? + ճ a sin — sin —— -

4

(leducitur

Lodem modo invenitur

sin

a sin

շ loco laterum b et d positis sin a ֊]֊ ։/j be sin y

L շ Valoribus modo reperlis

mutatur in

aequatio J — l / 2 ad

COS

* <f и+7

2 Ex aequatione §. 15. a sin —

« +y 2

ас (a-\-c) sin J —---

sm — у

si cot гЬ —--- т . У . «՜ր с sin ý- sm —շ c sm ֊֊֊ sm У

• w ՜ւ՜ У • տա —֊-=- sin co

CC . CC —j— y a sin — sm — հ-2- cos2 q

■ 7

‘■í CO. Հ

a . y . ac sm — sin ֊ sin

ճ ձ

a sin2 -у + c sin2 и

а . у

a sin —---с sin — cos

Z Z

а_+у 2

7 . cc

c sin —Հր՜ — ci sin ——-

=». Ł =--- ï---Ł

л . a . « + 7

2 "" -2՜

ß ' . 7 sin — = C Slll — sin

C sin -!֊ 7 SÍ COt Ы = --- --- :— »

. a . a -4- 7 asm— sin —

a sin2 ~ 4- c sin2 2 •

« ֊V ß ֊V 7 2

15) Problema 9. Datis 1 latere (a) et 3 angulis («, ß, y), quaerantur latera non data (b, c, cl), area (J), radius circuli (y).

Solutio. Ex §. 14. sequitur

/

et ex §. 15. r, —

5.

In problémaié

sin

sin ./ =

posueris c

sin

cos 2

— sin sin

11. cos

111. cos sin cos cos

2

y cos

cos cos

a cos

VII.

Ex

sin IV.

V.

VI.

7_

2 sin

1 2 Ł

2 Ł

շ

Ó_

2 cos — Ժ

c«s|

Lodern modo invenitur cos ~ N о t a. Si

a Տ1Ո ՜շ-

sin « sin ß — sin 7 cos

sin

£ 2

sin շ տա . y

Est igitur sin — sin — ֊|- a ß nonnullis mutationibus facilibus

cos Vili.

շ • U a2 sin —

7 . ~ j տա __ sin -g

- + cos y

cos in aequatione J ■=. (it Ą- c) q loco

ß cc .

— cc sin - sin

տաճ y

sm y y probator.

ß . y COS y ֊¡֊ COS y cos

/У у

COS у — sin у et Ill.

ß . y cos —- — sin -Հ *

lateris JL

2

= col ՃԼ

Est igitur in quaque figura quadrangula primi ut secundi generis . a . ß

ւ Sin ֊շ֊ sm —

a

Ex I. et III. sequilar a ■ ß * . 7 sm — sin — փ sin -շ

sni­ a

li.

a լ

■ « ß y

տա -շ- cos — — sin —

cos -շ- ժ

ß . 7 d

cos ֊շ- — sni Ý cos ֊շ֊

MefctbtbUotbff í bom

ՃՃՃԼ = Sin Ц1 S,Ո Ц2.

cos у а

а ß , cos ֊ cos у ՜է՜

տա у а

cos « cos ß — COS 7 cos Ժ IX.

X. sin a cos ß + sin y cos ժ

XL cos

XII. sin

8 cos

cos cos

8 cos

SÍ

cos a cos ß — cos / cos Ժ

M_7 2

(u ֊\-x-y -fz) (гЦх — у — ճ) (u — X } // —z) Quuin, սէ notissimum, sit

sin u sin x sin y sin z

=

(

֊V֊

-\-

֊V Հ) —

(

-\-

-\-

—

)

— cos (и —х-\-у-\-б) — cos ( — uĄ-xĄ-y-\֊a) 4֊ cos (и— x — у-\-ь)

sin a sin ճ 4- cos y ćos ժ , , ,

—--- -Î — 4. --- ---= cot (a-Vx).

ձ±Հ 2 Ex IL et IV.

sin a sin ß — sin y sin ժ a ß . 7 . ó cos — cos -L- - տա ֊է sin —

etc.

et

cos и cos x cos у cos ճ — cos (u-Vx֊Vț)-Ya ) + cos (u-\-x֊V у — а)

4sin^±y sin a sin ß — sin / sin J cos a cos ß

a . ß . . y . ö a ß

sm — sm -֊- + sin ý sin y cos — cos —

« ß . 7 . ժ cos ՜շ՜cos ՜շ՜ ՜ տ,ռ շ Տ1Ո ՜շ

fw+ж—ÿ֊]֊z;

4֊ cos (и—-æ+ÿ+з) ֊4՜ cos Վ-«+®+y+s9 + cos («+®—y—z) + cos (w—ж—+ cos (за—'A-'АзЗ—z4.

pro w, æ, ÿ z anguli figuráé quadrangulae ponuntur, est

8 sin a sin/? sin/sin ժ==1 — cos 2a — cos 2/? — cos 2/ — cos 2<í-|~cos 2(a-V-ß)֊\-cos 2(a-\֊7)-\-cos2(a^-ó) et

Ժ 2

8cos«cos^cos/cos5=l+cos2a+cos2^-|-cos2^4-cos2d֊|-cos2í«+^+cos2(íí4-y9+ cos^ŕ<i:+(5)- Igitur

4 sin « sin ß sin y sin ժ 4-4 cos « cos ß cos / cos ժ = 1 4֊ cos 2 6« -\-ß) 4֊ cos 2 (a 4՜ Z? + cos 2 ť “ 4՜

sive

XIII, sin a sin ß sin 7 sin ô' 4֊ cos a cos ß cos 7 cos Ժ = + <£s —1

2 — sin2 (a֊Yß) — sin2 (ս-Հ-y) — sin2 ք«4֊ժ)

_ շ - ■ - •

Porro

4 cos a cos ß cos 7 cos Ժ — 4 sin « sin sin / sin Ժ = cos 2« 4՜ cos %ß 4՜ cos 2y 4՜ cos 2Ժ,

XIV. 2 et

XV.

XVI.

Quum XVII, cos ֊

etc.

f _ У .. a _ У a «աք

cos — cos -г- cos — --- sin -г- sin sin — sin — —--- д ---

4 4 4 4444 4

Si autem pro u, x, y, z posueris -֊֊-, ֊֊, -֊-, , evadent acquationes

. „ sin2 a 4֊ sin2 ß + sin2 y + sin2 ò 1 -j- sin a sm ß sin y sin о — cos a cos ß cos у cos о =---

sin (u-V-x) cos y 4- cos и cos x sin у sit tang и 4- tang x tang у —--- 4-—; ---

1 6 1 ° а cos и cos X cos у

sin (U 4՜ x ) COS у 4՜ [cos (U 4՜ х) 4՜ sin и sin ж] sin у cos и cos X cos у

, sin (uĄ֊xĄ-y) ,

+ tang Ж 4֊ tang у = — ա cQg — + tang u tang x tang y, est queque sin (u-l-x 4- У) eos Z 4՜ sin и sin® sin« COSZ 4՜ eos и eos x eos y sin S tangu4-tanga4-tangy 4-tangs = ֊ --- ---

COS U COS X cos у cos z

e. lang „ + langa, + lang , + lang ո = -Հ֊֊֊֊֊֊֊ + >»"Տ» lang a, tang у 4֊ tang u tang x tang a -|- tang u tang у tang s -f- tang x tang y tang z.

Si igitur pro u, x, y, z an guli figuráé quadranguli ponuntur, oritur åequatio

XVIII- tang a ֊4 tang ß + tang у + tang ժ = tang a tang ß tang у + tang а tang ß tang ժ 4֊ tang a tang у tang ժ + lan £ ß tang у tang ô

.... « ß y ժ

et si ponitur и =2 — , x =: ՜շ , у = -շ , й — — ,

5

æ tang y tang z.

cot « cot ß tang J

et

XXIV, cot <լ

շ Ergo

XXIII, cot

Figuráé quadrangulae, in quibus differentiae laterum oppositorum aequales, omittantur, quia aequationes, quae in eas valent, eodcm modo ex §§. 37 — 42 deducuntur.

Ergo

XX. cot «+cot/î֊|-cot y cot Ժ = cot « cot ß cot y 4՜ cot a cot ß cot Ժ4֊շօէ a cot y cot ä 4- cot ß cot y cot Ժ et

XXI. cot ——J— cot ——j cot ~—j— cot ~~ —. cot — cot cot ~~ 4՞ ^ot cot cot —-

Հ Հ ձ Հ ճ ճ ճ ճ Ճ Ճ

4֊ cot cot —֊ cot 4֊ cot cot COt — •

XIX. tang — + tang ֊֊ + tang + tang A — tang y tang A tang f tang y tang A tang A

. « y Ժ , 8 y . ժ

+ tang y tang-է tang — + tang — tang -Է tang — Eadem ratione invenitur

cot u cot x ֊4֊ cot y -j- cotz z=2 cot u cot x cot y -f- cot u cot x cota -f- cot u cot y cot з -4-cotacotycots _ sin rufa,

sin U Sin X Sin у Sin 3

b. Figuráé quadrangulae, in quibus et summáé et differentiae laterum opposito- rum aequales sunt, (a 4՜ c = b 4֊ d, a — c = d — b.)

16) In has figuras quadrangulas 2 circuli perscribi possunt, qui omnia latera aut ipsa aut producta tangant.

Quum in iis a=zd, b — c, ß=ö, 3 quantitatibus definiuntur. Data igitur esse possunt.

, 1) a, b, ß. 3) a, a, y.

2) a, b, a. 4) a, a. ß.

91 denote! radium circuli, qui extra figuram situs est.

17) Problema 1. Datis 2 lateribus inaequalibus (a, b) et 1 angulorum aequalium ( ß), quaerantur anguli non dati (a, y), area (J), radii circulorum (9, 9').

y y 4-2/?

Solutio. Ex aequatione §.43. b sin = a sin sequilar

2 2

= b sin et ex aequatione a sin

b- a sin ß

“՚ 1

COt 2 — b sin ß

Aut quaerantur an guli a, y aequationibus a — y -b.— a tang —֊Լ = ' -—:— cot

a cos ß sm (ß֊ գ>) b

— - = д—֊— , SI cot to — V—֊

sin ß sin <¡p a sinß’

2

= sjntf-jy паЛѴ>= « . sin ¿5 sin гр 6 sin /9

«6 sin ß a — ծ

«

՜շ

a—b cos ß

18) Problema 2. Dalis 2 lateribus quaerantur an guli non dali (ß, у), area (J),

inaequalibus (a, b) et 1 angulorum inaequalium (a),

radii circulorum

(

,

).

a sin -g- . «

Solutio. Ex §. 43. sequitur sin ֊- — b

tii generis problémait satisfacit, si autem a < b 1 primi generis.

Soln է io. ß = ժ = 180°

— ab sin ß — J

9

sin a2 sin — sin —

sin у) , . а . а ֊j- у С ^{2 cin} u»t շ M»» cin ---L *

« (sin у +

a sin — a ab sin ß

a + ft

19) Problema 3. Datis 1 latere (a) et 2 angulis inaequalibus (cc, y), quaeratur latus non

(

),

(ß),

(J),

(

,

1 ).

a Տ1Ո ՜շ՜ ■ “

—7™ et secundum §. 43. ft = —---

, . a . « +y a2 sin — sin —֊—

տա- ■ У

ab sin ß 6 = -Т=ъг

20) Problema 4. Datis 1 latere (а), 1 an gul orum inaequalium (a) et 1 aequalium (ß), quae-

(

),

(

),

(J),

(

,

')-

S o I u t i о.

(i sin -Հ- а у = 360° — (а + 2ß) et secundum §. 43. b = ---a^ß

sin

J—ab sin ß —

a2 sin — sin ß

C. Fig-urae quadra »gul a e, circum qua« et in qua« circula«

perscribi potest.

21. Si earum tantum figurarum rationem habemus, in quibus summae laterum oppositorum aequales sínt, propter 2 aequationes a ֊֊]֊ y = ß -f-Ժ, a ֊\- c = b ֊\- d primi generis esse debent et 3 quantitatives definiuntur, inter quas summum 2 anguli iique finitimi. Data igitur esse possunt

1) a, b, c. 3) a, b, y. 5) a, a, ô.

2) a, b, ß. 4) a, c, «.

22) Problema 1. Datis 3 lateribus (a, b, c) quaeranlur latus quartern (d), anguli (a,ß,y,5),

area

(J),

(

,

).

Solutio. d a ֊V c — b. Ex §. 27. sequitur

У _ l/a(a-Vc-b) _ а

՜շ — Ւ —Бе - co 2

Nro.

tang -y

2) inventúru est J = V» У (a-\-b-\-c — d) (a-ț-b-c-ț-d) (a — b ֊\-c-\-d) (~-aĄ-b-\~c~\֊d) Ergo J = У ab cd' = У abc (a — b֊\-c )..

J I ____ ______ ՚

p = —7 — = - — ¡ — V abe (a — b ֊V c) s a-\- c a֊\- c

r____ ___________ :--- ---

—j - V (ab -j- cd) (ас 4՜ bd) (be 4՜ ud)

и — ծ (а— c)]

23) Problema 2. Dalis 2 latcribus fmitimis (a, b) et angulo iis incluso (ß), quaerantur

(

,

),

(

, 7),

(J),

(

,

).

Solutio. Ex aequatione §. 27. ab tang2 ■֊֊ = c (a Ą-c — b) derivator

c

b — a 4՜ ՜\Հ(b — a)2 + 4ab tang2 1 ф cos2 ֊շ-

si lang

2 tang — Каб

2 cos <p ^փ ՜ b —а

a—64֊ J/ (b _ ճ

4֊ 4ű6 tang2 -ý- (ծ--a) տա2 ֊շ-

2 COS <jt>

a —b Л- V (b — a)2 + 4ab tang2 -y

՜՜ շ՜-

ergo у «

tang ֊<- — cot у

J = j

֊Հ (ßl> + C£0 sin ß et secundum §. 27. cd = ab tang2 ,

6

«+ c՜՜

2

a (a — b)

— CL a

cos 2<f

a cos 2cp

չ i

da- cir- iabcosß j cos2

b tang ’ ֊կ

а)г 4֊ 4ab tang’ ֊֊]

(a—b) tang֊֊֊ sin’у (ď—a)2 4֊ 4ab tang2 -^- ] =֊ tang ß [a b

24) Problema 3. Datis 2 lateribus finitimis (a, b) et 1 angulo, qui ad unum laterum torum adjacet (y), quaerantur latera non data (c, d), an guli non dali (ß, ô), area (J), radii culorum (r, ç).

Solu ti о. Ex aequatione §. 27. be tang2 ~ — ad — a (a c — b) sequitur

֊֊v’—• T-= W4

y y

ab Ca—b) tang-֊- b (а—■ b) tangsin * у ergo J =--- — --- ———---

6 tang ’ X _ » CM 2,f Ka—И lang’X.

Secundum $. 25. est ծ lang ֊֊ tang ֊֊- = Ժ =---, btang'.-L-o j (o-Otang-Ł

ergo tang — = cot y =--- ֊---

6 tang* -g --- a

In problémaié praecedenti inventum est J = ab sin —, fi

г = iSÿV.<»

i

46c sin2 ֊֊֊

2 sin /

2 sin 7 (b tang2 --- a)

a, y (a — b) sin — sin ֊-

Secundum No. 10. est о — —--- — ; quum vero in his figuris и = 180° — у, . у — а

տաԼշ՜

(а — Ь) eos у sin у- j

Q = --- —--- = -Հ-Ca — b) tang у.

cos у 2

j/ (b tang2 + а2) (b2 tang2 -f- a2 — 4«6 sin2 -y- ) 4a2 b sin2 ---4ab2 sin2 ֊֊

--- 7՜--- ; crg0 b tang2 --- <z

62 lang2 ֊- — a2 6 tang2֊^---a

25) Problema 4. Datis 2 latcribus oppositis fa, c) et 1 angulo (a), quaerantur latera non data (b, d), anguli non dati (ß, ô), area (J), radii circulorum (r, y).

Solutio. Quum sit secundum §.27. ad tang2 = be = c (c a) — cd, , c Ca-\-c)

d = --- a tang 2 ֊֊V-c

— Ca-\-c ) cos2 (p, sin tang (p = tang — ^a Vi ' c

b=.a֊Vc — d —

, «

(

՜

)

2 ֊

Ex §. 25. sequitur

a tang2 — + c

= (a-\-ć) sin2 y

Secundum No. 12. est J =

Cí p

a (aĄ-c) sin — sin ֊֊ a (ci~c) . ß . « cot ՜շ—Г COt-շ֊

ergo

ас (а + c) cot -5- J —--- —--- Ł_

a-V c cot 2 ~

= a (a + c) tang cos2 գ .

r — Ջճ VC»֊ dy + 4 ad sin' ~ . a2 tang2 ֊- — c Sed a — d =---

a tang2 ——¡- c a

igitur

i

յ cos2

Vy — a)2 + 4ad sin2 Հ 5 est vero a (sin“^Zľ! — tang — cos “ — )

Ժ - a = %

(f.

Ժ), quaerantur latéra non

a

8 o Iuti o. Ex §. 23. sequilar d ֊՜ b

e

i

շ

f ( +

2

Ժ ֊ւ(14՜տւո«տւո<յ)

a —

՜՜շ a sin — a

26) Problema 5. Datis

(d — a)2 ֊|֊ 4ad sin2 — = a2 sin2

a2 sin2 ֊_

-2

1 latere (a) et 2 angulis Haitians dala (b, c, d), area (Հ), radii circulorum (r. a).

a sm — cos Ci ______ 2_____

sm — cos ժ « 2 յ — (a + c).p = a (1 4- tang -- cot ֊)

Ժ a — Ժ cos —- 2 sin a (a¿ tang * 2 ֊V c)

, . « 4-ժ , a . ժ аг sin —¿— tang — cot — շ Ծ 2 շ

, î.e. J — a —8

COS — (a2 lang2 -fc2) (a2 tang2 — f c2 f- 4ac sin2 ֊ )

a . a + ô a tang — sin -Л—

a — ô cos ֊շ֊

V'/’

ô a — Ժ ’ tang ֊ cos —շ-

« —Ժ 2

a —Ժ

՜2՜

— cos2“

2

. a ô a sin — cos —

2____ 2 a — ô COS — -֊—

Asin — У COS

2 2

Ժ a — ô

tang — cos

moot a

--- — a lang —

I .« *

a + c cot2 -y

a cc ò 4 cos ֊.֊ sin — cos

cos’ Ժ sin’ — cos’

2

. . Ժ a —ö sin’ — cos’——

in « sin ժ

Kolberg.

^ulnadHdrteit

i. 5111 gеmeine geH^erfaffung»

ф r t m a.

Srbinariué : ber Stref tor.

A. (Sprachen: 1) Seutfф. Вііегайігдеі'фіфіе von ber SRitte beé isten Äabrbunberté ob.

Äußer toleren Sichtungen Seffingé Slatban erflart. ÍŠÍjeorie beé Sramaé, патепіііф ber tragőbie.

Äuffabe unb Siépofi¿ionéíibungen. 3 St. фегг Sberlebter Dr. Ջէէօ. — 2) gátéin. Cic. de off. Г.

lib. XXIV. Hor. сагт. I. unb II. Ars poetica. Äuffäbe unb Ueberfebungen iné Sateinifííje. ¿Bab՛

renb ber .Kranfbeit tourbe ber Sireftor von Dr. Ջէէօ, tm ^ora¿ ¿um tl)eil аиф vom ©pmnaftab leßrer Dr. guuge vertreten. — 3) ©гіефііф. pleito ¿Pbéíbon. Hom. II. I. H. III. %u6 ber Srammatif bie SRobi unb tempera. Зфгііиіфе Arbeiten. Änfangé bet Sirefto.r, fpäter Sberlebrer Dr. Saa.ge, Soph. Oed. R. Ser Síreftor. 6 St. — 4) gran¿ofifdj. ®rammatifdje ¿Bieberboíungen. Lamartine Voyage III. unb IV. Sd)riftlid)e Arbeiten. 2 St. фегг Dr. gunge. — 5) ^ebräifd)- Exod. 1 —12.

unb 7 auégewäblte ș>folmen. ©ramm, nad) Sefeniuê. 2 St. ^ierr ¿ReligionéleprerSBien.—6) 9) o In i f ф.

¿Poléfué ßefebucß S. ‘28—45. ©ramm, nad) ¿Poplinéf'i. Scbrifth^e Uebungen. 2 St. фегг ©pmnaftai՛

lebtet ¿Brandenburg.

В SStfțenfchafteit: 1) ¿Religtonélel)re. 2Bicberl)oíung unb ¿Beenbigung ber Slaubenêlebre.

ÄirdjengefcbiAte biß Gart b. Sr. паф Siemeré. Ueberfețsung unb ©rflärung beé Gvangeltumö паф Sutáé im ©runbterte. 2 Sț. фегг SB i e n. gíír bie evangelifțben Sd)űler: ¿Religionéunterrítbt nad) tßo՛

maftué §. 24. bié 4L ¿Eieberbolung ber ^ігфепде[фіф!е bié ¿ur reformation, ©vang. Marci in ber Urfpradbe. £егг ¿Pfarrer Siebte. 2) í> í í o f о լ í f d) e r o p ä b c u t f f. Sogif. ¿Eieberbolung Ьег^рфо»

logie. 1 St. Ser Sireftor. — 3) Ж atb erna t if. A. ¿Eieberbolung ber Siné՛ unb Г епіепгефпипд unb ber trigonometrie. Stereometrie nad) Uebungen tut .Koppe. Bőfen geometrifeber unb ßereometrifd)er Aufgaben.

3 St. фегг Sberlebrer .K o í ber g. — B. Äritbmetifdfe unb geometrifd)e Г eiben, mit Ämvenbungen auf Sinfeéjiné՛ unb verrvanbte Гефпипдеп. .Кгеіёгефтіпд,' fo wie Sberfla^en՛¿Beftimmungen ber runben .Körper. ©bene trigonometrie nad) »Koppe. Sd)riftlidje ¿Bearbeitung aritbmetifdjer unb geo=

metrifdber Uebungéaufgaben. 3St. 5)err ©pmnafiallebrer ¿¡Beterftraß. — 4) ¿Pbpftf. ©efebe beé

©Іеіфдетіфіё unb ber ¿Bewegung tropfbar = fluffiger unb luftförmiger .Körper. SBarmelebre. Sptif.

2 St. фегг SBeierfłraf. — 5) ®efd)tcbte. ¿Rőmifd)e Äaifergefd)idjte. Mittelalter. ®efdjid)tlidje unb geograpbif<be ¿Bieberbolungen. 2 St. фегг ßberlebrer Dr. ¿Benber. — 6) 9laturgefd)id)te:

¿Sieberbolungen aué ben brei ¿Reichen, фегг Dr. Saage.

<Ջ e í u ո ծ а.

Srbinariué фегг Sberlebrer Dr. Saage.

A. Sprachen: 1. Ջ eu էք Փ- 9)octif. ©rflärung profaifd)er unb poetífd)er Stíide. Seítung ber ¿Privatleftííre. Äuffäbc. 3 St. фегг guuge. — 2. Satein. Cic. or. Cat. L u. 2. Liv. VI.

Sie erfle '©тіііпагіі'фе ¿Rebe würbe menwrirt. Sie SOÎobuêlebre паф бфиф nebft ben entfpredfenben

¿Beifpieíen aué Tluguft Ueberfe^ungen aué graft’s ©гіеф. ©efd)idfte. SBőd)entlid) ein ©rer¿itium.

Sie Sberfefunbaner тафіеп паф ՋքԽ՚ո ¿wet Äuffä^e. — ¿Privatleftííre: Caes. b. c. II. 6 St. фегг

Dr. Saage. Virg. Aen. 1. ji. unb 2 Gelogen. ¿Ѵіей^фе Uebungen. 2 St. .£>err Dr Ջէէօ.

— 3. ©гіефіЕф. Plut. Cic. Spntap паф Luttmann, ©фгі^ііфе Arbeiten — Privatim Sacobg ВеЕеЬнф: Guropa. 4 Stderr Dr. Siaage. Hom. Odyss. ХШ. XIV. XV. 2 St. Sinfnngg фегг SBien bann фегг Dr. Saage. — 4. gr an; őft f ф. Volt. Citarles XII. L. I. u. П. ©rammatíf,

©Փրէքէն՚Փշ Tlrbeiten. 2 St. фегг gunge. — 5. феЬгаіГф. 9Rof. I. 1. 6. 7. 8. 25. 39. 4L паф SSater’g 2е(е(՝иф. ©rammatíE паф ©efeniug. 2 (St. фсгг SB t e ո. — 6. polnifd). ©rammatiE паф PoplingEi: bag Konten. Ueberfeßung паф Polgfug А. 12 — 25. В. 1 —15. 2 St. фегг ŠBranbenburg.

B æStffenfdxxfien: 1. Sîeïigionglehre. Sittenlchre. 2 St. фегг SBien. gűr bie еЬапдеІіГфеп <2>фйІег: Sag Еігфііфе ^BeEenntniß mit (Einleitung unb ErElärung ber 14 elften TírtiEel ber confessio Augustana. ЛігфепдеЕфіфіе von ber 2ten фафе ber crften fertőbe bes Míttelalterg big ;ur ^Reformation. фегг Pfarrer 8i eb Ее.

Tin m. 2íuê SeEunba unb ben folgenben Älaffen rvurben im ®an;en 25 ©фіііег ;ur erften heiligen Communion vorbereitet Ьигф ben феггп ŽReligionglehrer SB i e ո.

2. M at í) em a t iE. A. SBcitere Ttuêfübrung ber Theorie ber диаЬгаІІЕфеп ©Іеіфипдеп. SBieberholung

՜ ber poten;= unb Bogaritbmeníehre. šBinomifdjer Sehrfaíy SBieberholung ber ‘ДеЬпІіфЕеіШеЬге. Tluëmeffung ber giguren. Sie lebten "jfbf^nitte ber planimetrie. 9Еаф Лорре. ©фгіг'ІІІфе Arbeiten. 3 Șt. фегг SBeierßraß. В. ОиаЬгаЕІЕфе ©Іеіфипдеп, ЛеМепЬгйфе, Sombinationglebre, ber ЬіпотіЕфе unb рофпотіЕфе Seßrfah fur gan;e pofttive Exponenten. ЯеЬпІіфЕеіі ber giguren. 91аф Лорре. 3 St.

фегг Л o lb erg. — 3. p b P f i E.՝ Sie erjłen ©runbbegriffe unb bie widjtigjten Seiten aub ber Statí!

unb ber МефапіЕ ber feßen Логрег. 1 St. фегг SBeierfiraß. — 4. @ e f ф í ф t e unb ©eograppiç.

Einleitung in bie ©еіфіфіе. Orientalen. ©гіефеп. Macebonier. Sie ՑէօոսքՓօո Лаііег. Sie 4 аи^егеигораііфеп Erbteile. 3 St., фегг Dr. * 8 e n ber. — 9laturgefd)id)te. Mineralogie. 1 St.

фегг Dr. S а age.

X e r j i а.

Orbinaríug von Obertertia фегг Oberlehrer Dr. Otto, von Untertertia фегг Oberlehrer Л о Iber g.

A. Sprachen: 1. ՏօսէքՓ. Оհ.=ճ. Befung unb ErElärung рго|аііфег unb роеіііфег Stüde, größtentheilg auë Otto’ê 8еЕеЬиф mit baran geEnüpften śBemerfungen über bie vertriebenen Stilarten. ЗЗеіргефипд ftnnverivanbter SBörter, verbunben mit քՓսքէն՚Փրո Arbeiten über benfelben

©egenßanb. Uebungen im тйпЬІіфеп SSortrag. ՏրսէքՓ; ^uffâ^e. 3 St. фегг SBeierfEraß.

Աոէ.=ճ. EtpmologiE unb SpnonpmiE ber Лоп]ипЕ;іопеп unb Prapofijionen. Sie Sehre vom Sape unb vom Pcriobenbau. Uebet beibeë Ефгі^ііфе Uebungen. SScmerfungin über bierocfentlid)cn Bigenfd)aften beg Stileg. ЕпіЕргефепЬе ЕфгіЕНіфе Arbeiten. МйпЫіфег æortrag. 3 St. фегг Dr. žBenber. — Batein. Оb.-ճ. Caes. b. G. IV. V. VI. (Vil. privatim.) b. c. i. bi§ c. 41. Memorirt Caes, b. g. VI. c. llf-28. unb einiges anbere. Ovid lib. I—VI. Sab ЗВіфІідііе aug ber. Pro;obie mit еіпіафеп теігііфеп Uebungen. Mcmorírt 100 S3, ©rammat, паф Sdjulfj: syntaxis casuuin Extemporalien. ЭВофепІІіфе Ererjiden. 9 St. фегг Dr. Otto. Աոէ.=ճ. Caes. b. g. I cap. 31.

memorirt. ©ramm, паф Sd)ulß: Tempora unb Modi, bie Ьа;и gehörigen æeifpiele аиё Bipinger.

ЗВофепіІіф 1 Erer;i;ium. SBieberholungen. 6 St. Wang š фегг Dr. <èaage, bann фегг SB i e ո.

Ovid mit Ob.erterua gufammen. 2 St. фегг Dr Otto. — 3. ®гісфі|"ф. Ob.=%. Xenoph.

А nab. И. и. Ш. big c. 3. Seit ppngßen Hom. Od. 1. big S3. 200., bavon 50 S3, memorirt.

©ramm, паф žButtmann. Unregelmäßige SSerba, PartiEcln. SBieberholung. ЙКйпЬІіфсё unb քՓրւ՚քԼ Ііфеё Uebcrfeßen aug bem Seuífdjen ing ѲгіефіЕфе. 6 St. фегг Dr. Otto. Unt.-֊ճ. Sacob'g ВеіеЬиф. JBerbum. Тіефрііфе gabeln. ‘ WEboten. SBieberholung ber ©rammatiE. SSerbum auf fii.

Unregelmäßige SSerba. ©фгіЕЕІіфе Uebungen. 5 St. фегг Л о Iber g. — 4. gran; ö fi f ф. Ob.'-Ж.

фederg 8е[еЬиф И. 70 big ;и Énbe. ©rammatiE: фаирігоогі, SSeiroort, gürtvort, unregelmäßige Serba. 0фпф1іфе Arbeiten. 2 St. фегг Dr, guuge. Աոէ.=ճ. Sefeübungen, gormenlehre big ;um unregelmäßigen SSerbum. феФегЬ Befebuth D. big 80. ՏՓոքէսՓր unb тйпЬІіфе Uebungen. 2 фегг ЛоІЬегд.

B. 3Síffeitfd)aften; 1. Keligionblehre. ©laubenglehre big ;ur Beßre von bér @фбріипд

паф Еіф^огпЗ фапЬЬиф. фегг SB i en. — gür bie evangel, ©фйіег: Einleitung in bie ЗЗйфег beg 91. ճ,

bis auf bie lebten žBriefe unb bie Offenbarung Sob. vorgetragen unb roieberbolt. Svanget. Pfattb. gclefen unb erflärt. фегг Pfr. Siebte. — 2. SW a t bem at i f. t) b.; %. Steigungen be§ erßen unb ¿weiten

®rabeS mit einer unb mit mehreren unbekannten Stößen mit vielen SBeifpielen. SBicberboIung unb weitere Fortführung ber KreiSlebre. S3ergleid)ung bet Figuren ЬіпрфШф beS Ftôd)eninbaltê. %аф Koppe.

®(briftlid)e Arbeiten. 3 St. фегг SB ei e r ft r aß.. Աոէ.=ճ. SBíebcrpolung ber S3ud)ftgbenre^nung unb potenjlebre. Rechnung mit SBurjelgrößen unb imaginaren Stößen. Proportionen unb beten 2ín-- roenbung auf bie einfache unb -¿ufammengefeßte Siegelbetri. Sie 3inS», SefellfcbaftS- unb 3Jîifcbungê=

кКефпипд. SBieberbolung ber ßongruenj ber Sreieďe. SSon ben æierecten unb SJíeíeďen. 92аф Koppe.

3 St. фегг .Kolberg. — 3. S ef d)i d) te. Sîomifdțe Sefd)id)te bis ¿um Untergange beS KaifertbumS.

Europa außer Seutfdjlanb, Preußen unb Sefterreid). ВапЬЬагіещеіфпеп. 4 St. фегг Dr. æenber.

— 4. 9îaturgef<hichte. Pîirojoa. žBotanif. 2 St. фегг Dr. Saage.

Suaria.

OrbinariuS фегг Spmnaftallehrer Dr. guuge.

A. <sf>rad)Cit: 1- Seutfcb. ©aßlehre bis ¿um Periobenbau. Seftüre. Vortrag auS Otto'S Sefebud). ®фгі[11іфе Arbeiten. 3 St. фегг Dr. Funge. — 2. Sateín. Corn. Nep. 6 vitae.

Phaedrus auSgervéíblte Fabeln, von benen bie meißen memorirt würben. SBieberbolung bet Formem lebre. Sçntar ber Safuê. SBortbilbung паф ՏՓս% mit S3eífpielen auš фодд. Schriftliche Arbeiten.

10 St. фегг Dr. Funge- — 3. Sried)ifd). Formenlehre bis յո ben SSerbiS auf SacobS 1. ßurf.

bis 3íbfd)nítt X. 2íuSivenbíg gelernt mürben 7 Fabeln. 5 St. фегг Dr. Otto, fpäter фегг Gan»

bibat ¿cßreidh.

B. ăSiffenfcbaftcn: 9îeligionSlel)rc. æiblifdje Sefthichte bis ¿u Gnbe nad) Kabatb. .Sic Sebre von ben beii. Sacramenten unb bie Sítteníebre nad) Antrup. 2 St. фегг SBien. — Fűt bie evangel. Sdjüler: 2£uS bem Katechismus baS ¿weite фаир^ііек erklärt unb Sprite unb Síebetverfe ba¿u gelernt. Tlltteftamentlíche Schichte mit ben nötbigen Grflärungen. фг. Pf. Siebte. — 2. Ptatbematik.

2ínfangSgrünbe ber S3ud)fłabenred)nung. Sejimaíred)uung. Ginfadw Sleicbungen. Sie erßen 2íbfcbnitte bet Seometrie (ï. bis IV.). 91аф Koppe. ՏՓսքШфе Arbeiten. 4 St. фегг SBeierßraß. — 3. ©екфіфіе и. Seograpbie. Tílte 0е[фіф1е bis auf 2£leranber vetbunben mit bet alten Seogtm pbie bet betreffenben Sauber паф SBelter. 2 St. Anfangs фегг Dr. Otto unb Dr. žBenbet, bann фегг ОеЦгеіф. — 4. 9каІигдеі"фіфІе. Säugetbiere. 2lmpl)ibien. 2 St. фегг žBranbenburg.

Ջ u t n t а.

OrbínariuS фегг Spmnafiallebrer žBtanbenburg.

A. Spradau 1. Seutfd). Ser erweiterte Sa&. SSerbaltniß ber Saßtheilc. Sie beiorbnem ben Gonjunf ¿ionén. Pebenfäße mit bem relativ. SBieberbolung ber Setlinajion mit bett Prapofijionen.

Sie Gonjugajion. Übungen im тйпЬІіфеп unb քՓրէքէՍՓօո Srjâblen. Kleine ЗЗеіфгсіЬипдеп. Sefe»

unb SeflamajionSûbungcn. 3 St. фегг Kolberg. ֊֊ 2. Satein. Formenlehre паф ®фи!%. Sic епІІргефспЬеп S3eifpícle auS фбдд. (hereien. SWemoriren von Fabeln. 10 ©t. фегг SSranbenburg.

B. SBtffenfc^afieit : 1 SíeíigíonSlebre. ЖіЬОДе ©екфіфіе паф Kabath. ©laubcnSlepre.

S aS fatl)olifd)e КігфепіаЬг. 2 ®t. фегг SBien. — gut hie еѵапдеІіТфеп Sd)üler: 21 Ile Srjäblimg.e«

aus bent 9?. £. паф Koblraufd). %u§ bcm Каіефіётиё baS erße фаиріДйск wicberbolt, baS ¿weite Sauptftüif gelernt, фегг Pf. Siebte. — 2. Жефпеп. SBieberboIung berЖгифгефпипд. Зе * ітаІЬг0фс.

Keqelbetri. Kopf» unb ЖаЬеІгефпеп. фаиЗііфе Arbeiten. 4 St. фегг Kolberg. — 3. ՑօքՓ!Փէօ U. (Seograpbie. Mittlere ©еі’фіфіе in ¿ufammenbdngenbcr Grjäßlung bis auf Sito L, m ®¡ogra-.

»bieen btS ¿um Gnbe beS PdttelalterS. — SBieberboIung ber Oceanographic. Sübcuropa. Frantreid).

ՏօսէքՓէօոհ. 4 St. llnfangs фегг Dr. guuge unb фегг ЖгапЬепЬигд, bann фегг Oefh-еіф. — 4. 9taturgefd)id)te. ®>e Sögel. 2 St. ^err æranbenburg.

7*

Sejte.

Stbinanirê £err Sberie^rer Dr. Ջ e n b e r.

A. Sprachen: L Seutfdj. Sntnnďelung ber ŽRebetíjetle. Seflamiren unb Sefen. ՏՓրճքհ Ііфе Hebungen. 3 St. Serr Sranbenburg. — 2. Satein. regelmäßige gormlehw na * ՏՓ»^՛

Ueberfeben епІ(ргефепЬег Seifpiele au§ .£>őgg. Sebe ЗВофе 3 fdjriftlicfye Arbeiten. 9 St. ^err 38 en ber.

B. SSiffenfdjaften: 1. reltgionêleljre. ¿Bibíifdje ©еГфіфІе паф Äabatb. Äatecbcfen über einzelne ®laubené>= unb Sittenlepren. 2 St. фегг SBten. ֊ gíír bie eoangel.Spüler: ®е[фіфіе ЬеЗ lí. Ճ. паф ^օհէրոսքՓ, pon 1—56. Sm .КаГефіётиё bie 10 ®ebote unb ben Schluß gelernt, nebfl ben nötigen Sprűdjen unb Sieberoerfen. фегг Pfarrer Siebie. — 2. Г e ф n e n. Ste 4 Spe^ieS in ganzen unb gebrochenen Bahlen. ՏՓրէքէմՓօ Hebungen. 4 St. ^err SBeierfiraß. — 3. ®е(фіфге и.

®eograpbie. ®a§ ЗВіф(ід(іе auê ber alten ®е[фіфіе. ®еодгарІрТфе SSorbegriffe unb Sceano«

graphie. 3 St. фегг 3Branbenburg. — 4. Г а!игде[фіфГе. І(п| * фаиипдеп, патепіііф ber ГііНдгаіфіеге. 2 St. феп ЗЗгапЬ enburg.

C. $ertt<țf citen: 1. Sdjőnfd)reiben. Sn ¡Guaría 1, in Guinta 3, in Serta 4 Sr. ֊jõerr Seid)entehret ^opffner, fpater bie Herren SSenber, guuge, SSranbenburg. — Ճ. S.eidjnen.

Sn Guaría, Guinta unb Serta je 2 St. Anfangs ^err .Șopffner, fpater фегг Seminaríebrer S ab г inn a. — 3. Singen. Sn Sefunba, Serbia, Guaría, Guinta unb einer Selecta au§ allen

■Klaffen je 1 St. фегг Seminaríebrer, SSt И) elm. — 4. turnen. Hebungen ber Sdjüíer jeben 9Jîitt=

rood) unb Sonnabenb von 5 —7 Ubr in șroei Tlbtbeilungen unter Leitung be§ феггп ©pmnaftallebrerë Dr. guuge unb banfenb anerkannter, tbätiger SRitroirkung be§ феггп Gberlebrerë Kolberg.

н. Șomere ăSerfitguuițetL

1. $etfűgung beS Äó'ntgí. sptovinßaU<^ulfollegiumS vom 12. Dftober 1852, гооЬигф bie ©nfűíjtung beS ßid)i)ornfd)en Obligions гфопЬЬифЗ genehmigt roitb.

2. sßom 27. giovbt. pr., ГооЬигф mitgetßeilt rottb, baß „baS bloße 5&г&іф(еп auf eine roiffenfd)afttid)c 8aufbaf)n eine iDiSpenfajion von bet Sljeilrtafyme am gtied)ifd)cn Untctricbt nicßt begrünben fann." 3m 2(11=

gemeinen iß eS ljietnad) Ьигф * xJeßfßuß beg £eßter=ÄollegiumS alS®tunbfațș beim piefigen Spmnafium aufgeßellt rootben, baß 9iiemanb, roeber auf ben bloßen ՅՑսոքՓ bet Eltern, поф tvcgen mangeln ben Talentes, поф in ՑէճճքէՓէ auf itgenb eine beftimmte 23erufSart vom Sties фіГфеп biSpenfirt roetben foil, roenn піф( e tro a ein anbetet nbtfyigenber @tunb i)in;utritt.

3. sßom 4. f%at; с. 91аф einem ncuctbingS roiebetfjolten Oteffripie <St. ©rjcllenj beS феггп SWinißcrS bet @еі|і1іфсп unb 11піеггіфі8;2fngelegenț)eiten, Jbertn ^reiljett v. Oè au m et, folien biejenigen 2(bituticntcn, госіфе bei bet (фгі^ііфеп ober тііпЬІіфеп Prüfung ben 9$օրքսՓ bet ՋօսքՓսոց тафеп, иппафц'фгііф bis

;ит паф(1еп ÿrüfungStermin jurucfgefefșt roetben. Z)aS Ofeffript iß ben bieSjà'ljrigen Tibiturienten vor ber Prüfung befonni детафі.

4. 23om 19. SDíai c. SRittfyeilung, baß beim ^togpmnaftum $u Otößel bie Sefunba beftnitiv еіпдегіфіеі

iß, fo baß am ®Փ1սքքօ beS <£фи1]а^г8 eine SntlaffungS = Prüfung mit bet ЗЗегефіідиид fűt ben Eintritt in

bie fprima eines vollßâ'nbigen Spmnaftums unter bem SJorfițșe beS ß)tovinßal=<Scßuitatl)S ßattfmben roirb.