Der Stahlbau : Beilage zur Zeitschrift die Bautechnik, Jg. 12, Heft 10

DER STAHLBAU

Fernsprecher: Darmstadt 7 7 1 1 , Apparat 599

Professor W. R e i n , Breslau, Technische H ochschule. — Fernsprecher: Breslau 421 61 V eröffentlich un gsbeiträge an voranstehend e A nschriften erbeten

B e i l a g e T ^ T T h ' V I A T T H T 1 h C * T - J N I T I S Fachschriit für das §e- z u r Z e i t s c h r i f t \

J

P . l / i

Preis d es Jahrganges 10 RM und P ostgeld

12. Jahrgang BERLIN, 12. Mai 1939 Heft 10

Al le R e c h t e V o r be h al te n .

H ebelarm a + f ^1

¥

Fläche jy3 hat auf J S keinen Einfluß.

(4) J e =

E J 25 h2 + 8 a 2

Beitrag zur Verformungstheorie unter Verwendung von Einflußlinien

V on Oberreichsbahnrat ®r.=3ng. K rab b e, M ünchen.

I. G r u n d le g e n d e B e tr a c h tu n g e n ü b e r d en E in flu ß d e r V e r fo r m u n g . Es ist bekannt, daß bei sehr schlanken Stahlkonstruktionen, schlanken B ogen- oder H ängebrücken, die durch die je w e ilig e B elastu n g hervor­

geru fen en V erform ungen d e s Tragw erkes nicht vern ach lässigt w erd en dürfen, w en n man d ie Beanspruchung gen au erm itteln w ill. Es wird hiervon b eson d ers bei H ängebrücken Gebrauch gem acht, da hier die V erform ung d ie größten B eanspruchungen im a llg em ein en g ü n stig b eein flu ß t;

bei B ogenbrücken tritt jedoch das G eg en teil ein.

Zur Erklärung d e s V organ ges b ed ien en wir uns d es einfachsten B e is p iele s dieser Art, d es in Bild 1 d argestellten G algens, durch ein e Last P beansprucht. Er entspricht der H älfte ein es nur durch ein e Horizontalkraft H beanspruchten Z w eigelen k rah m en s. S e in e Berechnung,

e in g esetz t wurde. D ie V eränderung der

24(24 h + 1 n ) 8 h 8 , D ab ei ist die F läche fy3 m it ihrem H ebelarm

» 2 a

* — h ' "

3 x 2 1 x a

2 ~ " ~ä2 2 * a ‘ 5

und die F läche fr, m it ihrem H ebelarm h 8 ein g esetzt; bei B e ­

tt

D ie V ersch ieb un g der F läche y . rechnung von e war deren H ebelarm = 0.

hat auf J e k einen Einfluß.

d. h. d ie Erm ittlung sein er Beanspruchung und V er ­ formung, erfolgt nach der üblichen Theorie unter der A n nah m e, daß se in e M om entenfläche d ie schraffierte Fläche sei; d ie lotrechte V ersch ieb u n g d es A ngriffs­

punktes von P ist dann:

L

E J oder

(1) D ie von

P a 2 3 E J w aagerechte P ist:

; (3 h + a).

V ersch ieb u n g d e s A ngriffspunktes

(2)

P a h - P a h 2 : 2 E J

1

E J ^oder Jj-Pah

d i-Pa2

4 -

K£-H S h

t ¡

L_

L - P f a te) — !

(Statisches M om en t der M om en tenfläche, b ezo g en auf d ie lotrech te bzw . w aagerech te A chse durch d en A n­

griffspunkt v o n P.) Bild 1 z eig t aber, daß bei picht zu v ern a ch lä ssig en d er V erform ung d ie M om en tenfläche d e s lotrechten P fo sten s nur am oberen E nde die O rdinate P a hat, am unteren E nde d a g eg en P ( a + f) ,

und daß sie, der V erb iegu n g d e s P fosten s ent­

sprechend, parabelförm ig verläuft. V erd opp eln wir die B elastung, so ist das M om en t am unteren E nde unter V ern ach lässigu n g klein er E inflüsse höherer O rdnung 2 P (a + 2 *); es ist also m e h r als dop pelt s o g r o ß als unter der Last P. E s b e s t e h t a l s o , g e n a u g e n o m m e n , z w i s c h e n B e l a s t u n g u n d B e a n s p r u c h u n g k e i n e V e r h ä l t n i s g l e i c h h e i t . Wir seh en auch, daß d ie nach Gl. (1) und (2) b erech n eten W erte 8 und f zu k lein b erech n et sind, denn der gen a u en B erechnung m üßte d ie (vor A u s­

führung der ersten Rechnung jedoch unbekannte) punktiert a n g ed eu tete M om en ten fläch e d e s P fo sten s zugrunde g e le g t w erd en , w as also nur sch rittw eise g e sc h e h e n könnte. D as E rgebnis ist dann im m er noch nicht gen au , denn es w ürden sich nun statt der W erte 8 und e die W erte 8 + J 8 und e ' + J e ergeben, die w iederum das E inspannm om ent und d ie Ver­

sch ieb u n g en vergrößern w ürden; das e n d g ü ltig e Ergebnis ist dann also ein e un en d lich e, allerdings stark k o n vergieren de R eihe.

Wir w o llen d ie se V erh ältn isse an d iesem einfachen B eisp iel ein ­ g e h e n d e r verfolgen . N ach A usführung der ersten R echnung, d ie das M om en t P a und G l.( l) und (2) ergab, g e sta ltet sich nun die M om en ten- b ela stu n g nach Bild 2. Nach den dort ein getragen en Maßen ergibt sich nun nach A usführung ein iger einfacher Integrationen:

(3) J 8 = g j ■ j g (2 0 « t + 8 e2).

nur d ie V ergrößerung d e s H eb el­

ein g esetzt, während d ie F läche fj. mit ihrem ganzen

Bild 1.

H -Pfate)- Bild 2.

S etz en wir nun aus Gl. (1) und (2) d ie W erte für 8 und f. ein mit P

E J ' P_

: E J ' a-

"3 a h 2

(3 h + a)

so erhalten wir:

(5) J S (6) J .

!-* ■ (ê>

41

4- 15

ah*

a

h

\ E J )

> a* h

“72 1 3 ‘

• a : P V z J )

a

h*

a* h

a)(:

p_

E J . S etzen w ir noch

(5a ) J 8 = - ~ - (6a) J e =

a = « h, so

5 2 4 "

m

■ + ist:

2 15 '

5 v4 _ 7__

72 [EJj

-(« 3 4-

“M

D ab ei ist für arm es um

E J 1 5' die M om en tenfläche fyt

x

ferner: a,‘

3~(3 - f «) h 3 F o rm :

Danach ergeben sich

3 . L . e — a . h 2 • ^ ■ ■

E J ’ 2 E J

die G esam tw erte der V ersch ieb u ngen in der

Für das E inspannm om ent ergibt sich daraus (8a) M ' = P ( e - \ - J e) = P P

01. (5) bis (8a) g e lte n

a.h + b x h 3

nun natürlich für je d e

E J + .b n h l

( 0+‘'4,(0

b e lie b ig e Last P . p

Wir seh en also, daß d ie D u rchbiegungen nicht nur von sondern auch von den höheren

entsprechend auch P

_ , und d essen höheren E J

E J '

P oten zen d ie se s W ertes abh ängig sind, und dem - d ie M om en te nicht nur von P , sondern auch von

P oten zen abh ängig sind. W ürden wir w eiter P

entw ickeln , so w ürden natürlich noch h öh ere P oten zen von ersch einen;

h J

es ist das aber nicht erforderlich. D ie G leich u n gen g e lte n auch dann, w en n d ie Last P nach oben gerichtet, a lso negativ ist. Dann ist in 01. (7) und (8) das erste G lied n egativ, das z w e ite p ositiv und das dritte negativ; in Gl. (8a) ist dann das erste und dritte G lied negativ, das z w e ite und vierte positiv. Wir w o llen d ie A u sw irku ng d ie ser A b­

h än gigk eiten an ein em Z ah len b eisp iel prüfen.

Wir w äh len ein en schlank au sg eb ild ctc n G algen aus zw ei I P 22, St 52, h = 10 m, a = 5 m. B elastu n g 4 t (Bild 3).

i , = 9,37; /. = 2 - 1000

9,37 = 212; < » = 1 5 ,9 4 . Dann ist nach der üblichen R echnung

Af = 4 • 500 = 2000 tcm 2 000 000 4000 • 15,94

2 • 732 Es ist nun

P E J =

&

■ p \ 3

2 - 9 1 ,2

4 2 - 2 1 0 0 -

1,39 -1 0 "

8 0 5 0 '

(0

\ E J )

Dam it wird m it «

1366 + 348 ‘ f ---

= 1714 kg/cm 2. St 52

1 , 1 8 - 1 0 - 7 | > - f - 1S2,2cm2 -J= 16100 cm¥

-PI- imcrnO

"P-U

= 7 1 0 s - 1,18- 10 24

1 4

^ = 4

H - - 7 .

: 34,4 cm

2IP21

Bild 3.

‘ . ioM-

1015- 1 ,3 9 -1 0 ,21 1 ,6 4 -1 0 - 2 1

= 2,32 + 0,05 = 2,37 cm J e — 0,016 ■ 1015- 1 ,39- 10^{, - 1 4} 0,049 - IO21- 1,6 4 -1 0, - 2 1

H ätten wir d ie G lied er m it vern achlässigt, so w ürde sich er-

der in Frage kom m end en B ela stu n g verform te S y stem zugrund e leg e n ; das heißt für je d e Kraftgröße, die wir erm itteln w o llen , g ib t es nicht ein e, sondern für jed en B elastungsfall ein e Einflußlinie, d ie allerdings ein e E influßlinie im üb lichen S in n e nicht m ehr ist. S ie gibt aber bei der zugrund e g e le g te n G esam tb elastu n g den Einfluß jed er E inzellast dieser G esam tb elastu n g richtig an.

II. V e r w e n d b a r k e it v o n E in flu ß lin ie n . 1. A l l g e m e i n e G ü l t i g k e i t d e r E i n f l u ß l i n i e n .

Wir betrachten als ein fach stes und ü b ersich tlichstes, praktisch in Frage k om m en d es S y stem ein en ziem lich schlank ged achten Z w e ig elen k ­ bogen m it festen K äm pfergelenken (Bild 4a), d essen E influß linie für das M om ent in m wir nach dem F orm änderungsgrößenverfahren (nicht zu verw ech seln m it der hier b eh an d elten V erform ungstheoric) erm itteln w o lle n 1).

= 0,22 — 0,08 = 0,14 cm AF = 4 (500 + 29,5 - f 0,14) = 2119 tcm.

D ie Z unahm e d es M om en tes von 2000 auf 2123 tcm beträgt also 6% - P \3

, E J ) g e b e n haben:

J S — 2,32 cm J e = 0,22 cm

AF = 4 (500 + 29,5 + 0,22) = 2119 fern.

Wir seh en also, daß d ie se G lieder schon von gan z u n w esen tlich em Einfluß sind und daß d ie E ntw icklu ng k e in esfa lls w eiterg etrieb en zu w erd en braucht. Es hat also keinen Z w eck , die R eih en en tw ick lu n g w eiter zu verfolgen . Es z eig t sich aber, daß der unter Z u gru n d elegu n g d es unverform ten S y stem s erm ittelte W ert S um 6 ° /0 und e um 0 ,5 °/0 zu klein waren. Wir erm itteln also zunächst das M om ent und d ie Durch­

b ieg u n g en in der üblichen W eise, erm itteln dann die zusätzlichen Durch­

b ieg u n g en auf Grund der M on ien ten b elastu n g d es v erb o g en en Tragw erkes;

d iese D u rchb iegun gen betrachten w ir also e n d g ü ltig und le g e n sie der en d gü ltigen M om en tenerm ittlun g zugrunde. Es ist grundsätzlich g le ic h ­ gü ltig, ob ein statisch b estim m tes S y stem w ie in d iesem B eisp iel, oder ein statisch u n b estim m tes S y stem , v orliegt. D ie B erü ck sich tigu ng der Verform ung kann sich, je nach der A nordnung d es S y stem s, in gü n stigem oder in u n gün stigem Sin ne ausw irken. B ei Balkenbrücken hat sie keinen n en n en sw erten Einfluß, beim B ogen m it Z ugband oder dem L angerschen Balken so w ie bei der in sich selb st verankerten H ängebrücke, w ie wir se h e n w erd en, auch nicht; d iese S y stem e g eh ö ren also in d iesem Sin ne auch zu den Balkenbrücken.

Da V erh ältn isgleich h eit zw isch en B elastu n g ein erseits und B e­

anspruchung und V erform ung andererseits nicht b esteh t, nim m t man a ll­

g em ein an, daß zur B erücksichtigung der V erform ung Einflußlinien un-

Wir knicken den B ogen in m um den D reh w in k el „E ins“, wodurch der A uflagerpunkt A nach A g ela n g t; den gek nick ten B ogen drehen wir (ohne A rbeitsaufw and) um B, bis A nach A ” g elan gt. Um d ie g estö rte A u flagerb ed in gu n g bei A w ied erh erzu stellen , v ersch ieb en w ir nun unter der A n w en d u n g ein er Kraft H A" nach A unter A u fw en d u n g der A rbeit H y . D ie dadurch en tstan d en e B ieg e lin ie d e s B o g en s ist die_y-fache //-L in ie d es B ogen s, denn die //-L in ie ist erklärt als d ie B ie g e lin ie d es B ogen s, w e lch e durch w aagerech te V ersch ieb u n g von A um den W ert „E ins“

en tsteh t (Bild 4b). Da aber der B ogen in m den Knick „E in s“ hatte, b ehält d ie se B ieg e lin ie natürlich d en selb en b ei, wodurch a nach a ’ g e ­ langt. Z ieh en w ir nun a '— b, so ist a'— m — b, oder darunter als a — m — b g e ze ic h n et (Bild 4 c ), d ie durch den Knick „E ins“ in m ver­

ursachte B ie g e lin ie d es B ogen s, also d ie E influßlinie für das M om en t in m.

S ie ist in Bild 4 a nochm als in ihrer L age zum B ogen selb st g ezeich n et.

Der B e w e is kann in fo lg en d er W eise geführt w erd en . Durch ein un bekan ntes, in m a u fgew an d tes M om ent (Bild 4 a), d essen Größe hier oh n e B ela n g ist, ist dort der D rehw ink el „E in s“ erzeu gt w orden. Das w irkliche, im B ogen durch die Lasten P ,, P.,, P 3 in m erzeu g te M om ent se i Afm. Es steh t im statischen G leich g ew ic h t m it den Kräften P ,, P 2, P 3 und den Auflagerkräften in A und B, w e lch e in d essen w e g en der festen A uflager k ein e Arbeit verrichten. D enk en wir uns nun das M om en t Ai„(

in dem vorübergeh en d g e le n k ig g ed a ch ten Punkt m als äußere Kraft an­

greifen d, w o durch d ie künstliche V erform ung der D rehw ink el „E ins“ er­

zeu g t w urde, so ist an dem B ogen d ie v irtu elle Arbeit der äußeren Kräfte M m • 1 g e le is te t w orden, w ob ei durch d ie einfache und d op p elte Ü b erstreichun g g e k en n zeic h n et w erd en so ll, daß Kraftgrößen und V er­

schiebun gsgrößen nicht zu sam m en geh ören ; im B ogen ist also d ie innere B

v irtu elle A rbeit j f ) l d en tstan d en , w o b ei 3)1 d ie durch das am G elen k A

in m an greifen d e M om en t M m im B ogen erzeu gten M om en te 0 b ed eu tet;

■) V gl. K r a b b e , A llg em e in e, unm ittelbare D arstellu n g von Einfluß­

lin ien durch B ieg elin ien nach dem Verform ungsverfahren. Stahlbau 1933, H eft 2.

Jah rg an g 12 Heft 10

12. Mal 1939 K r a b b e , Beitrag zur Verformungstheorie unte r V erw endung von Einflußlinien 7 9

dO' aber die der V erd rehu ng „E ins“ in m entsp rech en den, kontinuierlichen W inkeländerungen innerhalb d e s B ogens. D ie w irkliche Größe der M om en te 93t und der W inkeländerungen interessiert uns jedoch nicht.

D ie innere v irtu elle Arbeit ist also B

3 ( . =

fmW$==Mm-T.

A

Da nun M m, P v P 2, P a (und d ie Auflagerkräfte A und B) ein im G leich g ew ich t ste h e n d es K räftesystem , der D rehw inkel „E ins“ m it den V ersch ieb u n gen <5), <J2, 3S ein m öglich es V ersch ieb u n gssystem darstellen, ist nach dem Prinzip der v irtu ellen V ersch ieb ungen

(9) 2 P T = S C i = M m - T

Gl. (9) sagt aber a u s, daß die durch den Knick „E ins“ in m erzeu gte B ieg e lin ie d es B ogen s d ie E influß linie für das M om ent M m ist.

D ieser B e w e is g ilt gan z a llg em ein , w o b ei natürlich d ie A nw endbarkeit d es Prinzips der v irtu ellen V ersch ieb ungen voraussetzt, daß der Knick „E ins“

in W irklichkeit unendlich klein im V erhältnis zu den A b m essu n gen des S y stem s ist, und er ist auch hier kinem atisch als solcher b eh an d elt w orden, denn in Gl. (9) g eb e n d ie V ersch ieb un gsw erte iS und 1 die durch den D reh w ink el „E ins“ verursachten Verform ungen d es S y stem s an oh n e Z usam m en han g m it irgen d w elch en B elastu n gen ; d ieser Verform ung zu u nterziehen ist natürlich d asjen ige S y stem , w e lc h es der Verform ung durch d ie je w e ils darauf w irkenden Kräfte entspricht. S ie g ilt also, streng g en o m m en , nur für d ie System form , d ie durch d ie äußere B elastu n g ent­

standen ist. D ie A n w en d u n g von Einflußlinien b leib t also auch b ei der B erücksichtigung der V erform ung einw andfrei.

2. A l l g e m e i n e B e t r a c h t u n g e n ü b e r d e n E i n f l u ß d e r V e r f o r m u n g b e i v e r s c h i e d e n e n B r ü c k e n s y s t e m e n m i t t e l s d e r e n E i n f l u ß ­

l i n i e n .

Um den Einfluß der System verform un g b esser zu erkennen, denken wir uns nun (Bild 5) die für M m g e w o n n en e E influßlinie in der üblichen W eise durch Ü berlagerun g der M m 0 -L in ie und der H y m-L in ie entstanden, und den B ogen auf der p ositiven B eitragstrecke für M m b elastet. Da­

durch verform t er sich etw a in der in Bild 5 a punktiert dargestellten W eise; da die W erte _y links kleiner, rechts aber größer w erden, w erden auch die durch ein e w aagerech te Kraft H — l erzeu gten M om en te links kleiner, rechts größer und d ie H y m - Linie wird w e g en Verringerung des W ertes y m im gan zen etw as klein ere Ordinaten, links aber w e g en der a llg em ein verringerten W erte y w esen tlich kleinere Ordinaten erhalten als d ie ursprüngliche t i y m - L inie; sie ist in Bild 5 b punktiert ein­

getragen . D ie positiven größten M om ente w erden also größer als ohn e B erücksichtigung der V erform ung; für d ie n egativen größten M om en te ist Bild 5 oh n e B elan g, da der B elastungsfall dafür unzutreffend ist. Der hierfür zutreffende B elastu n gs- und V erform ungsfall ist in Bild 6 dar­

g e ste llt. D ie H y m - L inie wird w e g en d es vergrößerten y m im ganzen etw as größere O rdinaten, links erheblich größere und rechts w eg en en t­

g e g e n g e s e tz te r W irkung der hier verk leinerten _y-W erte und d e s ver­

größerten W ertes y m w e n ig verän derte O rdinaten erhalten. An dem größten n egativen M om ent M verändert sicli also nur w en ig ; im a ll­

g em ein en wird es w e n ig größer w erden w ie das o h n e B erücksichtigung der V erform ung errechnete. B e im Z w e i g c i e n k b o g e n w i r k t s i c h d i e B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r V e r f o r m u n g a l s o d u r c h w e g u n g ü n s t i g a u s . D i e G r ö ß e v o n H b e i v o l l e r B e l a s t u n g w ir d d u r c h , d i e B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r V e r f o r m u n g k a u m m e r k l i c h b e e i n f l u ß t .

Beim statisch bestim m ten D reig elen k b o g en g estatten die Einflußlinien b eson d ers klaren Einblick in d ie E inflüsse der V erform ung. U nter dem Einfluß der für die p o sitiv e B eitragstrecke m aßgebenden B elastu n g q (Bild 7a ) verform t sich der B ogen, w ie punktiert dargestellt, das S c h e ite l­

g elen k rückt etw as nach rechts; die H y m -L in ie nim m t d ie in Bild 7 b punktiert d a rg e stellte g estrich elte Form an; ihre O rdinaten w erden w eg en der V erringerung von y m durchschnittlich etw as klein er und der p o sitiv e Teil der Einflußfläche wird, ähnlich w ie beim Z w eig elcn k b o g en , ver­

größert.

Bei B elastu n g der für den n eg a tiv en Teil m aß geb en d en Streck e (Bild 8a) rückt das S ch e itelg ele n k etw as nach links; w e g en der V er­

größerung der W erte y m w erd en d ie Ordinaten der H y m -Unie., in Bild 6 b punktiert dargestellt, im D urchschnitt etw as größer; der n eg a tiv e Teil der Einflußfläche verändert sich w e n ig und vergrößert sich im a llg e m ein en um ein en klein en Beitrag. D e r E i n f l u ß d e r V e r f o r m u n g m a c h t s i c h a l s o b e i m D r e i g e l e n k b o g e n in g a n z d e m Z w e i g e l e n k ­ b o g e n e n t s p r e c h e n d e r W e i s e , d u r c h w e g u n g ü n s t i g , b e m e r k b a r . W esentlich anders lie g en d ie V erh ältn isse beim Z w eig elen k b o g en oder D reigelen k b ogen m it Zugband (Bild 9;. U nter dem Einfluß der B elastu n g der p ositiven B eitragstrecke für M m verform en sich B ogen und Zugband in der punktiert d argestellten W eise. W eder y m noch die übrigen O rdi­

naten y ändern, a b g e seh en von der gerin gfü gigen Längenänderung der Z ugstangen, ihre G röße, und d ie 7 7 ^ - L i n i e ändert sich nicht m erklich;

für den Langerschen Balken lieg en d ie V erh ältn isse eb en so , w oraus zu schließ en ist: B e im Z w e i g e l e n k b o g e n m it Z u g b a n d h a t d i e V e r ­ f o r m u n g a u f d i e B e a n s p r u c h u n g e n d e s B o g e n s k e i n e n n e n n e n s ­ w e r t e n E i n f l u ß . D a s s e l b e g i l t fü r d e n L a n g e r s c h e n B a l k e n . Schließ lich so llen die E inflüsse der V erform ung bei dem für die Praxis w ich tigsten Fall der H ängebrücke untersucht w erden (Bild 10).

U nter dem Einfluß der B elastu n g der positiven B eitragstrecke für Mm verform en sich Balken und Kabel in der punktiert d ärgestellten W eise,

^ v e r g r ö ß e r t sich; d ie Ordinaten der T / ^ - L i n i e w erden im Durchschnitt größer; vergrößern sich w eiterhin links und verk leinern sich rechts(B ild 10b).

D ie p o sitiv e Beitragfläche wird in w e it stärkerem M aße kleiner, als sie beim B ogen größer wurde, w as sich aus ihrer a llg e m ein en Form ergibt.

max7Wm wird unter dem Einfluß der V erform ung w esen tlich kleiner.

U n ter dem Einfluß der B elastu n g d es n egativen T e ile s der B eitrag­

strecke von M m n ehm en Kabel und Balken d ie .in Bild 11a punktiert dar­

g e s te llte Form an. y m und dam it der durchschnittliche W ert der Ordi­

naten der H y m-L in ie verk leinert sich. Im übrigen verkleinern sich die O rdinaten links und vergrößern sich rechts; also links w e se n tlich e V er­

kleinerung, rechts k ein e w ese n tlich e Ä nderung; aber d ie n eg a tiv e Beitrag­

strecke wird kleiner; im gan zen also g erin g e V erk leineru n g der n egativen

a,

\ . H M

11

4 t \ 11

. — ---

Qt - Linie a.)\

11 --- - _ J

H 45? £ &z -Linie

t ) Bild 14.

Fläche. D as g esa m te E ndergebnis ist also: B ei der H ängebrücke verk leinert sich m a x M m w ese n tlich ; m in M m verk leinert sich (absolut gen om m en ) auch etw as. B e i d e r H ä n g e b r ü c k e w i r k t s i c h d e r E i n f l u ß d e r V e r f o r m u n g im a l l g e m e i n e n g ü n s t i g a u s .

Ist jedoch, a b w eich en d von Bild 10, das Kabel im V ersteifungsträger verankert, so wird d ieser durch ein e w aagerech te Druckkraft H beansprucht;

V ersteifun gsträger und Kabel b ie g e n sich, a b g eseh en von der Längen­

änderung der H än gestan gen, um d ieselb en M aße S durch, und einer Ver­

größerung der durch den K abelzug verursachten n egativen M om en te um H ä entsprech en hin zu k om m en d e, g le ic h e p o sitiv e M om en te H S. D ie / /- L i n i e bzw . d ie //_ym -L in ie ändert sich also in fo lg e der Verform ung nicht. Daraus folgt: B e i in s i c h v e r a n k e r t e n H ä n g e b r ü c k e n h a t d i e V e r f o r m u n g k e i n e n E i n f l u ß a u f d i e B e a n s p r u c h u n g , ab­

g e se h e n von dem g erin gen Einfluß der Längenänderung der H ängestangen, der üb rigens m ax M m vergrößert.

Auf m ehrfach statisch u n b estim m te Form en der B ogen- und H ä n g e­

brücken soll hier nicht näher ein g eg a n g en w erden. D ie V erh ältn isse ändern sich dab ei, da auch hier ste ts der Einfluß von H ausschlag­

g eb en d ist, nicht grundsätzlich.

G ew äh lt w u rd e b ei der Betrachtung du rchw eg das M om ent etw a im V iertelp u n k t der Brücke, w o d ie M om en te am größten zu w erd en p flegen ; die Wahl ein es anderen P unk tes, etw a in der M itte der Brücke, würde d ie hier gek en n zeich n eten V erh ältn isse d e s E in flu sses der V erform ung nicht w esen tlich ändern.

3. D i e p r a k t i s c h e A n w e n d b a r k e i t d e r E i n f l u ß l i n i e n . D ie Betrachtung der a llg em ein en Form der E influßlinie g ib t uns also ein ü b ersich tlich es Merkmal für den Einfluß der V erform ung b ei den versch ied en en Brückenform en für d ie Beanspruchung. Es b leib t nun die Frage zu beantw orten, ob Einflußlinien auch b ei B erü ck sich tigu ng des E in flu sses der V erform ung m it V orteil v e rw en d et w erd en können. H aupt­

sächlich p flegt man von dem Einfluß der V erform ung auf d ie B eanspruchung b ei größeren H ängebrücken G ebrauch zu m achen, b ei d en en unter B e­

rücksichtigung der V erform ung d ie größten positiven M om en te d es V er­

steifungsträgers zum Teil erheblich k lein er w erd en , w ährend sich der Einfluß auf die größten n egativen M om en te zwar im a llg em ein en auch gü n stig, jedoch w en ig er auswirkt. Es soll also hier das B eispiel der H ängebrücke betrachtet w erd en . Es fragt sich allerdings, ob nicht bei großen, schlanken Z w eig elen k b o g en oder ein gesp an n ten B ogen, bei w elch en d ie V erform ung d ie größten M om en te in un gün stigem Sin n e b eein flu ßt, auch d ie B erü ck sichtigung der Verform ung g eb o ten erscheint.

D as ein zu sch la g en d e V erfahren ist jed och grundsätzlich d a sselb e w ie bei H ängebrücken, so daß es hierfür später nur e in es kurzen H in w eises bedarf.

Wir betrachten ein e einfach e H ängebrücke, etw a w ie in Bild 10 dar­

g e s te llt (Bild 12 a). N ach der üblichen B erech n u n g sw eise w ürde die E influß linie für das M om ent M 4 d e s B alkens die in Bild 12b d argestellte, durch Ü b erlagerun g der/T f4„ -L in ie und der H y A -L in ie en tstan d en e Form haben, w ährend b ei B erücksichtigung der durch d ie B elastu n g hervor­

geru fen en V erform ung d ie E influßlinie, entstan den durch Ü berlagerung der unverändert b leib en d en Af40-L inie m it d e r / / ' ( y 4 + ä4)-L in ie, w esen tlich anders sein würde, w ie in Bild 12 b punktiert d argestellt. N un treten aber z w e i S ch w ierig k eiten auf, näm lich:

1. D ie B ela stu n g ssch eid e hat sich w ese n tlich nach links versch oben, so daß nun nicht m ehr d ie B elastun g Q, sondern Q ’ m aßgebend ist.

2. A uch w enn man d ie n e u e B ela stu n g ssch eid e zuvor richtig ab­

schätzen könnte, so w äre doch d ie unter der B ela stu n g Q' unter Zu­

Bild 13.

gru n d eleg u n g d es ursprünglichen S y stem s erm ittelte D u rchbiegun g und dam it d ie n eu e H' ( y 4 + A'4) - Linie nicht richtig, und zwar aus d em selb e n Grunde, aus dem an dem in A bschnitt I b eh an d elten G algen die unter Z ugru n d elegu n g d es ursprünglichen S y stem s er­

m ittelten V ersch ieb ungen 8 und e.

nicht richtig waren, sondern um 4 bis 6 % zu klein. Der F eh ler würde sich aber bei der H ängebrücke w esen tlich einflußreicher bem erkbar m achen als bei dem G algen, da hier nicht das M om en t H y i entsprechend dem M om en t P a beim G algen, sondern d ie D ifferenz Ai4 0 — H y 4 maß­

g eb e n d ist; w e il aber ferner das M om ent H y 4 allein den Träger w eit über d7uX beanspruchen w ürde, w ährend im F alle d e s G algen s dieser W ert natürlich ein g eh a lte n w erd en m ußte. Hierauf beruht der w e se n tlich e Einfluß der V erform ung b ei schlanken B ogen- und H ängebrücken, bedin gt durch d ie charakteristische Form der E influßlinie, b eson d ers ihrer positiven B eitragstrecke. Wir m üßten also nachträglich durch e in e ähn liche R eihen­

entw icklung, w ie sie an dem einfachen B eisp iel d es G a lg en s durchgeführt w urde, berichtigen . H ier w e ise n aber d ie E igen schaften der E influßlinie ein en w e sen tlich einfacheren W eg, der noch dazu den V orzug hat, das E rgebnis nicht auf dem A n n äh erun gsw ege, sondern unm ittelbar streng gen a u zu liefern und g le ic h z eitig auch d ie richtige B elastu n gssch eid e.

Bei großen Brücken, w ie sie hier in Frage kom m en, wird man ohnehin zw eck m äß ig die E in zellasten durch ein e g leich m äß ig über d ie m aß geb en d e B elastungsstrecke v erteilte Last Q ersetzen , w as zunächst angenom m en w erd en soll. In w elch er W eise auch m it E in zellasten gere ch n et w erden kann, soll später g e z e ig t w erd en . Wir erm itteln nacheinander d ie B ieg e ­ linien, w e lch e bei B elastu n g der ein zeln en P unk te 1 b is 13 m it der ihnen zu fallend en T eilb ela stu n g von Q en tsteh en , d ie w ir m it Q v Q.,, . . . Q i3 b ezeich n en w o llen (Bild 13). D ie O rdinaten b ezeich n en wir

b ei B elastu n g in Punkt 1: ,, S2 l 2: <S'12, r5'2 o

» .. » 1 3 ; ¿ 1 13> ^ 2 13 ■ • • ^ 13 12

(Für d ie B elastu n g in Punkt 3 ln Bild 14a dargestellt.) D abei ist natürlich stets 8ik — Sk i auf Grund d e s M a x w ellsch en S atzes und bei S ym m etrie d es S y ste m s auch <5), = <?13, 3 ; ^ 4 = dt, 4 , 3 usw. Ferner b estim m en wir d i e / / - L i n i e d es unverform ten S y stem s, d ie //„ - L in ie . Sodann b estim m en wir nacheinander ein zeln d ie //- L in ie n d e s durch je ein e E in zellast Q u Q2 . . . Q l3 v erb o g en en S y stem s (für Last QB in Bild 14b dargestellt), d ie wir m it H x- bis / / 1;J - Linie b ezeich n en w o llen . D ab ei ist zu beachten, daß sich außer den _y-Werten auch die W erte 8a a ändern, w e lch e wir zur B estim m u n g der ein zeln en //- L in ie n gebrauchen und die bekanntlich von den Quadraten der veränderten y'-W erte abh ängig sind. Wir haben also b ei dem vo rlie g en d en S y stem , S ym m etrie v o rau sgesetzt, sieb en B ie g e ­ lin ien nach Bild 13 und sie b en //- L in ie n nach Bild 14 zu erm itteln; das sind aber a lle B ieg elin ien , d ie wir zur B eh an d lun g d e s ganzen S y stem s ben ötigen . B em erkt sei dab ei, daß die B ieg elin ien und //- L in ie n nach Bild 13 u. 14 natürlich nicht stren g richtig sind, da sie unter Z ugrunde­

leg u n g d e s unverform ten S y stem s erm ittelt w urden; w ir w erden aber seh en , daß wir sie o h n e g le ic h z eitig e ein w and freie B erichtigung auch nicht ver­

w en d en w erden.

Wir w o llen die E influß linie für den p ositiven B elastu ngsb ereich d es M om en ts M i (Bild 15a) erm itteln. Wir zeich n en nun zunächst durch Ü b erdeck un g der „ -L in ie und der f i 0y 4-L in ie d ie E influßlinie, g ü ltig für das unverform te S ystem . Es ist für ihre G estalt und A b m essu n gen gänzlich gleich g ü ltig , ob wir sie in d ieser W eise oder nach dem unter Ziffer 1 d argelegten kin em atischen Verfahren erm ittelt hab en; wir stellen sie hier aber in der a n g eg eb en en W eise dar, um der G leich u n g entsprechend

M 4 — M 4 „ / /0V4

d en von der V erform ung un abhängigen Teil der E influß linie M 40 von dem durch d ie V erform ung allein beein flu ß ten T eil f i 0 y 4 g etren n t zu erhalten. S ie ist nach den Erläuterungen 7.11 Gl. (9) d ie v ö llig ein w an d­

freie E influß linie unter der V oraussetzu ng, daß das ursprüngliche System 8,.

Jah rg an g 12 Heft 10

12. Mal 1939 K r a b b e , Beitrag zur Verformtingstheorie unter V erw endung von Einflußlinien 8 1

der V erform ung durch d ie Last P d ie unterste Zugfaser verlängert und

Vio — -"711 zu vervielfältigen .

ln gan z e n tsp re ch en d e rW e ise bilden wir d ie W erte ,«2i' ."31 • • • /V i (hier können w ir aufhören, da ja d ie Einflußfläche für m ax M 4 k ein esfalls über den Punkt 7, d ie L asten sch eid e d es ursprünglichen S y stem s, reichen wird). A llg em ein w erd en dann d ie Ordinaten r der neuen , richtigen oberen B egrenzun g der M t -F lä c h e dadurch erhalten, daß w ir zu den Ordinaten der / /0_y4-L in ie die O rdinaten der mit

H0}p-oL 1 1 | H,

m L 1

(U2tJ)L

d. h. die von der 1-Linie aus aufzutragenden Ordinaten der

\H, {}’, + ^2) — T /oJ'J-F läch e = m üssen mit

(u 2) Linie

dam it d ie S tü tzw eite um z/Z vergrößert, und die O rdinate unter P ist

—— ^LL ; das M om ent also P • -- • B elasten wir m it 2 P , so ist

4 4

L 4- J l

d ie V erlän gerun g 2 J L und das M om en t 2 P - , also m ehr als 4

dop pelt so groß. D erartige w in zig e E inflüsse lassen wir aber, als praktisch gänzlich b elan glos, unberücksichtigt.) Nun b ela sten wir m it Q v W ollen wir nun unter Z u gru n d elegu n g d e s unverform ten S y stem s d ie durch Q x b ed in g te V erform ung b estim m en , so erhalten w ir als n eu e obere Begrenzung der Einflußfläche d ie H l ( y t + i4l )-L in ie , die in Punkt 1 ein e um z/i?lt größere Ordinate hätte w ie d ie /V0 jz4 - Linie (dabei soll der erste Z eiger 1 von z /1? den Ort, der z w e ite Z eiger 1 die Ursache, näm lich d ie benu tzte / /,- L i n i e andeuten), Bild 15b. D ie Ml ( y4 + <?n)-Linie ist dort punktiert d argestellt. D ie zw ischen ihr und H0y t ein g esch lo ssen e Fläche ist also die [Hl ( y t - f <541) — /70_y4]-F lä c h e. D ie Z u grun delegu n g d e s unverformten S y stem s für d ie se Erm ittlung ist aber nicht richtig; die richtige obere B egren zu n g lieg t also anders und m ö g e durch d ie Ordinate j?u g e g e b en sein. Dann ist aber der Einfluß von auf das M om ent H y im Ver­

hältnis 1 göß er als im unverform ten S y stem ; also muß auch die

*?i 0

unter Z u gru n delegu n g d e s unverform ten S y stem s erm ittelte zusätzliche Ordinate z / ^ u in d em selb en V erh ältnis größer w erd en, w enn wir die

__________ _ Bild 16a u. b.

2) D as ist die Su m m e der un en dlich en , kon vergenten g eom etrisch en R eihe J rjn 1 + — —1 + ( — j deren H erleitun g

V,o \ V10 ! \ 7io /

im A bschnitt 111 in anderer Form w ied erg eg eb en wird.

nicht verformt, also auch nicht b ela ste t ist; sie ist also ein e „E influß linie“, d ie stren g gen om m en nicht g e e ig n e t ist, den Einfluß irgend einer B elastung auf das M om ent Af4 richtig anzugeben. (D a sselb e ist, ganz stren g g e ­ nom m en, m it w en ig en A usnahm en b ei den Einflußlinien aller S y stem e, se lb st d en en d e s einfachen Balkens, der Fall. B elasten w ir (Bild 16) ein en einfachen Balken, hier der Einfachheit halber in der M itte, m it P , so ist nach üblichen A nnahm en d ie E influßlinie für das M om ent das d argestellte D reieck m it der Ordinate 1/4 unter P . In W irklichkeit hat sich aber unter

unbekannte, aber richtige Verform ung zugrund e leg en . Es muß also sein : h r - h o _ V i i o d e r b l u — V io ) _ _ 0 ? n b - i0) + V io

V

Vio V

w oraus sich ergibt:

V ” / V I I " 1 0 / 1 1 /■

Vl 0 Vl 1

d. b. die Ordinate der [H l ( y i + rl'41) — 7/0_y4]-F lä c h e im Punkt 1, w elch e wir m it H ¡in b ezeich n eten , ist m it dem B eiw ert

_ / 1 r { k - 1)

f r A fr(A— 1) f r A ‘ ~ I T W o

, ,rn fr (ft — 1)

( 16) f‘r k ~ „

f r0 fr A

und dam it a llg em ein d ie R egel:

Um die H y -L in ie für das durch Q v Q 2 . . . Q k b e la ste te und ver­

form te S y stem zu finden, trägt man von der H y -L in ie für das durch Q ,, (?2 . •■ < ?*_] b e la ste te und verform te S y stem aus die Ordinaten Hrjt k der lWA (j/4 + i JA) — H 0y 4\-F lä c h e auf, w e lch e m it den B eiw erten

= f r (ft — 1)___

“ r k f r . “ ^ f r A

zu v ervielfach en sind. D ab ei b ed eu tet: vr ( k - \ ) d*e r-O rd in a te der //_ y -F lä c h e in dem durch Q it Q 2 . . . Q k_ i verform ten S y stem , ^ 'die r-O rd in a te der //^ /-F lä c h e d e s ursprünglichen S y stem s, Hr]r k d ie Ordinate der \H k (_y4 + <54A.)— H 0y t \ - Fläche. Gl. 10 u. 11 sind darin natürlich m it ein begriffen , nur daß hier d ie A u sgan gsfläch e m it den O rdinaten

m it der /7 j /- F lä c h e d e s ursprünglichen S y ste m s zusam m enfällt, also m it k = 1 W(A - 1) = f r 0 wird.

ln d ieser W eise erm itteln w ir (Bild 15a) nun nacheinander d ie O-Linie, die 1 - Linie, d ie ( 1 + 2 ) - Linie bis zur ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 )-L in ie. Hier zeig t sich, daß d ie nächste Last Q a außerhalb d e s p ositiven E influß bereiches lie g e n würde, das Verfahren also m it der Last Q b abzu sch ließ en ist. Wir haben dann d ie richtige Einflußfläche für das M om ent max/W4 unter Z u gru n d elegu n g d e s durch d ie Lasten Q t b is Q s b ela steten und verform ten S y stem s. S ie g ilt nur für d ie se B elastung, also d ie g e sa m te für max/W4 in Frage kom m en d e B elastung, und g ib t dab ei den Einfluß jed er ein zeln en der Lasten bis Q 5 auf das M om en t A14 richtig an.

Wir haben nun also nicht ein e, sondern ein e g a n ze Anzahl von E influßflächen für max/W4 erhalten, näm lich die durch d ie O -Linie b e ­ gren zte F läche und ferner d ie durch d ie 1 - Linie, d ie ( l + 2 ) - L i n i e , d ie ( 1 + 2 3 ) - Linie, d ie ( 1 + 2 + 3 + 4 ) - Linie und sch ließ lich d ie durch die (1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) - Linie b eg ren zte Fläche.

A lle d ie se Flächen sind E influßflächen für max/Vf., d es vo rlieg en d en S y stem s, sie entsprechen nur versch ied en en V erform un gszuständen, näm lich nacheinander: der Verform ung N u ll, der V erform ung durch d ie Last Q t , der V erform ung durch d ie Lasten QL -1- Q2 usw ., die letzte der V erform ung durch d ie Lasten C^ + CL + Q t + Q i + C V A lle d ie se Einflußflächen könnten wir schließ lich, w en n wir U n g en a u ig k eiten in Kauf n eh m en w o llten , in üb licher W eise als E influßflächen b en u tzen ; die sc h le ch teste davon, näm lich für k ein e B elastu n g gen au richtig, w äre d ie ursprüngliche Einfluß­

fläche, die sich nach und nach verb essert. Streng richtig ist d ie 1 -L in ie nur für den B elastungszu stan d Q ,; d ie ( 1 + 2 ) - Linie für d en B ela stu n g s­

zustand Q, ■ Qj und schließlich die ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 )-L in ie für den B elastungszu stan d C^ + Q , . . . + (?5, w o b ei jed er Last ihr gan z bestim m ter Ort und ihre ganz b estim m te Größe zu g e w ie sen ist. U n ter d iesen V oraus­

setzu n g en gib t d ie se Einflußfläche jedoch d en Einfluß jed er ein zeln en der fünf Lasten auf das M om en t M 4 richtig an. Nur der letztere B ela stu n g s­

zustand ist für uns von B elan g, w eil er die u n gün stigste B elastu n g für d a s p o sitiv e M om ent M 4 darstellt, d. h. den stren g richtigen W ert max AL ergibt. Für d iesen Wert ist also die durch d ie (1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) - Linie b egren zte Einflußfläche d ie .e c h te E influß fläche“.

Schließ lich k ön nte man das V erfahren folgen derm aß en ändern: U nter der V orau ssetzu ng, daß e s vorher m öglich ist, auf Grund von Erfahrungen d ie richtige B elastu n gssch eid e, also d ie für die max/Vf4 richtige B elastung, ein igerm aß en abzusch ätzen, w ü rde man zunächst in üblicher W eise die durch d ie N u llin ie b eg ren zte Einflußfläche erm itteln. Dann erm ittelt man d ie unter dem Einfluß der abgeschätzten B elastu n g en tstan d en e B ieg e lin ie d e s S y stem s, w oraus sich zunächst der W ert d\ ergeb en würde. Dann erm ittelt man d ie d ieser V erform ung d e s S y stem s entsp rech en d e //- L in ie , die als / / ’-L in ie b e zeich n et w erd en soll. Daraus b ild et man die H' (,y4 + S4)-L in ie und w eiter d ie [W (.k4 + <?4) — H 0y 4\ - F läch e m it den Ordinaten J >;r . Sind nun die Ordinaten der / / 0,y 4-F lä ch e und die O rdinaten der richtigen H _y4-F lä c h e d ie noch unbekannten W erte y r , so ergibt sich, gan z entsp rechen d der Gl. (10):

(10a) ,lr — fj = -J >lr • — •

‘r4 ‘r

D ie se W erte sind zusätzlich von der N u llin ie aus aufzutragen, und es ergibt sich, u n terV orau ssetzu ng richtiger vorheriger A bschätzung der m aßgebend en

B elastu n g, d ie ech te Einflußfläche für max Ai4. Bild 17a bis c u. e.

Zu beachten ist das V orzeich en von H r j r k . Wir haben es hier, w ie e s b ei der H ängebrücke im a llg e m ein en der Fall sein wird, du rchw eg als p ositiv an gen om m en , und d ie W erte nach Gl. (16) w erd en dam it stets größer als 1, d ie O rdinaten der H y - L inie n eh m en m it jeder neu auf­

gebrach ten Last Q zu, und zwar fortschreitend stark zu, also in diver­

gieren d er R eihe. Tritt aber der Fall ein, daß W erte J ijr k negativ w erd en , d. h., w enn d ie H k (jy4 + r)‘4ft)-L in ie ganz oder te ilw e is e über der H0y 4- Linie lieg t, w as b eson d ers dann Vorkommen wird, w enn 8i k n eg a tiv ist, so n ehm en die O rdinaten der //y - F I ä c h e ab und der W ert /¡r k wird klein er als 1, und zwar m it jed er n euen Last sch n eller abneh m en d.

Wir könnten das Verfahren gem äß Bild 15a natürlich über d ie n eu e L asten sch eid e S s hinaus fortsetzen, w en n wir den Einfluß der Verform ung für das v o llb ela ste te, also etw a m it dem E ig en g ew ich t b e la ste te S ystem erm itteln w o llen . Wir w ürden dann riickschreitende V e rleg u n g der H y - Linie beob ach ten , indem Lasten auf der rechten S e ite d e s S y stem s im a ll­

g em ein en n eg a tiv e d + W cr te , dam it auch « -W e r te < 1 erhalten. Wir m üßten dann andere Lasten Q, dem E ig en g ew ich t entsprechend, einführen und dem en tsp rech en d d ie in Bild 13 u. 14 an g ed eu teten B ieg e ­ lin ien, den veränderten Lasten Q entsprechend, neu berechn en , w o b ei sich d ie //- L in ie n nicht verh ältn isgleich ändern. Der hier a n g c d c u te te G ang d e s w eiteren V erfahrens aber z eig t schon, daß der Einfluß der V erform ung durch das E ig en g ew ich t nicht erh eb lich sein wird.

W ollen wir den Einfluß der V erform ung für min /Vf4 erm itteln, so g e sc h ieh t das in d erselb en W eise w ie d ie E rm ittlung von m ax Af4, nur rechts b egin n en d und nach der M itte bis zur neu en B ela stu n g ssch eid e fortschreitend. Wir w ürden dann zunächst n eg a tiv e W erte für ¿\ erhalten, d em entsp rech en d «-W erte klein er als 1 und lan gsam e V erk leineru n g der für min m aß geb en d en Einflußfläche, jedoch ist dann der Einfluß w esen tich gerin ger w ie für m ax/W 4; im m erhin z eig t sich aber, daß auch auf min Ai4 d ie B erü ck sich tigu ng der V erform ung im a llg e m ein en einen gü n stigen Einfluß ausü b en wird, w o b ei auch auf d ie a llg em ein en B e­

trachtungen unter Ziffer 2 v e r w ie se n sei.

Es soll nun noch kurz auf d ie B eh and lu n g w eitgesp an n ter, schlank au sg eb ild ete r Bogenbrücken ein g eg a n g en w erd en (Bild 17a). D ie B iege-

/ IrJ

[ q (y„ fläche

Bild 17 d.

Jah rg an g 12 Heft 10

12. Mai 1939 K r a b b e , Beitrag zur V erform un gsth eorie unter V erw en d u n g von E influßlinien 8 3

linien für Q v Q 2 usw . w erd en ähnlich den jen igen d es B ild es 13 ausfallen (Bild 17c), die 77,-, H 2- usw. Linien (Bild 1 5 d) d agegen in en tg eg en g esetzter W eise aussch lagen , w ie bei der H ängbrücke.

Wir b ilden w ied er d ie ursprünglichen Einflußlinien (Bild 17 b) in g ew o h n ter W eise.

B ei B ela stu n g m it Q t m üssen w ir n u n a b e r d ie T /jQ /.,— <?41)-L in ie bilden, d ie also flacher ausfallen wird w ie d ie H 0y t - Linie, und d ie Ordinaten der [//j (j/4 — S4, ) — 770 y 4]-F lä c h e w erd en im allg em ein en n egativ aus­

fallen und e b en so d iejen ig en der später zu b ilden d en [Hk ( y 4 — ¿4*) — Flächen (Bild 1 7 e). Wir w ollen ann eh m en , daß d ie O -Linie und die 1 -L in ie bereits g efu n d en se ien und wir die (1 + 2)-L in ie nach A uf­

bringen der Last Q., suchen. Dann tragen wir von der 1-L in ie aus den in d iesem F alle negativen Wert J q also nach oben auf und erhalten nach Gl. (14) in den O rdinaten r:

W, J Vr, ’

w o b ei ¿1 iiro, w ie schon erwähnt, n egativ ist, also absolu t gen om m en zu tj zu add ieren ist. D ie W erte sind also im a llg em ein en k lein er als 1 und neh m en m it jed er neu h in zu kom m enden Last sch n eller ab. D ie H y - Linie rückt also ste ts nach oben, aber m it zu n ehm en d er B elastu n g in kon vergieren der R eihe.

D as Verfahren setzen w ir nach Bild 17 b so lange fort, bis wir eine (1 + 2 + 3 + . . . 7 )-L in ie erhalten, w e lc h e d ie Last k aber noch nicht in den positiven Bereich ein sch ließ t (im Bild hier die Last 8 angenom m en).

Dann ist m it der ( 1 + 2 + 3 + . . . k — 1 )-L inie, in unserem Fall mit der (1 + 2 + 3 + . . . 7 ) - Linie das Verfahren abzusch ließen. Wir seh en , daß hier m it jeder neu en Last, jedoch in k onvergenter R eihe, d ie positive Einflußfläche größer wird, also um gekehrt w ie bei der H ängebrücke.

Im m erhin z eig t der G ang d e s Verfahrens, daß hier erheb liche Erhöhung von m ax Ai, durch d ie V erform ung ein treten kann. A llerdings muß dabei berücksichtigt w erden , daß bei H ängebrücken, auch ab g eseh en von der d iv erg ieren d en E ntw icklung der //-W e r te , der Einfluß größer ist w ie bei der B ogenbrücke, da d ie se aus Flußstahl, das Kabel der H ängebrücke d a g eg en aus sehr hoch beanspruchtem B austoff b este h t, der sogar, so w eit V crschlußkabel v erw en d et w erden, ein en erh eb lich k lein eren E lastizitäts­

m odul hat w ie der Baustahl der B ogenbrücke. Immerhin scheint bei w eitgesp an n ten Bogenbrücken in d ieser H in sich t V orsicht geb oten .

H and elt es sich um die po sitiv e Einflußfläche für ein en in der N ähe der M itte g e le g e n e n Punkt, etw a 6 (Bild 18), d essen M om en teneinfluß­

fläche im ursprünglichen S y stem durch die a u sg ez o g e n e Linie g e g eb en ist und d essen en d g ü ltig e Einflußfläche etw a die Form der durch die punktierte 77-L in ie ab gegren zten Fläche annimm t, so beginn t man zw eck ­ m äßig m it der Last und fügt ab w ech seln d nach beid en S e iten hin nacheinander die Lasten Q e, Q s usw . zu; für die b eiden getrennt lie g e n d e n n eg a tiv en Beitragstrecken müßte man getrenn t von beid en

E nden d e s Trägers ausgeh en . ,

W ill man auch d ie V erlän gerun g der H ängestangen berücksichtigen, so m uß das bei E rm ittlung der B iegelin ien und 77-L inien g esc h eh en . Auf d ie hier b esch rieb en en Verfahren hat das w eiter keinen Einfluß. Zu beachten ist aber, daß d ie W erte ä, d ie in d ieser A b han dlun g gebraucht w erd en , sich ste ts auf den B ogen oder das Kabel, also bei B erücksichtigung der V erform ung der H än gestan gen sich nicht auf d ie Fahrbahn b e zieh en .

B ei m ehrfach statisch un bestim m ten S y stem en ändern sich die dar­

g e le g te n V erh ältn isse und das dem nach an zu w en d en d e Verfahren grund­

sätzlich nicht. Es sei d ie s noch kurz an dem B eispiel der dreifach statisch un bestim m ten H ängebrücke (Bild 19a) erläutert. D ie Einflußlinie für das M om en t Af0 d e s V ersteifungsträgers, ein es B alkens auf vier Stü tzen, ändert sich durch d ie V erform ung nicht; dadurch wird auch hier nur d ie Form der y fa c h e n 77-L inie b eein flu ßt. D eren V eränderung unter der für d ie p ositiven Beitragsstrecken m aßgebend en B elastu n g ist in Bild 19 punktiert an ged eu tet. D ie positiven Beitragsstrecken sow ohl zw isch en B C als auch zw isch en C D w erd en kleiner, unter U m ständen erheblich. D er w en ig er w ich tige Einfluß auf das größte n egative M om ent kann hier unerörtert b leib en .

S ieh t man sich g en ö tig t, anstatt mit ein er g leich m äß ig verteilten Ersatzlast m it E in zellasten zu rechnen, so kann man das Verfahren auch a n w en d en . Man wird dann im m er den L astenzug so au fstellen können, daß se in e S te llu n g auch in fo lg e Ä n deru ng der Einflußfläche und der L asten sch eid e nicht geän d ert zu w er­

den braucht. Dann v e rte ile man d ie

E in zellasten nach dem H e b elg e setz auf d ie ein zeln en Q uerträgeranschluß­

punkte. Wir haben dann für die ein zeln en Lastpunkte nicht m it g le ic h ­ b leib en d en Lasten <?,, Q 2 usw. zu rechnen, sondern m it Lasten P v P , usw. von versch ied en er Größe. Das erschw ert das Verfahren nur insofern, als nun d ie 77-L inien nach Bild 14 für versch ied en große Lasten erm ittelt w erden m ü ssen , w as zeitraubend i s t / d a V erh ä ltn isg leich h eit für ver­

sch ied en große Lasten nicht besteh t. Bei B erechnung der i- W e r t e nach Bild 13 herrscht jedoch V erh ältn isgleich h eit (vgl. jedoch hierzu A bschnitt III).

III. S c h lu ß b e tr a c h tu n g e n .

D as W esen tlich e d e s in A bschnitt II dargelegten V erfahrens beruht darauf, daß die E influß linien uns d ie M öglichkeiten g eb en , d ie Einfluß­

flächen für ein unter irgend einer B elastu n g verform tes S ystem ohne um ständliche R eih en en tw ick lu n g oder Annäherungsverfahren gen au zu erm itteln unter g leich zeitig er F estle g u n g der richtigen B elastu n gssch eid e.

Hierauf soll zum Schluß noch etw as näher ein g eg a n g en w erden , w ob ei sich auch noch erw eiterte A n w en d u n gsm ü glichk eiten ergeb en w erd en.

Wir m üssen uns dab ei vergegen w ärtigen , d a ß d i e in u n s e r e n A b l e i t u n g e n b e n u t z t e n T 7 _ y -L in ien B i e g e l i n i e n s i n d , näm lich entstan den durch die B elastu n g d e s S y stem s, etw a d e s Z w eig elen k b o g en s, m it 7 7 = 1 , wodurch die M om en tenb elastu n g 1 y r und die dadurch b ed in g te B ieg elin ie en tsteh t, deren O rdinaten aber durch S a a = S y r 2 J s zu d ividieren sind. Der B erech nu ng d ieser B ieg elin ien muß aber die durch die B ieg elin ie selb st g e g e b e n e S y stem verform un g zugrunde g e le g t w erden. U n sere O rdinaten ^ , — ?/,„ (Gl. 10) oder a llg em ein er W, — sind nlln die Ordinaten der [77,(_y4 + d4, ) — H 0y t \ - Linie. 770_y4 ist von keiner B elastung abhängig, 77, (y 4 + d'41) jedoch in d op p elter W eise von der B elastu n g <?,; näm lich zunächst sind die Ordinaten der 77,-L in ie unter zugrunde lieg en d er Veränderung der System ordinaten von y r zu y r + är erm ittelt, w ob ei <l'r von (J, linear abhängig ist. Offenbar ist also jed e O rdinate r der 7 7 ,-L in ie ein e Funktion von von der Form

at

+

D er Wert y t + d'41 ist auch ein e Funktion von Q t in der Form e, + c2 Q t . D am it ergeben sich d ie Ordinaten der 77, (_y4 — d4,)-L in le in der Form:

_ _«1 T «2

+ «3 <? 12

' V | Ä § + ß 2 Q i + ßa Q i

2

Da nun d ie von Q x abh ängigen Sum m anden verh ältn ism äßig sehr klein sind, kann man auch schreiben

1 oder

v r Dam it wird

(17) H r,

- («, + «2 <?, + «3 (?,=) ( l - &• Q , h

7 , + k2 Q t

*3

2 +

3

•v) + 72 Qi + k 3 Q ,2 • + Q i 4

0 (£>,)•

i ten

. : ~ v

oder, allgem ein gesch rieb en , (18)

¿1 t]r^ ist also ein e Funktion 4 len oder bei W eiterentw icklun g der R eihe (17) n tcn G rades von C?,, w e lc h e von den V eränderungen aller übrigen O rdinaten ¿1 ijit beeinflu ßt ist.

Der Erm ittlung von J q nach Gl. (17) wurde aber d ie Verform ung d e s ursprünglichen S y stem s durch (?, zugrunde g e le g t, w o b ei d ie O rdinaten

/ z/ vr

+ 1 +

und d ie V ergrößerung der O rdinaten (19)

e n tsteh en , 7jr in der Form

G en auer gen o m m en hätten aber nicht die O rdinaten rj ,

sondern entsp rech en d der g ew o n n en en B ieg elin ie gründe g e le g t w erden m üssen, und es ergibt sich

+

(20) _{Vr, ~ Vr .} 1 + J Vr

Dann en tsteh en aber die Ordinaten

= ¿1 7

- 7 V r

1 + -

(19a) _Vr„

+ J Vr, = W „ + J Vr +

J r j

Bild 18.