Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (pochodne cząstkowe drugiego rzędu,
dwukrotna różniczkowalnośc funkcji)
1 Przydatne definicje i pojęcia
Definicja 1.1.
Niech dana będzie funkcjaf : D ⊂Rn→ R, punkt a ∈ IntD oraz indeksy i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Za- łóżmy, że pochodna cząstkowa fi istnieje w pwenym otoczeniu punktu a. Jeślei istnieje pochodna funkcji fi w punkcie a względem j-tej zmiennej, to nazywamy ją pochodną cząstkową dru- giego rzędu funkcji f w punkcie a względem i-tej i j-tej zmiennej (albo współrzędnej) i oznaczamy ją symbolem fij(a).
Inne oznaczenia, to
fxixj(a), fxixj(a), Dxixjf(a) albo ∂2f
∂xi∂xj(a) czyli
fxixj(a) = (fxi)xj(a) albo ∂2f
∂xi∂xj(a) =
∂
∂xj
∂f
∂xi
(a) Gdy i = j będziemy pisać zazwyczaj ∂∂x2f2
i(a).
Definicja 1.2.
Niech dana będzie funkcja f : D ⊂Rn→ R oraz indeksy i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Funkcję x → fij(x)
określoną w zbiorze tych punktów x ∈ D, dla których fij(x) istnieje, nazywamy pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji f względem i-tej i j-tej zmiennej (albo współrzęd- nej).
Gdyi = j pochodną taką nazywamy pochodną mieszaną.
Definicja 1.3.
Niech dana będzie funkcja f : D ⊂ Rn → R, punkt a ∈ IntD. Powiemy, że funkcja f jest dwuktrotnie różniczkowalna w punkcie a, jeśli
1) funkcja f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu a;
2) wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f są różniczkowalna w punkcie a.
Twierdzenie 1.1.
Jeśli funkcja f : D →R jest dwukrotnie rózniczkowalna w punkcie a, to posiada w tym punkcie wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu.
Strona 23
Jest to warunek konieczny dwukrotnej różniczkowalności funkcjif w punkcie a.
Uwaga 1. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcjif w punkcie a można zapisać w postaci macierzy, zwanej macierzą Hessego.
Definicja 1.4.
Funkcja f : D → R jest dwukrotnie różniczkowalna, jeżeli jest dwukrotnie rózniczkowalna w każdym punkcie zbioru D.
Bez zmian można przenieść wszystkie twierdzenia dotyczące działań arytmetycznych na funk- cjach dwukrotnie różniczkowalnych.
Twierdzenie 1.2. Twierdzenie Schwarza
Niechf : D →Rbędzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w punkciea. Wówczas fij(a) = fji(a) dla dowolnych i, j ∈ {1, . . . , n}.
Oznacza to, że macierz Hessego tej funkcji w punkcie a jest symetryczna.
Warunek podany w tym twierdzeniu jest również warunkiem koniecznym dwukrotnej różnicz- kowalności funkcji w punkcie a.
Definicja 1.5.
Funkcja f : D → R, gdzie D ⊂ Rn jest zbiorem otwartym, jest klasy C2 jeśli jest dwukrotnie różniczkowalna i wszystkie jej pochodne cząstkowe drugiego rzędu soą ciągłe.
Twierdzenie 1.3.
Funckja f : D → R jest klasy C2 wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej pochodne cząstkowe drugiego rzędu istnieją i są ciągłe.
2 Zadania
1. Niech f(x, y) = xexy2 dla (x, y) ∈ R2. Wykazać, że f jest dwukrotnie różniczkowalna oraz znaleźć D2f(1, 1).
2. Niech f :R2 →R, f(x, y) =
xyxx22−y+y22, (x, y) = Θ,
0, (x, y) = Θ. Wykazać, że istnieja f 1,2 (Θ) i f2,1 (Θ), ale sa różne.
3. Obliczyć pochodne czastkowe drugiego rz edu dla funkcji: (i)f(x) = esinx2, (ii) f(x, y) = ln(sin(x + y)),
określonych na pewnym podzbiorze U ⊂R2. Podać macierz Hessego.
4. Zbadać, czy funkcja f :R2(Rk)→R określona równaniem (i)f(x) = x ,
(ii) f(x) = x, x, , − iloczyn skalarny w Rk, (iii) f(x, y) =|xy|,
Strona 24
(iv) f(x, y, z) =√
x4+y4+z4
jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie Θ.
5. Zbadać dwukrotną różniczkowalność funkcji f :R2 →Rw punkcie (0, 0) (i)f(x, y) =
x3+y3
x2+y2, (x, y) = Θ,
0, (x, y) = Θ, (ii) f(x, y) =
x·y2
x2+y2, (x, y) = Θ, 0, (x, y) = Θ, (iii) f(x, y) =
x3+y6
x2+y4, (x, y) = Θ,
0, (x, y) = Θ, (iv) f(x, y) =
xysinx2+y1 2, (x, y) = Θ, 0, (x, y) = Θ.
(v) f(x, y) =
x3y2
x2+y2 dla x2 +y2> 0,
0 dla x2 +y2 = 0, (vi) f(x, y) =
x2y2
x2+y2 dla x2 +y2> 0, 0 dla x2 +y2= 0, (vii) f(x, y) =
x2y3
x4+y4 dla x2+y2 > 0,
0 dla x2+y2 = 0, (viii) f(x, y) =
x + y + x4x+y3y2 dla x2+y2 > 0, 0 dla x2+y2 = 0,
(ix) f(x, y) =
(xy)α
x2+y2 dla x2+y2 > 0,
0 dla x2 +y2= 0. (rozważyć sytuacje w zależności od parametru α). 6. Niech funkcja z : U ⊂R2 →R lub z : U ⊂R3 →R. Pokazać, że z spełnia warunek (∗), jeśli:
(i)z(x, y) = x3+xy2− 5xy3+y5, (∗) ∂x∂y∂2z = ∂y∂x∂2z , (ii) z(x, y) = ex(xcosy − ycosy), (∗) ∂x∂2z2 +∂∂y2z2 = 0, (iii) z(x, y) = ln√ 1
x2+y2, (∗) ∂x∂2z2 + ∂∂y2z2 = 0, (iv) z(x, y, u) = √ 1
x2+y2+u2, (∗) ∂∂x2z2 +∂∂y2z2 + ∂∂u2z2 = 0, (v) z(x, y, u) =√
x2+y2+u2, (∗) ∂∂x2z2 + ∂∂y2z2 +∂u∂2z2 = 2z, (vi) z(x, y) = y2−ay2x2, (∗) ∂x∂2z2 =a2 ∂∂y2z2,
(vii) z(x, y) = x3+axy2, (∗) ∂x∂2z2 +∂∂y2z2 = 0, (dobrać stala a). 7. Obliczyć nastepuj ace wyrażenia:
(i) ∆u = uxx+uyy+uzz, dla u : U ⊂R3 →R określonej wzorem u(x, y, z) = (x,y,z)1 , (ii) ∆u = ki=1uxixi, dla u :Rk→R określonej wzorem u(x1, . . . , xk) =x2−k. 8. Czym bedzie macierz drugiej pochodnej dla funkcji f : Rk →R, k 2.
Strona 25
