Der Stahlbau : Beilage zur Zeitschrift die Bautechnik, Jg. 5, Heft 6

(1)

DER STAHLBAU

S c h r i f t l e i t u n g : 3)r.=3ng. A. H e r t w i g , G e h . R egie rungsr at, Pr ofess or an d e r Tec hnis chen H o c h s c h u le Berlin, B e r li n - C h a rl o t te n b u r g 2, T ech n is ch e H ochsc hule

F e r n s p r e c h e r : C I S te in p la tz 0011

Prof ess or W. R e i n , Bre sl au, Tec hnis ch e H o ch sch u le. — F e rn s p r e c h e r : B re slau 421 61

B e i l a g e T ^ V T J T T ) A T T T T T ^ T T I V T T X f Fachschrift für das z u r Z e i t s c h r i f t 1 ^ / J l J l L J D / j l L J 1 J l j L 1 \ 1 I V

s a m te B a u in g e n ie u r w e s e n

P re is d e s J a h r g a n g e s 10 R M u n d P o s tg e l d

5. Jah rg an g B E R L IN , 18. M ärz 1932 H eft 6

A

G eh e im ra t A. H e r tw ig 60 Jahre alt.

m 20. d. Mts. v o l le n d e t H e r r G e h . R e g ie r u n g s r a t, P rofe ss or Sr.=3ng . cljv. A. H e r t w i g , in v o l le r Sc haffensk raft d as 60. L eb e n s jah r.

B ereits im A lter von 30 J a h r e n b e g a n n e r se in e a k a d e m is c h e L aufbahn als ord. Pr ofess or an d e r T ech n is ch en H o c h sc h u le A achen u n d w u r d e als e in e r d e r h e r v o rr a g e n d s te n S c h ü le r M ü l l e r - B r e s l a u s Im J a h r e 1924 an die T ec h n is ch e H o c h s c h u le Berlin als d e s s e n w ü r d i g e r N a ch fo lg e r beru fe n . S eine n u n m e h r 30 jä hrige T ätig k eit als L eh re r u n d F o r s c h e r ist g e k e n n z e i c h n e t d u rch ein e g roße Zahl w ic h tig e r A b h a n d l u n g e n aus se in em Lehr, g e b ie t. M it v o rb ild lich er H i n g a b e u n d T r e u e p fl eg t er a u ch in W o rt u n d Schrift da s A n d e n k e n an u n s e r e A ltm e is te r S c h w e d l e r u n d M ü l l e r - B r e s l a u u n d w i d m e t d e r E r z ie h u n g u n d S t e ll u n g d es I n g e n ie u r s im öffentlichen L eb e n b e s o n d e r e A u f m e rk s a m k e it. Als Leiter d e r V e rsu c h sa n stalt für Sta tik d e r B a u k o n s t r u k ti o n e n s e h e n wir ihn auf d e m G e b i e t e d e r e x p e r i m e n t e l l e n F o r s c h u n g B e d e u t s a m e s leisten u n d mit s einen n e u e s te n A rb e ite n ü b e r d y n a m i s c h e B o d e n u n te r s u c h u n g e n ein b e s o n d e rs wic hti ges P r o b l e m verfo lgen. S e it 1926 M itg li ed der A k a d e m i e d e s B a u w e s e n s u n d se it 1927 M itg lie d des A u s s c h u s s e s für V e rs u c h e im S t a h lb a u n i m m t e r auch an d e n A rb e ite n d ie s e r K örpersc haften h e r v o r r a g e n d e n u n d r e g en Anteil.

S e in em stille n u n d u n e r m ü d l i c h e n W irk e n ist nicht zum k lein ste n Teil a uch d e r Z u s a m m e n s c h l u ß d e r F a c h v e r e in c zu d e r D e u ts c h e n G e se lls ch a ft für B a u w e s e n zu d a n k e n . S e in e b e s o n d e r e S o rg e gilt fe rn er d e m F a chzeit schrifte ntum . Er ist M i t h e r a u s g e b e r v e r s c h i e d e n e r O r g a n e u n d h a t sich i n s b e s o n d e r e u m die E n tw ic k lu n g d e s „ S t a h l b a u “ g r o ß e V e r d ie n s te e rw o rb en . A u s g e s ta t te t m it h e r v o r r a g e n d e n G e is te s g a b e n , erfreut er sich in F a c h k reis e n b e s o n d e rs d u rc h se ine zu m Z u g e d e r h eu tig e n Zeit in w o h l t u e n d e m G e g e n s a t z s t e h e n d e B e s c h e id e n h e it u n g e w ö h n l ic h e r W ertsc h ätz u n g . D aß sich d e r Sechzigjährige noc h recht lan g e k ö rp erlicher u n d g e is ti g e r R ü stig k eit erfreu en darf u n d die k o m m e n d e n J a h r e für ihn w e ite rh in reich an w iss en s ch a ftl ich e n Erfolgen u n d an A n e r k e n n u n g sein m ö g en , ist d e r von H e r z e n k o m m e n d e W u n sc h s e in e r z ah lreic h en F r e u n d e , S c h ü ler und

V e reh re r. Prof. R e i n .

B e r e c h n u n g e in e s ta n g en tia l und ela stisch g e s t ü t z t e n g e s c h l o s s e n e n S ta b r in g e s .

Al le Re ch te Vo rb e ha lt e n. V o n P a u l

1. A l l g e m e i n e s .

Die B e r e c h n u n g von G a s b e h ä l t e r f ü h r u n g s g e r ü s t e n , K ü h l l ü r m c n und äh n lic h en B a u w e rk e n , di e a u s po ly g o n al a n g e o r d n e te n W ä n d e n u n d ein em o b e r e n b ie g u n g s f e s te n A us st eifu ngsr ing b e s t e h e n , läßt sich auf die Be

r e c h n u n g e in e s tan g e n tia l u n d ela stisch g e s tü tz te n S ta b r in g e s zu rü ck fü hren. Ist die An zahl d e r S e ite n n, so ist da s S y s te m rt-fach statisch u n b e s t im m t.

U m d ie W eitlä u fig k e it d e r g e n a u e n B e r e c h n u n g so lc h er S y s te m e zu v e r m e i d e n , w u r d e b ish er z ur V e rein fa ch u n g d e r R e c h n u n g vielfach a n g e n o m m e n , d a ß di e Steifigkeit d e s A u s s teifu n g s rin g e s im V e rh ältn is zur N ach g ie b ig k e it d e r S e i te n w ä n d e so g ro ß ist, d a ß er bei d e r B e la stu n g s e in e F orm nicht ä n d e r t ( J = cc) u n d na ch d e n von M ü l l e r - B r e s l a u in d e r Zeitsch rift für B a u w e s e n , Ja h rg . 1892, a b g e l e i t e t e n F o rm e ln g e r e c h n e t 1) (vgl. auch H ü tte, Bd. III, 25. Aull., S. 85). Auch von A n d r c d 2) w ird b e i d e r B e r e c h n u n g d e r K ü h l t ü r m e d ies e v e r e i n f a c h e n d e A n n a h m e g e m a ch t.

Da d i e s e a n g e n ü h e r te B e r e c h n u n g zu E rg eb n is s en fü h ren k a n n , die v o n d e n R e su lta ten d e r g e n a u e n R ech n u n g b e d e u t e n d a b w c i c h c n , w e r d e n n ach fo lg en d fü r d i e s ta ti sc h e n G r ö ß e n a llg e m e in e F o r m e ln a b g e le ite t, die die tatsä ch lich e n S teif ig k e its v e rh ältn is s e de s S y s te m s b e rü cksichti gen. Die A b le itu n g erfo lgt g e t r e n n t für e in e radial u n d tan g e n tia l z u m Stabrin g w ir k e n d e Kraft. Da j e d e Kraft in d ies e b e id e n R ich tu n g en z erleg t w e r d e n k a n n , las s e n sich au s d e n a n g e g e b e n e n F o rm e ln dur ch Ü b e r l a g e r u n g di e s tati schen G rö ß e n für b e li e b ig e in d e n R i n g ec k p u n k ten w i r k e n d e B e la s tu n g e n erm itte ln .

D ie A u f g a b e ist ä hnli ch d e m von B l e i c h - M e l a n 3) u n d K. P o h l 1) b e h a n d e l t e n P r o b le m e in e s ra d ia l g e s t ü tz t e n S tab rin g es. Im v o r lie g e n d e n A uf satz w e r d e n die erfo rd e rlic h en B e s t im m u n g s g l e i c h u n g e n auf e in e e in fache W eise au s d e r F o r m ä n d e r u n g s a r b e it d e s S y s te m s a b g eleitet.

■) Als E rg än z u n g d ies er F o rm e ln ha t d e r V erfas se r im Bauing. 1931, H eft 44, a ll g e m e in e F o r m e ln für die i n n ere n Kräfte d e s R inges a b g eleitet.

2) W. L. A n d r e e , Die Statik d e s E is en b a u es . M ü n c h e n , O ld e n b o u r g . 3) B l e i c h - M e l a n , Die g e w ö h n l ic h e n u n d p a rti ellen D ifferenz cn- g l e i c h u n g e n d e r B austatik. Berlin, Spring er.

■•) K. P o h l , B e rec h n u n g d e s b ieg u n g s fes te n Kreisr inges mit ra d ia le r s te tig e r ela s tis c h er S tü tz u n g . S t a h lb a u 1931, Heft 5.

M i c h n i k , Berlin.

2. A b l e i t u n g d e r F o r m e l n f ü r e i n e r a d i a l e L a s t r i c h t u n g , a) A u f s t e l l u n g d e r G l e i c h u n g e n .

In A b b . 1 ist d as z u u n t e r s u c h e n d e S y s te m da rg este ll t, au s d e r a uch die e in g e fü h rte n B e ze ic h n u n g e n h e r v o rg e h e n . Die B e la stu n g erfolge dur ch

d ie Last P in 0. Die Stabkra ft d e s S t ü tz s ta b e s (x) — (x + 1) o d e r di e von d e r S e i te n w a n d (x) — ( x + 1) a u f z u n e h m e n d e Kraft sei Z t . Das T r ä g h e it s m o m e n t de s Ringes b e tr a g e J.

V 1

o j . U V ' C ' / \

'

\

' f A b b . 2.

In A b b . 2 ist ein Teil des Ring es m it d e n a n g reifen d e n ä u ß ere n u nd in n eren Kräften d a rg es te llt. In b e z u g auf d e n P u n k t „ 0 “ g ilt die M o m e n te n g l e i c h u n g (bei P x — 0):

M x + l Q x + \ 2 cos a Mit

Q

s

2 cos < - | - Z A. 2 t g , 0 .

1 ( M x + 2 — M x + 1) u n d Q x - l = l ( M x — M x _ i )

• * + 1 s g e h t d ie s e lb e ü b e r in

(1) M x _ j — M x (1 2 cos Y) + M x + , (1 + 2 cos *) — Af v + 2 - Z x s sin . W ir k t im P u n k t e , x “ die Kraft P x , d a n n la u te t di e d e r Gl. 1 e n t  s p r e c h e n d e G le ic h u n g

(2)

4 2 M i c h n i k , B e r e c h n u n g e i n e s t a n g e n t i a l u n d e l a s t i s c h g e s t ü t z t e n g e s c h l o s s e n e n S t a b r i n g e s Beilage mr Zeitschrift „Die Bautcchnik-

(1 a) M x j — M x (1 2 cos e) + M x + j (1 + 2 cos e) M x + 2

= — Z x s sin e + P x. s cos ^ • Wir se tz e n mit Rü cksicht auf d ie s p ä tere A u flö s u n g d e r G le ic h u n g en

(2) A / r _ , — 2 A1X cos e + M x. + ] == 3 V s-sin t u n d e rh alte n au s Gl. 1

Cb) **— S.v + i — 3*-**

Die Gl. 2 st e llt b e r e its d ie e in e G l e ic h u n g d e r s i m u lt a n e n D lfferenz en- g l e i c h u n g c n dar.

Die z w e i t e G l e ic h u n g g e w i n n e n w ir au s d e r F o r m ä n d e r u n g s a r b e it d es S y s te m s . D ie s e lb e se tzt sich z u s a m m e n au s d e r F o r m ä n d e r u n g s a r b e it d es b ieg u n g s fes te n S ta b rin g e s u n d au s d e r F o r m ä n d e r u n g s a r b e it d e r S t ü tz s tä b e bzw . d e r S e i te n w ä n d e d e s B au w erk es.

G re ife n die L as te n ln d e n E ck p u n k te n d e s S t a b r in g e s an, d a n n be stellt d ie M o m e n te n f lä c h e d e s s e l b e n au s e in z e ln e n T rapezflächen. M it d em T r ä g h e it s m o m e n t J u n d d e r S t a b lä n g e s b e tr ä g t bei tr ap ezfö rm ig er M o m e n te n f l ä c h e d i e v ir tu e lle F o r m ä n d e r u n g s a r b e it e in e s R i n g s ta b e s (vgl.

A bb . 3) „ 1 / t t 2

K ' 3 E J ( M x + M x M x + , + M x + ,) 5),

B e ze ic h n e t m an di e L ä n g e n ä n d e r u n g e in es S t ü tz s ta b e s infolge Z v — 1 t m it x, so b e tr ä g t die v irtu e lle F o r m ä n d e r u n g s a r b e it d e s s e lb e n

x Z , . 2.

Wird d e r S ta b r in g nicht d u rch e in z e l n e S t ä b e , s o n d e rn d u rc h F a c h w e r k w ä n d e g e s t ü t z t , und b e z e ic h n e t m an mit x die h o rizo n tale

M it

3 E J

X , , , x + 1

— — - \ Z

S S i n e t + 1 ' - ( 1 + 2 cos f) Z x + (1 + 2 cos f) Z x .

Mit Z v — 3 V+ i — 3 * e r g ib t sic h aus d e r l e tz te n G l e ic h u n g (3) M x _ , + 4A1V + Ai x + ! — —— - [3„v _ 2 — 2(1 + cos f) 3 ^ _ j

+ 2 ( 1 + 2 cos » ) $ x - 2( 1 + cos*)'B x + j + 3 * + a ].

Die Gl. 2 u. 3 s te lle n ein S y s te m s i m u lt a n e r D iffere n z en g leic h u n g en dar. W ü r d e m an a u s Gl. 2 3.v in d ie Gl. 3 e in s etze n , so e r h ie lte m an e in e D iffere n z en g leic h u n g s e c h s ter O r d n u n g m it d e r U n b e k a n n t e n M x . Es m u ß d a h e r die a l l g e m e in e L ö s u n g d e r Gl. 2 u. 3 se c h s K o n s ta n te e n t halt en.

■ b) A u f l ö s u n g d e r D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g e n . F ü r di e U n b e k a n n t e n w e r d e n d ie fo lg e n d e n A n s ätz e g e m a c h t :

M x = C ß x , 3 V = C d

S e tzt m an d ies e W e r t e in die Gl. 2 u. 3 ein, so e r g e b e n sich mit s sin e == u nach K ü rz u n g die c h arak te ristis ch en G l e ic h u n g e n zu

(4) ß — 2 cos e + | - = « «,

ß

(5) ß 3 + 4 ß 2 -1- ß — C “ (,4* — 2 (1 + cos f) ß 2 + 2(1 + 2 cos e) ß 2

— 2(1 + cos ?) ß + 1] - 0 . Die Gl. 5 lä ßt sich auf ein fa ch e W e is e auf di e F orm b r in g e n : , r s „ . . . 1 c « / „ „ , 1 \ / . „ . 1

(5 a)

m

3 — 2 c o s « + — ) ( ^ — 2 + - - J = 0 . Au s Gl. 4 folgt ß + - = fi a + 2 cos .

W e r te s in Gl. 5 a e r h ä lt man

i

Durch E in s etz en d ies es

il a + 2 cos f + 4

(6)

(/i « + 2 cos f — 2 cos f) (« « + 2 cos e — 2) = 0 , o d e r

.. 2 a - « 2 (2 + cos «) 0.

3 --- (1 — cos A — — ’

,ll C C u

Die GL 6 e n th ä l t n u r a als U n b e k a n n t e u n d ist vom d r itte n G ra d e.

S e tzt man

4 . „ 1

A b b . 3.

V e r s c h ie b u n g d e s o b e r e n P unktes.»: (Abb. 4 ) infolge d e r Kraft Z v = - l t u n d n u r i n f o l g e d e r L ä n g e n ä n d e r u n g d e r F ü l l u n g s s t ä b e , so gilt d e r g leic h e A u s d ru ck für di e virtu e lle F o r m ä n d e r u n g s a r b e it , w ie bei ein fach en S tü tzs tä b e n .

Soll a uch d e r Ein fluß d e r F o r m ä n d e r u n g d e r G u r t s f ä b e berü ck sich ti g t w e r d e n , so ist d a b ei zu b e a c h te n , d a ß d e r e n G rö ß e von d e r Differenz d e r b e n a c h b a r t e n W an d k rä fte a b h ä n g i g ist (vgl. A bb. 5). Durch d ies en U m s t a n d w ird di e L ö s u n g d e r A u f g a b e e tw a s v e rw ick e lt e r. Da a b e r die h o rizo n tale V e r s c h ie b u n g von x e in e F u n k t i o n d e r D i f f e r e n z d e r G u r t  kräfte ist u n d die B e an s p r u c h u n g d e r S tiele v o n d e n h o rizo n tale n Kräften all ein v e r h ä l tn i s m ä ß ig klein sein w ird , so w ir d d e r Einfluß d e r F o r m ä n d e r u n g d e r G u r t s t ä b e im V e rh ältn is z u m Ein fluß d e r F o r m ä n d e r u n g d e r F ü l l u n g s s tä b e nicht g ro ß sein. Es wird d a h e r vielfac h g e n ü g e n , n u r d e n le tz te r e n z u b e rü ck sic h tig e n .

Die n a c h f o lg e n d e n A b l e itu n g e n w e r d e n u n t e r d e r V o r a u s s e tz u n g d u r c h g e f ü h r t, d a ß d e r S ta b rin g d u rch ein fache h o rizo n tale S tä b e o d e r v erti k ale, in R ich tu n g d e r P o l y g o n s e ite n b ieg u n g s fes te , e in g e s p a n n te S tü tz e n g e s t ü tz t ist bzw . d a ß d e r Einfluß d e r G u r t s t ä b e d es F a c h w e r k e s auf die F o r m ä n d e r u n g v ern ac h lä s s ig t w e r d e n ka nn. D ie sch w ierig ere, a b e r m ittels d es h i e r a n g e w a n d t e n V e r f a h r e n s d u r c h a u s lö s b a r e A ufg abe, b e i d e r auch d e r Einfluß d e r F o r m ä n d e r u n g d e r G u r t s t ä b e d e s F a c h w e r k e s zu b e r ü c k sichti gen ist, soll e in e r sp ä te r e n V e rö ffen tlic h u n g V o rb eh alten b leib e n .

Die v i r tu e l le F o r m ä n d e r u n g s a r b e i t d e s g a n z e n S y s te m s b e tr ä g t nach V o r h e r g e h e n d e m

4 = Z [ Ar + As) = 3 SF J (2 1 M x? + Z A 1 x M x + l ) + -, S Z X2.

= c e r h a lte n wir

P

<]■

î l =

3 >- ( 1 - c o s e ) + + c

16 2 ( 7 + 2 cos e)

, ( 1 — cos U M V

¿ t u ' 5 o u C

? r 2^,

r m

- i

W W -

u n d

so lau te n die A u s d r ü c k e für die d re i W u r z e ln d e r GL 6 2 (1 — cos t)

3

,u

'

(7 a) a , = 9i + 33 + (7 b)

(7 C) a 3 =

?( + '}! , 2( 1 — cos f) , ä t — iB „

2 3.« 2 1 1 ’

2i + 33 2 ( 1 — cos a) 3t— 33

2 + - ' v * ' >'3 .

d e r k u b isc h en v o r a u s g e s e t z t, d a ß die D is k rim ln a n te 7? = (

G l e ic h u n g 6 posi tiv ist.

In d ie s e m F alle ist e in e W u rzel reell u n d die b e id e n a n d e r e n k o n ju g ie rt kom ple x.

Bei R — 0 sind alle drei W u rze ln reell u n d d a r u n te r z w ei g leich e.

Ist d ie D isk rim in a n te R n eg ativ , so sind alle W u rze ln reell u n d unter- g

2 e in a n d e r v e r s c h ie d e n . In d i e s e m F a lle h a t m a n a u s cos y> = —

■- 2 1' M 2 + S M r M r

^ o o

Bei B e rü ck s ic h tig u n g d e r GL 1 erg ib t die parti elle D ifferentiatio n nach M x

~S M s A = M * - 1 + 4 M x Al x + ,

d e n W in kel <p zu erm itte ln u n d e r h ä lt für die W u rze ln die n a ch fo lg en d e n A u s d r ü c k e :

' p w 2(1 — cos t)

3 cos 3 + 3 —

“ * = 2 ] / - f - c o s ( f + 1 2 0 =) + 2 « + 5 5 i A . 2(1 — cos e)

3 u

(8 a) oq = 2

(8 b) == 2

(8 c) «3 3= 2 P3 cos f 3 ' + 2 4 0 ° ) + - Si nd « u .,, 3 e rm itte lt, d a n n erh ält m an au s Gl. 4 (9 a)

0.

5) D iese m it E J m u ltip liz ie rte F o r m e l w ird in P. F u n k , D ie l in e a re n D i f fere n z en g leic h u n g en u n d ihre A n w e n d u n g in d e r T h e o r ie d e r Ba u

ko n stru k tio n e n , als K e g els tu m p ffo rm e l b e ze ic h n e t.

,4,, 2 = cos f. +

(9b ) ß 3, 4 = COS E + -r~ 2 :>

2 u a.,

COS F +

rf

COS E +

(9c) u «o , I / / u a-» \ 2

ß-ot 0 = COS f • 2 3 zfcr ^COS ^ + 2 -j — 1.

(3)

J 'l"i>8.lMikz I932íl 6 M l c h n l k , B e r e c h n u n g e in es ta n g e n tia l u n d e lastisch g e s tü tz te n g e s c h lo s s e n e n S ta b r in g e s

43

D a b ei ist A Ä = = l i ß 3 ß i = i u n d ß 6

ß0= 1

^.

W ann di e W u rze ln « u n d ß reell o d e r k o m p le x sin d, h ä n g t von den G rö ß e n e, c u n d ,« a b ; es läßt sich h ierfü r k e in e einfache B e d in g u n g aufstellen. Bel p rak ti sch er D u r c h f ü h r u n g d e r R e c h n u n g w ird m a n die D isk rim in an te R d e r k u b is c h en Gl. 6 z a h l e n m ä ß ig b e s t im m e n u n d nach d e m V o rz eic h en d e r s e l b e n d e n w e ite r e n R e c h n u n g s g a n g einrichten.

c) B e s t i m m u n g d e r K o n s t a n t e n . Die a ll g e m e in e n L ö s u n g e n d e r G l e ic h u n g e n 2 u, 3 l a u te n : (10) M x = C, ß x + C2 ß 2x + C3 ß 3x + C4 ß x + q ß x + C 6 ß x ,

(i **1) 3.v = ai (q AiA + QfßS) + a2 (Q ß-* + q ßi')**

+ *3 ( q ßsx +

q

^Ar')-

Sie e n th a l te n se chs K o n s ta n ten , d e r e n B e s t im m u n g mit Rü cks icht a uf die S y m m e t r i e d es S y s te m s noc h v e r h ä l tn i s m ä ß ig einfach ist. Aus S y m m e tr ic - g r ü n d e n gilt n äm lich M ■M., (s. Abb. 1) o d e r

Da AI,, = Af0, M n + ,

Mit I ß *

o

f f 1

folgt

ß.

1

ß " - 1

(13a) q «[ (ßi ¿s2) (ß i n l) -1- C3 x j [ß3 ß 4) (,cf3 l) +

q

«3 (ß-a — ß„) i ß " — i) ===

o,

(14a) -

q

( f t - ß 2)

U«

- l) -

|

(ßs - ß t ) '(ft" -

0

' Q (As Ae) (iA” 0 — P s ‘> • COS

C1 (ß" —■ i)_(Ai — ^ßi) , q ^{( ß "} — i)(a — a)

ßi + ß i - 2 'ßt + A - 2

q

^{( A ,!}

1 )

^{( a}

■

^{a )}

A + Ä —2

Die A u flö su n g d e r Gl. 13a, 14a u. 15a erg ib t

p . « i ( A - l )

(«! a 3) («l - a 2) (/?, - l) (ßi + l)

2 ’

(15a)

(16a) q

: 0^.

2 sin

(16 b) C, a 2 ( A 1)

q ß x + C2 ß 2x -f q ß x + C. ß ß -f- q ß 6x + C , Ae*

= q f t » - v + C2 f t » - J r + q f t " - -v + C t ß " 'v + q ß “ - q A " - V N a ch e in e r einfachen U m f o r m u n g e r h ä lt m an

i ß " ~ x - ß Ä - c 2 ß2n) + ( ß / ‘ - x - ß x) (C3 - Ci ß i n)

+ (As” ~ x — ß sx) ( q — Ce ß f ) = 0.

D ie se G le ic h u n g k a n n nu r d a n n für sä m tl ich e x von 0 bis n id entisch erfüllt sein, w e n n die k o n s t a n te n F a k to r e n gleich Null sind. D a rau s folgt

(12) C L = C2 ß 2n, C3 = Ci ß S und C5 = Q ß * . u n d u m g e k e h r t

(12 a) C2 = Cj ßi \ q — Cd ß 3n u n d q = q ß b .

D a d u rch h a b e n w ir b e reits drei einfache B e z i e h u n g e n g e w o n n e n und b e n ö tig e n n u r no ch d re i R a n d b e d i n g u n g e n z u r B e s t im m u n g d e r K o n s ta n te n . (In d e n Gl. 12 bzw . 12a sind die R a n d b e d i n g u n g e n /W„ = Ai,;

und Z ü ~ — Z n _ \ b e r e its enth alte n.)

Als solche b e n u t z e n w ir Z 0 — Z n o d e r n a ch Gl. l b : 3 ! — 3o

= - 3 , 1 + 1 — 3 n- S e tzt m an in d i e s e G le ic h u n g d e n A u s d ru ck für 3 au s Gl. 11 ein u n d z ie h t d ie m it d e r g leic h en K o n s ta n te n mult ipli zie rten G l i e d e r z u s a m m e n , so e r h ä lt m an

Ci « , ( ß i 1 + 1 - ß i n — ß i + l ) + C2% ( ß 2n + l — ß " — ß 2 + l ) + . , . = 0 o d e r

Ci «i (ßi -

i )

^(ßin

— i) + q C a - 0

^{( ß "}

- 1) + - - -= o .

B e a c h te t m a n , d a ß /?2 = , ß t — - j - usw. ist, so folgt als v ie r te B e s tim m u n g s g l e i c h u n g ' 1

(13) t e + Q A " f l ) « t ( A - l ) ( A " - l ) + (C3 + C4 ß " + >) «2 (ß3 - 1) (ß3n - l)

+ (c5 + q ^{ß "} +') «3 Ga - i) ^(ß sn- 0 = o.

E in e w e ite re R a n d b e d i n g u n g e r h a l te n w ir aus d e r Gl. l a für x — n:

M , i — M n {\ + 2 cos e) + M n + X (1 + 2 cos f) — M n + 2

+ Z n s sin e = P 0 s cos ^ • M i . M n + 2 = M 2, Z n = Z 0= S i — 3 o U n d « = s s i n f ist, erg ib t sich:

M n _ , — M 0 (l + 2 cos e) + Af, (1 + 2 cos e) — AU + 3 i f‘ — 3o.“ — P s c o s C S u b tr a h ie r t m an v o n d ies er G le ic h u n g

i — M 0 (1 + 2 cos f) + Aft (1 + 2 cos ¿) — AU + ,« — g 0 u — 0,

so b leib t n e

M n j — j = P s cos y •

Nach E in s etz en d e r W e r t e für Af u n d Z u s a m m e n z i e h e n d e r G l i e d e r g e h t v o r s t e h e n d e G l e ic h u n g ü b e r in

C ‘ ( A " _ 1 — Ä ~ ' ) + q ( A n ~ 1 - A “ 1) + - • • = P s c o s c . Durch U m f o r m u n g d ie s e r G le ic h u n g e r h alte n wir die fü nfte B e s t im m u n g s gleic h u n g für die K o n s ta n ten C:

(14) q ß i ( ß i n - 1 ) - q A " l | i ß " - 1 ) + - - - - P s cos ■ • Die letz te G le ic h u n g leiten wir au s d e r a u s d e r G e s c h lo s s e n h e it d es Sta b rin g e s n a ch d e r D e fo rm a tio n leic ht a b z u le ite n d e n B e d in g u n g

V M = 0 o d e r Cß I ß x + C2 v ß x .p . . . o ab.

o o *

(16c) q =

2 sin 2 ~ “ 3^ (“ 2 — “ i) ( a " — !) ( a + l)

P . «3 (ßs — !)

2 sin

2

^{(“ 3}

~

“ J («3

— «

J ( ß "

— 1)

( A

+ 1)

Die ü b rig en drei K o n s ta n ten s in d durch di e Gl. 12a b e stim m t.

Wir se tz e n di e A u s d rü ck e für C, bis Ce In die Gl. 10 ein und erh alte n

(17) M ==_ P ( « i ( ß i - l ) ( ß i X I- ß i n ~ X) 2 sin ' 1 (“ i — “ 2) («1 — «3) (ßi + 0 (ßi" — ')

+ «2 (,A — 1 ^)Jß ?x.,.± A" ~ ■*)

(«2 ~ «l) («2 — «a) ( A + 1) ( A ” — 1) _|. « 3

(iA 1) ^{(ß X} + ^ßs 1 ~ A)

(«3— « i ) ( « 3 — « 2) ( a + i ) ( a " — 0 F ü r d ie Stützkräfte fin d et m a n na ch Gl. 1 b u. 11

¿V = 3 a-+ 1 — 3 X= « 1 (Ci ß x + 1 - Q ß x + q ß . x + 1 - q ß 2x) + . . .

= q « i (ßi - 1) ( ß x - ß " ~ x l ) + ■ ■ ■ und mit d e n A u s d rü ck e n für q . . . q :

(18) 2 = P Í . « i2 (ßi — l )2 ( ß x — ß i 1 ~ ~ 2 si n 2 l (“ i — “ 3) (ßi + 1) (Ai" “ !)

+

— 1 f ( ß x - ß 3n ~ x ~ i )

( 1 5 ) C l ^ ~ - + C 2 ^ + . . . = 0.

Bei B e rü ck s ic h ti g u n g d e r G le ic h u n g en 12a g e h e n die Gl. 13, 14 u. 15 ü b e r in

( « . , — « , ) ( « 2 — « . , ) ( , A + 1 ) ( ß . / 1 — 1 )

+ h n: x.: l \ I.

( « 3 ---« l ) ( « 3 — « » ) ( A + 1 ) ( A ” --- I ) i

D ie S tü tzk räfte Z x las se n sich n ach B e s t im m u n g v o n M x a u ch leicht a u s d e r Gl. 1 b e r e c h n e n .

D a m it ist die A u fg a b e für re elle W u rzeln « u n d ß gelö s t.

d) U m f o r m u n g d e r G l . 17 u. 18 b e i k o m p l e x e n W u r z e l n a u n d ß.

Ist die D isk rim in a n te d e r Gl. 6 / ? ; > 0, so ist re ell u n d a 2 u n d si n d k o n ju g ie rt k o m p le x . Aus Gl. 4 folgt o h n e w eite res , d a ß d a n n ß v ß t reell u n d ß 3, ß t , ß s u n d ßa k o m p le x sein m ü sse n . S e t z t m an «2 = a + / b, so ist a 3 = a — i b zu s etzen .

S e tze n wir fern e r die k o n s t a n te n Tei le d e r drei K l a m m e ra u s d r ü c k e d e r Gl. 17 d e r R e ih e n a ch gleich . it / " " 0, K 2 inr\ K 3 m n u n d di e v aria b le n T eile gleic h F ß n n (x), F2(' " n (x) u n d F3i m (x), so erh alte n wir

(17a) M x. = — [jtl(ffl r) F / " ' f) (x) + K 2W n F i mr ) (x) -| K f ‘ n F-}"‘n (*)]■.

2sin2

(Der In d e x ( mr ) b e s a g t, d a ß es sich u m das M o m e n t b e i ra dia le r Kraft

rich tu n g ha ndel t.) F ü h r e n w ir in

U r) __ a i (Ai — 0

(«i — «2) (ai “ *3) (Ai + !) (Al" — 1 )

die A u s d rü ck e für «2 u n d «3 ein, so erg ib t sich

Ä im r) _ *1 CA — 1)

' 1 “ 1(ai_ _ a )2 + *2]( f t + \ ) ( ß " — 1) in re e lle r Form .

Der z w e ite K l a m m e ra u s d r u c k d e r Gl. 17 lau te t

^ (m r) p im r) ^ _ Kz (ßa ^) (ßn 4~ Aa ) (»2 « 3) (»2 «j) (ßa ■ 1) (ßi — 1)

(4)

4 4

D ER S T A H L B A U

M i c h n i k , B e r e c h n u n g e i n e s t a n g e n t i a l u n d e l a s t i s c h g e s t ü t z t e n g e s c h l o s s e n e n S t a b r i n g e s Beilage zur zeitschriit „dis Bautechnik“

K.,im r) p im r) (-*) =

Wir e r w e i t e r n d e n Bruch mit

h l t < « , - « , > U ’ + a ' ) (a ’ - a ’ ) u n d e rh alte n

(19) K ! " , r ) F2unr) (x)

1

f t 2

— X

fl

8 2 P a

ti

f t 2 1 >

\ ( "

- f t

ft

^{K f t 2 -}

, 2 )

f t ~

( 2 }A

« , ( «3 — « i ) \ f t — f t ' / ) U ” - A i ) U "

(« 2 - “ l ) (« 2 - A l ) 0 * 3 - « 1) (, u

/I fl \

, 2 - f t 2 )

/ /I /I

U 2 - f t 2

D ie k o m p le x e n A u s d r ü c k e für f t bi s f t las s e n sich auf die Form b r i n g e n :

(20) .£, = / ' (cos </ i sin y), /•(cos y — / sin y),

ß 4 = (cos y — i sin y), - (cos y -F / sin y).1

so las s e n sicli die Gl. 20 in d e r n a c h s te h e n d e n f t = e (cos y — i sin y),

i y --- t oiu yy, ßi S etzt m an In r

F o rm s c h reib e n :

ß 3 = e ‘ (cos y - f i sin y), ß s = e " (cos y — / sin y).

F ü r die S u m m e n u n d Differenzen e r h a lte n wir f t + ß t — cos y [e‘ + e ~ v) + i sin y [e: — c v)

— 2 (cos y CSuf V + / sin y S ill 7), f t — f t —■ 2 (cos y S i n y + i sin y Gof y ) ,

f t = e " (cos y + / sin y).

ft

f t = 2 (cos y (Sof y — /' sin y S i n 7) , f t — f t = 2 (cos y S ill ;--- / sin y (Sof y).

S e tzt m an d ies e B e z ie h u n g e n s o w ie d ie A u s d rü ck e für «„ und in d e n N e n n e r d e r Gi. 19 ein, so e r h ä l t m an

( « 2 — * i ) ( * 2 — “ a ) ( « 3 — « i / a + ¿ f t 2 ) ( f t 2 + f t 2 ) ( f t 2 — Ä 2 ) ( a 2 — ß t 2 )

= S i b [(<7 - et,)- + b-\ (cos y + (So) / ) ( c o s n y — (So) n y) — 16 W /',

« i )2 + &2] (cos y + (Sof;.-) (cos n y — (Sof n y) ist.

Im Z äh ler e r h a lte n wir

«2 («3 — « ,) = — i \ b + i \ a (a — « , ) + b 2} ] — — i \ A + i B \ , w o b e i A = b « t u n d B a (a — 1 b- ist.

F e r n e r ist

U -

a

2) (

a

2 + , ^ ) (

a

2' +

a

2)

. . n w o b e i N — 2 [(^

= , 4 n n , . n

cos „ y ©ui / e i n 2 2 , , . . . . 2 r *7 + sin r w 2

• ‘1

n . /z

cos ^ t* sin 7 6 m ^ . /z _ . . 11

■ sin - f - t p ©in yppf o d e r mit

n «

C - cos y ein 7 ein - cos 2 y sin y e i n 2

2 ' //

. « . . . . n sin w y sin y bo]

■ sin 2

2 y e i n / Ü O ) 2 y .

■ U 2 - a ' 2 ) ( a " 2 + a 2 ) ( a 2 - a 2 D er v a ria b le Teil d e s Z ählers l au te t

n n

= 4 ( C + / D ) .

2

Mit d e n B e ze ic h n u n g e n

Sißm r) _ /I C — ß D

' _A7

H . / '" - ä j D + ß C N l au te t d e r e n d g ü ltig e A u s d ru ck für

(21) M x = ^ r n (ßix + a " -v)

2 s i n 2

+ Ä2(mr) cos - x ] y 6 oj ^ 2 _ x j 7 - Hii'"’ r> sin ( ” in r e e l le r Form .

S t e h e n T a b e lle n d e r H y p e r b e l f u n k t io n e n nicht z u r V e r f ü g u n g , so kan n m an mit tels n a c h s te h e n d e r ein facher B e zieh u n g e n zur g e w ö h n lic h e n R e c h n u n g ü b e r g e h e n :

(S o f y x = ! [e"x + e~ *-v) = - 1 (</'• 'nr + e ~ * r) 1

teilt y Xc

(eln r '’ 4 - e ~ ^ ( , A'+ ) )

Ä h n lich g e s t a l t e t sich di e U m f o r m u n g d e s A u s d ru ck e s für Z x . Nach Gl. 18 l au te t d e r erst e K l a m m e ra u s d r u c k

« i 2 ( A — ! ) 2( ß i x — ß i n ~ X ~ ‘ )

(«i — «2) («1 — « 3) (ßi + 1) (ßin — 1)

r)k v - > f l — x — l

) . w o b e i mit , = a p £ i b

Hi (2 r) . « i 2 (A — !)2 Ist.

K« — Ä,)'2 + ¿>2] (ßi + !) ( ß i 1 — 1)

D er z w e i t e K l a m m e ra u s d r u c k d e r Gl. 18 läß t sich auf die Form b r in g e n :

' i 1 \2 / i , l \

(;i - i) - x < « - 1) - . v - «22 W ~ ß i J \ ß t 2_ ______ ( “ j U ' / .

(*2 ~ «l) (“ 2 — “ j) i ß t 2 + Ä 2 ) ( f t 2 ~ f t 2 )

Er u n te r s c h e id e t sich v o n d e m k o n s ta n te n Teil d e s z w eiten K l a m m e r a u s d ru ck e s d e r Gl. 17 d u rc h d e n F a k to r

1

■ «o f-i3 2 — ßA z I = — (a + i b ) 2 (cos

G = 2 | //

r „ f )

= — ( G H - / 7/), w obei :in + ¿ s in y2 CSof 2

cos 2 S i n 2 — (’ S’0 9 Eo) V ) und / 7 = 2 | r t s i n 2 (Sof g + 7 cos 2 ®>n -¿j isE

Mit d ies en u n d den b e i d e r U m f o r m u n g v o n M x cin g e fü h rte n K o n s ta n te n l au te t d e r z w e ite K l a m m e ra u s d r u c k d e r Gl. 18

/ ( u n F <zn {x) = ___ .Cd ± i B ) { C - \ - i D ) ( G + ^ i B ) \ f « n {x) + / , » _ ' > (je)]

Durch Z u s a m m e n z i e h e n d e r e n ts p r e c h e n d e n G l i e d e r d e s z w e ite n u n d dritte n K la m m e ra u s d r u c k e s e r g ib t sich mit

H, (2 r)

(22)

--- --- N

( A C — B D ) H + ( B C \ A D ) G __

N 2

P

, 2 sin 2

h / ' 2 r) { ß x + f t n - ~

ft- + . / V

cos ^ 2 — A-j y (Sof ( 2 — x ) 7 + 1 sin ( " — A'j y S i n ( ”

= 2 [/,< "-» (A-) + / / 3,"->(A-)].

W ir se tz e n di e v o r s t e h e n d b e s t i m m t e n T eilw erte in die 01. 19 ein u n d e r h a l te n :

K im n F im r), Y\ (-4 ± £ ß ) ( C + £ O ) l/A"' n ( f ) + / / , (" ' r)(A)]

- 2 W 2 A'

Auf d i e s e l b e W e i s e erh ält m an

im n p im (Ä — / ß ) (C - / D) [ / 2('" r) (x) - / r) (x)]

■! h ~ 2 Ä

Beim Z u s a m m e n z i e h e n d ie s e r b e id e n G l e ic h u n g e n fallen d ie im a g in äre n G l i e d e r fort u n d es bleib t

/ G (m r) A (m r) (x) + K 3im r) F;im n (x)

_ ( A C — B D ) t i m n (x) — (A D + B C ) / 3(w r)(x) N

■ A3 zr) cos J 2 (« — 1) — x j y ©in i n \ 2

+ H;)u n sin 1 2 (// — 1) — x j y 6 of| 2 (n - - 1) — x j yj • D er V o lls tän d ig k e it h a lb e r h a t d er V erfas ser a ll g e m e in e F o r m e ln für Afv u n d 2 V bei k o m p le x e n W urzeln « u n d ß ab g eleitet. In prak ti sch en Fälle n kan n m an a uch die Z a h l e n w e r t e d e r k o m p le x e n W u r z e ln « u n d ß d irek t in d ie GI. 17 u. 18 ein s etze n . Der z w e i t e u n d dritte K la m m e rw e r t d ies er G l e ic h u n g e n las se n sich d u rch M u ltip lik atio n m it d e n k o n ju g ie rt k o m p le x e n Z ah len d e r F a k to ren d e r N e n n e r auf d ie F o rm b r in g e n :

(.? + i b) [/, (x) + i f 3 (x)] + ( g — i b) [/, (x) — i f 3 (x)]

= 2 \ g f 3 (x) — / / / , (x)f (reell!).

F ü r J = 00 erg ib t sich c — cc.

A u s Gl. 6 folgt 2 (1 — cos *)

= 0, u n d au s Gl. 9 a , 9 b u n d 9 c f t . S = I . f t . f t , : cos t / sin f,

(5)

J a h rg a n g 5 H e it 6

18. M örz 1932 M i c h n i k , B e r e c h n u n g e i n e s t a n g e n t i a l u n d e l a s t i s c h g e s t ü t z t e n g e s c h l o s s e n e n S t a b r i n g e s 4 5

S e t z t m an d ies e W e r te in die Gl. 18 ein, so e r h ä lt man 2 P / 1

(23) - Z , = sin | y + x'j i.'

F e r n e r erg ib t sich aus Gl. 21 P s

(24) M x =

4 n sin ^

co tg 2 + c o tg f cos .V f - - (n — 2 .v) sin x .

Die Gl. 23 deckt sich m it d e r von M ü l l e r - B r e s l a u für v o llk o m m en sta rren Ring a b g e l e i t e t e n F o r m e l (s. H ü tte, Bd. III).

1. Z a h l e n b e i s p i e l . D e m s e lb e n w e r d e n die ung e fäh re n A b m e s s u n g e n d e s in d e m W e r k von A n d r d c , „Die Statik d e s E i s e n b a u e s “, S. 346, b e h a n d e lt e n K ü h ltu r m c s z u g r u n d e g e le g t. D a b ei wird , 7 = 6 0 0 0 cm 4' a n g e n o m m e n , x e r re c h n e t sich zu x = 0,50 cm t. Mit s = 400 cm, 7: = 2 1 0 0 t / c m 2 e rhält m an c = = 94 500 c m 2.

F e r n e r erg ib t sich mit n — 8, f = 4 5 ° txl = 0,007 31 e in “ \ o

ßl = -r

^3,1658,

f t , 5 = 0 , 5 2 4 4 - b 1,8029 i,

ßtl 8 =

^0,1490 0,5113 i u n d m i t P = l t Z„ = 0,2982 t, Z , = 0,3522 t, Z„ = 0,0755 t,

ß2 -

■- (— 0,002 619 =1= 0,004 566 i) cm " ', : -1- 0,3159,

/Vf0 = 78,68 tem, M 1 = - - 34,45 tem, M., = — 22,33 tem, M a = - ) - 8 , 3 3 tem, Ai4 = + 18,20 tem.

Wie m an sich leicht ü b e r z e u g e n ka nn , s tim m e n die P ro ben

n n n

2 M r — §, A’AI.. cos a: f = 0 und ± ' Z r ~ . . . , n

o o o \ 2

seh r gut.

F ü r 7 = c o erh ält man u n ter so n s t g leic h en V o r a u s s etzu n g e n au s Gl. 23 u n d 24

Z 0 = Z 3 = 0,0957 t, Z 4 = Z , = 0,231 t, M 0 — 111,52 tem, AU = — 51,80 tem, M l = — 36,63 tem, M 3 — + 9,58 tem, Ai, = + 46,2 tem.

Die A b w e i c h u n g d e r für d ie D im e n s io n ie r u n g m a ß g e b e n d e n g rö ß ten W erte b e tr ä g t b e im M o m e n t e tw a — 2 9 °/0 u n d bei d e r Stützkra ft etw a -i 3 4 ° /0. Belm Rechnen nach d e n F o r m e ln 23 u n d 24 w ird d e r Ring ü b e r d im en sio n iert, w ä h r e n d die S t ü t z s tä b e zu s chw ach b e m e s s e n w e rd en . Dort, w o d e r M a te r ia la u f w a n d d es Ringes im V erh ältn is zu d e m der W än d e v e r h ä ltn is m ä ß ig g e r in g ist, wird es z w e c k m ä ß ig sein, d u rc h V e r

s t ä r k u n g d e s R inges eine g ü n s tig e r e L a s tv e r te i lu n g auf die W ä n d e zu erreichen.

In Abb. 6 u. 7 w u r d e n di e E rg eb n iss e d es Z ah len b e is p iels g e g e n ü b e rg es te llt.

3. A b l e i t u n g d e r F o r m e l n f ü r e i n e t a n g e n t i a l e L a s t

r i c h t u n g .

Bei ta n g e n t ia le r L as tr ich t u n g g e la n g t man zu d e m s e l b e n S y s te m s i m u lt a n e r Diffe renzen

g le ic h u n g e n 2 u n d 3 w ie bei r ad ia le r Las trichtung. N ur die z u r B e s t im m u n g d e r K o n s ta n t e n d i e n e n d e GL 1 a la u t e t hier (vgl. A b b . 8)

(1 a') M x _ , — M x (1 + 2 cos ¿) + M x + , (1 - f 2 cos *)

— M x + 2 = — Z v s sin s -1- P x s sin r ■ Auch die a llg e m e in e n L ö s u n g e n Gl. 10 u. 11 d e s s i m u lta n e n G le ic h u n g s s y s te m s b e h a l t e n ih re G ü ltig keit. Die K o n s ta n ten C , bis C6 m ü s s e n n e u b e s t im m t .werden.

Mit Rücksicht auf d ie P o l a r s y m m e t r ie gilt die B e z ie h u n g

(25) M = ~ M „

Nach d e r s e lb e n U m f o r m u n g w ie u n t e r d) folgt d a rau s (26) C, = - C, ß / 1, C4 — — C3 ß3n, C0 = - C 5 ß 5n.

F e r n e r m u ß AI0 — 0 sein.

D a rau s erg ib t sich

+ C, + C3 + C4 + C5 + Q = 0 o d e r m it den Gl. 26

(27) C, ( f t " - 1 ) 4 ® i ß " - 1) + Q ( f t " - 1) = 0.

A u s Z 0 — Z ;( e rh ält m an d i e s e l b e GL 13

(C, + C,

ß2n

+ ' ) « ,

(ßi -

l ) ( f t "

- 1 ) 4 -

(c 3 4- C4 ß t n + ’) «2^{(ß3 -} 1) 07," — 1 )4 : f e 4- c 6 ß " + ') «3 ( f t - 1) i ß " - 1) = 0.

ln d ies e G le ic h u n g die GL 26 e in gesetz t, folgt

(28) C\ (ß 1 - l )2 ( f t« - 1) + C3 “ 2 $ - l)^ ( f t “ - 1)

ßi P3

+ Q - y ( f t — l) 2 ( f t " 1) — 0.

ßi

Die d e r GL 14 e n ts p r e c h e n d e G le ic h u n g la utet für die t an g e n tia le L as trichtung

C, ß l i ß i" — 1)— C> f t " ~ 1 ( f t “ — 1) 4- • • • = P s stn 2 u n d bei B e ac h tu n g d e r Gl. 26

(29) Ci ( f t " - 1) (ß l 4- f t ) 4- C3 ( f t " - 1) k 4- ß d -! C5 ( f t « - 1 ) (ßs + ß e)

= P s sin ^ • Die A u flö s u n g d e r Gl. 27, 28 u. 29 erg ib t bei B e rü ck s ic h ti g u n g d e r GL 4 u. 6

Q = -

C, = -

C s

P

2 cos P

2 cos

(a 4 — « 2) («4 — «3) (ßin — 1)

(«2 — («2 — «,) ^{(ß;" —} 1) («3 — «l) («3 — “3) i ß " — ')

(30)

(31)

D e r A u s d ru ck für da s M o m e n t l au te t d a h e r

p I x)

2 COS ' ' (“ l “ “ 2) (*1 — “ 3) ( ß l ‘ ~ 1)

+ « * {ßaX — ßan ~ J). «A ß 5 X — ß t " ~ X) 1

(«2 — «,) («2 — «3) ^(ß:" — 1) («3 ~ «1) («3 — «2) ^{(ß i'} — 1) ^I

F ü r d ie S tützkraft e rhält man

P I - ' - r U - D U - N - , V ‘ A' l ) 2 cos ^ ^ — “ 2^ ^ ~~ “ *)■ I ß “ ~~

s { ß * - i ) [ ß 3x + ß 3n ~ x ~ l) + « v U 1) {ß£_ + ß " ~ x : i \ («2 — iXiH»,— «2)(ß;t" — 1) («3 ~ « 1) («a — «■_.) ß / 1 1) >

Bei k o m p le x e n W u rze ln <* u n d ß las se n sich auf gleiche Weise, w ie bei rad ia le r Lastrich tung, F o rm e ln für M x u n d Z x a b le ite n . Sie lau te n mit d e n K o n s ta n te n

A = b «j, B — a (a — <xß) + b2,

n n . 1 1 . . . n

C = cos 2 f *>» 2 7 . P> = sin 2 <r 601 2 ■/,

N ' = -?■ b [(a — a j )2 4- b2\ (cos n <p — Gof n ;-),

(32)

(mt) «1

__

— f m t ) __

[ ( « - « 3 ) 2 + b-](ßi n - l ) ’ A C + B D ' . (m ¡)__

— N ' > "'3 ---

M x - P

2 cos 2

^ i m t ) {ßiX — ßv

B C — AD'

N '

.H2(' " ° C o s ( 2 ~ J c j </ S i n ( 2 - x j y - Vo" " ' 1 sin [ " - w ) r (Sof( “ — x j y

(6)

4 6 DER STAHLBAU M i c n n i k , B e r e c h n u n g e i n e s t a n g e n t ia l u n d e la s t i s c h g e s t ü t z t e n g e s c h l o s s e n e n S t a b r in g e s Beilage zur Zeitschrift .Die Bautechnik-

<3

H

.

( 2 t ) .

= 2 ( a

— 2 |(j si

■ b sin 'r Gof 7 rp .

sin £ tioj

I ( n - ( m f )

2 12

« i 2 ( A — J )

* i f + h ( ß "

b cos

) •

1)

(rn /i

(33) Z ,

~ p

, « i K / ) k j r + I r

A'

2 cos ^t

M,*’ ° c o s

j 2 (fl

^{1 ) -} • .vj y ®0| | ^ (n — 1) — -vjy

« / )

sin 12 — J ) ^{- A |}¹^(f ® t n | 2 ( «^- ^{i 1 ,} • 1 ) - v ! - .

Bei J - (34)

(35)

: cv. erh ält m an

•v n 2 cos

cos

(2 +§)

M l

^{P s}

4 sin

* ¡2 co tg 2 — c o tg f j sin f X

- 0

M a = 0^,

Ai, = — 18,28 tem, M., = + 5,19 tem, Ai, = + 10,99 tem, Ai, = 0.

0,0365 t.

Bei J — oe erg ib t sich au s Gl. 34 u. 35

A40 = 0, Z 0 = — 0,3663 t,

Ai, = — 31,03 tem , 2 , = — 0,2310 t, A4, = + 5,61 t e m , Z 2 = — 0,0396 t, Ai., = + 23,09 tem , Z 3 = + 0,0957 t.

Ai, = 0.

Die P r o b e n 2'A4 sin f x

0 ’

st i m m e n g e n au .

und 2 Z cos

0 ' ( - 2 + 4

= P = 1 t

Die Gl. 34 läßt sich auch auf ein fache W e is e d u rc h Bela st ungs- u m o r d n u n g d irek t a u s d e r Gl. 23 a b le ite n .

2. Z a h l e n b e i s p i e l . Bei d e m s e l b e n w e r d e n di e g leic h en A b m e s s u n g e n u n d S teif ig k e its v e rh ältn is s e w ie b e i d e m für radia le Las t

r ich tu n g v o ra u s g es etz t. Es s in d d a n n a uch di e *- u n d /i- W er te die g leic h en u n d m an e r h ä lt n ach Gl. 32 u. 33

Z 0 = — 0,4311 t, Z , = — 0,161 9 t, Z , = + 0,0152 t,

In d ie Abb. 9 u. 10 w u r d e n die e r re c h n e te n W e r te d e s Z ah len b e is p iels e in g e tra g e n . Es fällt d a b e i a u f , daß d ie M o m e n te d e s e la stisc h en und v o l lk o m m e n starren R inges stark v o n e i n a n d e r a b w e i c h e n . D ies ist dad u rch o h n e w e i te r e s erklärlich, d a ß b e i ela stisc h em S ta b r in g d e r g r ö ß te Teil d e r ta n g e n t ia le n Last P von d e n b e id e n S t ü t z s tä b e n 0 — 1 u n d 0 — 7 auf

g e n o m m e n w ird , w ä h r e n d b e i v o l lk o m m e n s ta rrem S t a b r in g ein g r ö ß e re r Teil d e r Last in die a n d e r e n N u t z s t ä b e g e le i te t wird, die d a n n im Ring s e lb s t die g rö ß e re n B i e g u n g s m o m e n te e rze u g en .

Alle R echte V o r b e h a lte n .

T a felg la sfa b rik nach d em F o u r c a u lt -

Von O b e r i n g e n i e u r E.

1. A l l g e m e i n e s .

B e k anntlic h w u r d e in D e u ts c h la n d bis zum J a h r e 1920 F e n ste r- u n d Tafelglas n ach d e m M u n d b l a s e v e r f a h r e n h e r g e s t e ll t , d e r a r t , d a ß durch G l a s b l ä s e r mit e in e r m e h r o d e r m i n d e r l an g e n Pfeife au s d e r S c h m elz w a n n e ein K lu m p en flüssiges Glas h e r a u s g e h o l t u n d zu g r o ß e n Z y li n d e rn g e b la s e n w u r d e , w e lc h e n a c h h e r a u f g e s c h n i tt e n , in S tre cköfen w i e d e r e r w ä r m t u n d v o n H a n d zu e b e n e n P la tte n g e b ü g e l t w u rd e n . D ieses V e r f ah r e n w a r m e h r als 100 J a h r e d a s s e l b e g e b li e b e n , n u r w a r b e im Bau n e u e r e r H ü t t e n d a rau f Rü cksicht g e n o m m e n , d e n G l a s b l ä s e r n d u rc h g e e ig n e t e L ü ftu n g s ein rich tu n g en w ä h r e n d ih rer s c h w e r e n A rbeit e tw as K ü h l u n g z u verschaffen. In Belgien u n d d e r T sc h ec h o slo w a k ei v e r w e n d e t e m an b e reits seit e in ig e n J a h r e n M aschinen nach d e m V erfah ren Fo urcault b z w . L ib b e y - O w e n s , u m das G las in e in e m e n d lo s flie ß en d e n B and aus d e r G la s w a n n e h e r a u s z u z ie h e n . Bei d e m F o u r c a u lt- V e r f a h r e n s te ig t das G la s in s e n k r e c h t e r R ichtung ho ch u n d w i r d , n a ch d e m d as Band eine g e w i s s e H ö h e e r re ic h t h a t , a b g e s c h n itte n u n d a b g e b r o c h e n . Bei d em V e rfah re n n ach L ib b e y - O w e n s s te ig t d as G l a s b a n d auch z u n ä c h s t s e n k r e c h t ho ch, w ird j e d o c h d a n n u m e in e W alze w a a g e r e c h t a b g e b o g e n u n d läuft n u n in e in e m Kanal auf W a lz e n bi s z u e in e m A b s ch n e id etis ch . In D e u ts c h la n d ist n u r e in e G l a s h ü t te nach d e m L i b b e y - O w e n s - V e r f a h r e n in B etrie b, w ä h r e n d j e d o c h e tw a z eh n H ü t t e n nach d e m Fou rc a u lt -V e rfah re n a rb eite n . M it d i e s e n V e r f ah r e n ist d u rc h e in e w e s e n tlich e V e r m in d e r u n g d e r A r b e its k r ä f te , fe rn er d u rch die V e r r in g e r u n g d e r A r b e its v o r g än g e , d u rc h V e r r in g e r u n g d e s G l a s b r u c h e s u n d schl ießl ich d u rch di e E r h ö h u n g d e r E r z e u g u n g g e g e n ü b e r d e m M u n d b l a s e v e r f a h r e n e in e w e s e n tlic h e V e r r in g e r u n g d e r H e r s t e l l u n g s k o s te n v e r b u n d e n . Im A n fa n g ve ru rs ac h te d ie H e r s t e l l u n g u n v e r z e r r te n G la s e s im m a s ch in ellen V erfahren g e w is s e S c h w ie rig k e ite n . H e u t e s in d je d o c h d ies e S c h w ie r ig k e ite n m it d e r V e r v o l l k o m m n u n g d e s V e rfah re n s fast v e r s c h w u n d e n . U m mit d e m A u s la n d e rfolgreich in W e t t b e w e r b tr e te n zu k ö n n e n , w a r e n die d e u ts c h e n G l a s h ü t te n g e z w u n g e n , ih re E r z e u g u n g e b e n f a lls m as ch in ell ein zuric hten . N a c h s t e h e n d ist e in e d e r m o d e r n s te n A n l a g e n n ach d e m Fo ur cault -Zieh- v e r f a h r e n , die d e r Tafel-, S a lin e n - u n d S p ie g elg las fab rik en A . - G . in N ü r n b e r g g e h ö r e n d e Tafelg lasf abrik in W e i d e n (O berpfalz ) e i n g e h e n d b e s c h rieb e n . D iese A n la g e w u r d e v o n d e r F irm a B. S e i b e r t G. m. b. H., Saarb rü ck en , erb au t.

Z ie h v e rfa h ren in W e id e n (O b erp falz).

M ö c k e l , Sa a rb rü c k e n .

In e n g e r Z u s a m m e n a r b e it u n d s t ä n d ig e r F ü h l u n g n a h m e mit d e m Leiter d e s g e n a n n t e n U n t e r n e h m e n s , G e n e r a l d ir e k t o r Dr. S e e l i n g , w u r d e die g e s a m t e G e s t a lt u n g d e r N e u a n l a g e in W e id e n na ch b a u te c h n is c h e n und g la s f a c h m ä n n is c h e n G e s i c h ts p u n k te n e n tw o r fe n u n d fe stgelegt.

2. B e s c h r e i b u n g d e r A n l a g e l n W e i d e n .

Die a ll g e m e in e A n o r d n u n g d e r A n la g e ist a u s Abb. 1 ersichtlich. Die H ü t t e ist für 9 M a sc h in en erstellt. Z u e r s t w u r d e n n u r 6 M a sc h in en e in g e b au t.

Ein J a h r n ach I n b e tr ie b n a h m e w u r d e n d ie 3 r e stli chen M a s c h in en a u fg estell t.

Die Rohstoffe für d ie G l a s e r z e u g u n g : S a n d , S o d a , K alk u n d Sulfat w e r d e n m ittels f a h rb a re r T r a n s p o r t b ä n d e r von E is e n b a h n w a g e n nach d e n g e r ä u m ig e n R o h b u n k e r n im G e b ä u d e t e i l A — B l — 7 (vgl. A b b . 1, 2 u. 3) be fö rd e rt. In e in e m an d ies e R o h b u n k e r a n s c h li e ß e n d e n M isc hraum w e r d e n die jew eils g e e i g n e t e n ein z eln e n R ohstoffe u n t e r B e n u tz u n g a u to m a tis c h e r W a a g e n g e m is c h t u n d m ittels e in e s B e c h e r w e r k e s in b e s o n d e r e B u n k e r von 75 m 3 In halt befö rd ert. D e r für e in e n g u t e n S c h m elz p ro z e ß e rfo rder

liche G l a s s c h e r b e n z u s a tz w ird a u s d e n d a n e b e n l i e g e n d e n S c h e r b e n b u n k e r n von eb en fa lls 75 m 3 In h alt e n tn o m m e n . D ie se S c h e rb en e n ts te h e n beim Z ie h p r o z e ß s o w ie b e im S c h n e id e n d e s G la s e s u n d w e r d e n d u rch g e e i g n e t e F ö r d e r e i n r i c h t u n g e n a u s d e m M a sc h in en - bzw . S c h n e id e s a al z u d e n S c h e r b e n b u n k e r n g e b r a c h t (Abb. 3).

Die e ig e n tlic h e S c h m e l z w a n n e (in d e r O f e n h a I l e ) ist e tw a 3 0 m lan g u n d h a t 6 m lichte Breite . Das G e m e n g e u n d d ie S c h e r b e n w e r d e n auf d e r E in l e g e b ü h n e v o r K opf d e r W a n n e m it tels k l e i n e r W a g e n au s d e n B u n k e r n a b g e z o g e n u n d in die W a n n e g e s c h ü tt e t . Rechts u n d links v on d e r O fe n h alle sin d in A n b a u t e n di e T e m p e r ö f e n e in g e b a u t , in w e lch e n d ie für d e n W a n n e n b e t r i e b b e n ö ti g t e n S c h w i m m e r u n d D e b i te u s e n auf die erforderlic he T e m p e r a t u r g e b r a c h t w e r d e n . U n t e r D e b i te u s e n v e r s t e h t m a n die au s e in e m S tück h e r g e s t e ll t e n g e b r a n n t e n T o n k ö r p e r , w'elche in d e r flüssigen G l a s m a s s e u n t e r d e n M as c h in en si tzen. Sie w e is e n e in e n M it te lsc hli tz auf, d u rc h w e l c h e n di e G l a s m a s s e in die M a s c h in en g e z o g e n wird. Beim E in s etz en d e r T o n k ö r p e r in d ie flüssige G l a s m a s s e m u ß eine b e s t im m te , z ie m lic h h o h e T e m p e r a t u r v o r h a n d e n se in. In e in e m w e ite r e n A n b a u b e f in d e n sich K e s s e lh a u s u n d S c h m ie d e .

Im e ig e n tlich e n M a s c h i n e n h a u s si n d im A n s ch lu ß an d ie S c h m e l z w a n n e d ie Z ie h w a n n e n a n g e o r d n e t, w e lch e drei K reu zfo rm en b ild e n u n d

(7)

Ofenhalle Scherbenbunker

Maschinenhalle

, -7.S5-

Schmelzmnne

\Zieh

wanne J 95Ö ^l?200^ Mischraum

m m __

j _ ^{i Ä} ^{L 7jgo_}J k o o . ^{¡ M} ^{ä L 5700}____

A W f/’ /C R ohion

6/as/agei

Treppenhaus

\ SchmeizNannp)

Maschinenhalle

i Schneidehalle I !

j Ofenbphne lebühne

Vehmaschu Kesselraum

u■Schmiede

Temper-Ofen

tRn/riebsraum p 12 3 0 0 0 0 '

is.Mnrz 1932 M ö c k e l , T afelgla sf abrik nach d e m E o u r c a u lt - Z ie h v e r f a h r e n in W eid en (O berpfal z) 4 7

ü b e r w elch en d ie Z ie h m a s c h in e n v o n e tw a 5 bis 5,5 m H ö h e sitzen. In d ies er H alle b e f in d e n sich:

a) die H a u p t b ü h n e auf + 4,5 m H ö h e z ur R e g e lu n g und B e o b a c h tu n g d e r T e m p e r a t u r d es flüssigen G la s e s in d e r Z ie h w a n n e , E in s etz en d e r D e b i te u s e n , E in le iten d es Z ie h v o r g a n g e s usw.,

b) ein e u m die Z ie h m a s c h in e n h e r u m a n g e o r d n e te Z w is c h en b ü h n e auf + 7,85 m H ö h e z u r M a s c h i n e n b e d ie n u n g u n d E n tf ern en von evtl. Bruchgla s b e im S p rin g e n d es G l a s b a n d e s w ä h r e n d d e s Zie hens , c) ein e A b s c h n c i d e b ü h n e auf + 9,855 m H ö h e , a u f w e ich e r d as G la s

b a n d , w e n n es ein e b e s t im m te r e g u lierb a re H ö h e erreicht hat, a b g e s c h n lttc n wird,

d) ein e A b b r e c h b ü h n e auf + 12,055 m H ö h e , a u f w e l c h e r die a n g e s c h n i tt e n e n S ch eib en a b g e b r o c h e n u n d auf Hoiz- g e s t e i l e g e s t a p e lt w e r d e n

(Abb. 3 u. 4).

Von h ier aus w e r d e n die G la s g e s t e l l e m it tels k lein er H u b w a g e n in die S c h n e i d e h a l l e P — 0 1 1 — 21 (Abb. 1) g e b r ac h t. In z w ei gro ß e n S älen v o n j e 22 m Breite u n d 4 0 m L än g e sind an d e n W ä n d e n e n tla n g ein e A nzah l S c h n e id e tis ch e au fg estell t, auf w e lc h e n das G la s s o rtiert u n d g e s c h n itte n wird. G le ic h ze itig wird in d i e s e n R ä u m e n d as G la s verpac kt.

Die für d i e V e r p a c k u n g b e n ö ti g t e n Kisten w e r d e n im K is te n la g e r (Erd

ge s c h o ß d e r S c h n e id e h aile) angeferti gt (Abb. 3). Auf H ö h e n k o t e + 3,75 b e findet sic h ein e B ü h n e von 4 0 - 22 m, w e lch e als L ag e rrau m für G lask isten

dient. Ein w e i te r e s G la s lag e r ist in Abb. 4. A b b r e ch e n ein e m b e s o n d e r e n , d irek t am A n

s chlußgle is l ie g e n d e n B au u n terg e b rac h t. In e in e r A b te ilu n g d ies es A n b a u e s b e fin d e t sich d as S tr o h la g e r zur S t a p e l u n g d es für d ie V e r p a c k u n g b e n ö ti g t e n S tro h e s. — D em V e r k e h r zw is c h en d e n b e id e n S c h n e id e s tu b e n , dem Stroh-, d em Kist en- u n d G l a s l a g e r d ie n e n zw ei an d e r S e lte n w a n d

S o w o h l Ofen- w ie M a s c h in en h a u s sin d w e g e n d e r h o h e n a u f tr e te n d e n T e m p e r a t u r e n m it d u r c h la u f e n d e n E n tl ü f t u n g s h a u b e n v e r s e h e n . F e rn e r sind in d e n B ü h n e n d e s M a s c h in en h a u s e s an g e e i g n e t e n S tell en L ü ftu n g s

s c h äch te u n d V e n til a to re n e in g e b au t, u m d e n A rb e ite rn an d e n M as c h in en frische bz w. b e w e g t e Luft z u zu fü h re n .

Die B e lic h tu n g erfo lgt durch d u rc h la u fen d e O b e rlic h te r in d e n H a l le n firsten, so w ie g ro ß e Fe n ste rflä ch e n in d e n U m f a s s u n g s w ä n d e n .

S o w eit w i e m öglic h si n d sä m tl ich e B ü h n e n im Ofen- u n d M a s c h in en h a u s u n a b h ä n g i g v o n d e n auf e ig e n en F u n d a m e n t e n r u h e n d e n Schm el z- u n d Z ie h w a n n e n g e la g ert. W o d ies w e g e n d e r K a n a lf ü h r u n g d e r W a n n e n

n ich t möglich w a r , si n d d i e A uf

lag er d e r B ü h n e n tr ä g e r und U n t e r zü g e m it W a lze n lag e rn a u s g e s ta tte t, um ein u n g e h in d e r te s A u s d e h n e n der W an n e n zu e rm öglichen. Bei d e r G r ö ß e d e r W a n n e n treten bei In

b e tr i e b n a h m e L ä n g e n ä n d e r u n g e n bis zu 80 m m auf. Bel e in e r G l a s h ü t te ln B elgie n w u r d e b e i e in e m neu- g e b a u t e n W erk b e o b a c h t e t , d a ß s chw ere S tü tze n au s 3 C 26 bis zu 9 0 m m v e rs ch o b e n w a r e n u n d durc h die E in s p a n n u n g tm B o d e n u n d an de r o b e ren B ü h n e eine ¿ - F o r m a n g e n o m m e n h a tte n . H ie rd u rc h sin d auch e rh eb lic h e S p a n n u n g e n im W a n n e n m a u e r w e r k se lb st a u fg etrete n . Ein w e ite r e s E rford ernis fü r ein ein w a n d f r e ie s A r b e ite n d e r M a s c h in en ist d ie nach träg lich e R e g u lie r u n g d e r S eite n- u n d H ö h e n l a g e d e r s e l b e n , je nach A u s d e h n u n g d e r W a n n e n nach I n b e tr i e b n a h m e bzw . nach g ro ß e n e in e r G lassch eib e. W an n e n r e p a r a tu r e n .

3. B a u l i c h e A u s b i l d u n g ,

a) D u r c h b i l d u n g d e s D a c h e s , d e r W ä n d e u n d B ü h n e n . Die D a c h e in d e c k u n g b e i all en H a lle n b e s t e h t a u s e is e n a r m i e r te n , 8 cm dicken B i m s b e t o n s t e g z e m e n t d ie l e n mit d o p p e lt e r tee rfreier P a p p iag e . Im

in d e r M itte d e r Sc h n e id e h aile lie g e n d e ele k tris ch e Aufzüge.

Die b eim Z ie h b e tr ie b und an d e n S ch n e id e tis ch e n e n t f a llen d e n Sc h e rb en w e r d e n in k lein e W a g e n g e s a m m e l t u n d j ew eils be i S c h ich tw e ch s el in drei bei N — O 7 a n g eb ra ch te B u n k e r m it tels K r e is elw ip p e r e n tle e r t. V on . d ie sen B u n k e rn au s f ü h rt ein b e s o n d e r e r Lauf

s t e g an d e r L ä n g s w a n d des O f e n h a u s e s e n tl a n g zu ein em S kipauf zug, w e lch e r die S cher

b e n in die S c h e r b e n b u n k e r ü b e r d e r E i n l e g e b ü h n e b e fö rd e rt.

A b b . I . G ru n d riß .

A b b . 2. Q u e r s c h n itt d u rch d ie O fe n h allc.

Schneidehaile

_ 339X1 ■ 31650

. ms.

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Abb. 3. Län gssc hnit t.

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