DER STAHLBAU
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S c h r i f t l e i t u n g :
25r.=3ng. A. H e r t w i g , G eh. Regierungsrat, Professor an der T echnischen H och schule Berlin, B erlin-C harlottenburg 2, T echnische H ochschule Fernsprecher: C I S te in p la tz 0011
Professor W . R e i n , Breslau, T echnische H och schule. — Fernsprecher: Breslau 421 61
B e i l a g e T U T T 7 D A T TUT 1 7 T U N T T T Z Fachschrift fQr das se- zur Ze i t s c h r i f t I ) | I T D A I J X 1~ + V V 1 I 1 \ 1 l K
sam te B au in gen ieu rw esenP reis d e s Jahrganges 10 RM un d P o stg eld
6. Jahrgang BERLIN, 15. September 1933 Heft 19
D a s „ K r a ftg r ö ß e n v e r fa h r e n “ und das „ F o r m ä n d e r u n g s g r ö ß e n v e r f a h r e n “ für d ie B e r e c h n u n g sta tisch u n b e stim m te r G e b i l d e . 1)
V on A . H e r tw ig , Berlin.
V o r b e m e r k u n g .
In der Praxis haben h ochgradig statisch unbestim m te G eb ilde B edeutun g gew o n n en , bei deren B erechnung Form änderungen als U n bekan nte zu b e nutzen vorteilhaft ist. D ie A rbeiten von E n g e ß e r , M a n d e r la , M o h r , O s t e n f e l d und M a n n 2) haben die V orzü ge b ei bestim m ten A ufgaben g e z e ig t, jedoch herrschen über die Vor- und N ach teile der b eid en Verfahren noch vielfach U nklarheiten. Daher sei es erlaubt, zunächst den inneren Zu
sam m enhang der b eiden Verfahren und ihre .D ualität" v ollk om m en heraus
zuarbeiten und dann N äh erun gslösu ngen, die an das M ohrsche K noten
drehw inkelverfahren der N eb enspan nun gsb erechn ung anknüpfen, in den allgem ein en Z usam m enhang ein zu b ezieh en .
§ 1. D ie G le ic h g e w ic h t s b e d in g u n g e n u n d d ie F o r m ä n d e r u n g s b e d in g u n g e n .
Es so llen G eb ild e betrach tet w erden , in denen gerad e oder gekrüm m te Stäbe m iteinander verb und en sind. An den V erb in d u n gsstellen der Stäbe können ein e, zw ei oder drei G egenkräfte en tsteh en , oder anders ausgedrückt, die verb u n d en en Stäb e können sich mit z w ei, ein em oder keinem F reih eits
grad g eg en ein an d er b e w e g en . Um die Betrachtung zu verein fach en , soll an gen om m en w erd en, daß d ie Stäbe en tw ed er v ollk om m en g eg en ein an d er verspannt oder nur durch w irkliche G elen k e m iteinander verbunden sind.
D enn jed e andere Verbindungsart kann auf reine G elenkverbindu ngen zurückgeführt w erd en . Krum m e Stäb e so llen durch v iele ck ig e Stab zü ge aus gerad en Stäben m it b ie g u n g sfesten V erbindungen ersetzt w erden.
D ie G eb ild e b esitzen : k , K notenpunkte erster Art, d. h. P unk te, in den en entw eder z w e i oder m ehrere Stäb e in einem G e l e n k Zusammen
stöß en (Abb. 1), tu K notenpunkte zw eiter Art, ln denen m in d esten s z w ei S täb e b i e g u n g s f e s t unter einem W inkel ^ n verb unden sind. D ie Ver-
e
bin dun gslinien der K notenpunkte k —e sind die A chsen der Stäbe k — e, Ihre A nzahl Ist s. Zu den . i n n e r e n “ Form änderungen geh ören die I.ängenänderungen J s k e der Stäbe und die V erdrehungen z k e der End
tangenten an ihren E inspannungen am E nd e k d e s Stab es g e g en d ie Stab
seh n e und die V erdrehungen xe k am Stab en de e (Abb. 2). Innere Form
änderungen gibt e s: s Längenänderungen J s der Stäbe, p T angenten
drehw inkel r bei p eingespann ten Stabenden.
*) D i e A r b e i t i s t m it f r e u n d l i c h e r E r l a u b n i s d e s V e r f a s s e r s u n d d e r F ir m a J. G o l l n o w & S o h n , S t e t t i n , a u s d e r e n 100 J a h r e s - F e s t s c h r l f t e n t n o m m e n .
2) E n g e ß e r , Ü ber die D urchbiegung von Fachwerkträgern und die hierb ei auftretenden zusätzlichen Spannungen, Zeitschrift für Baukunde 1879.
— M a n d e r la , D ie B erechnung der Sekundärspannungen im einfachen Fachwerk in folge starrer K notenverbindungen, A llg em ein e B auzeitung 1880.
— M o h r , D ie Berechnung des Fachw erks m it starren K notenverbindungen, Z ivilingenieu r 1892. — O s t e n f e l d , D ie D eform ationsm eth ode, Berlin 1926 (Springer). — M a n n , Theorie der R ahm enw erke auf n eu er G rundlage, Berlin 1926 (Springer).
Zu den . ä u ß e r e n “ Form änderungen gehören die V ersch ieb u ngen I und tj der K notenpunkte in Richtung der j:- u n d p -A ch se und die D rehungen v der K notenpunkte zw eiter Art in der Richtung von der x - zur y - A chse;
d iese Form änderungen I, y und v w erden auch mit und ?3 bezeich net.
Äußere Form änderungen gibt es am S y s te m : 2 k i K notenpunktverschiebungen I, y der K notenpunkte erster Art, durch d ie Stabdrehw inkel &k e entsteh en, 3 k2 K notenpunktverschiebungen und Drehungen f , y, r der K notenpunkte zw eiter Art.
D ie äußeren und inneren Form änderungen hängen durch die bekannten G leich u n gen zu sam m en :
0) (Ze — !*) cos « k e + (r)e — yk) sin <xk e = x 1 sk e
(2 ) T k c+ & k e = r k
— , {Ve — Vk)
(3) k e = y “ S in « * , + — - - c o s « k e . k e
Es g ib t s G leich u n gen der Form (1) und p G leichungen der Form (2), zusam m en s + p G leich ungen m it 2 k l + 3 k2 V ersch ieb ungen f. D iesen F orm än deru ngsgleichu ngen entsprechen die G leich gew ich tsb ed in gu n gen
(4) 2 S k e - c o s « k e = - P h x S S k e - s i n « k e = — P k
e e '
(5) 2 M k e = - M k ,
e
deren Zahl zusam m en 2 ^ + 3 ^ beträgt m it s + p Kraftgrößen S k e und M k e , in den en P und M d ie K notenlasten darstellen. D ie B eiw erte in den b eid en G leich u n g ssy stem en der G leichungen (1) und (2) ein erseits und den G leich ungen (4) und (5) andrerseits entsprechen einander so, daß die B eiw erte der Z ellen im S ystem 1 in den Spalten des Sy stem s 4 und die B eiw erte der Z eilen im S ystem 2 in den Spalten d es S y stem s 5 auf- treten.
In den s + p V ersch ieb u n gsb ed in gu n gen steh en 2 ^ + 3 k2 unbekannte V ersch ieb u n gen £, w enn die inneren Form änderungen J s und r g e g eb en s in d ; in den 2 + 3 k2 G leich gew ich tsb ed in gu n gen steh en s + p unbekannte Kraftgrößen S k e und M k e, w enn d ie äußeren Kräfte P k und Ai/; g e g eb en sind.
Ist s + p — 2* 1 + 3 £ 2, dann ist das betrachtete G eb ild e kinem atisch b estim m t und auch statisch b estim m t. Ist s + p > 2 + 3 k.2, dann ist das G eb ild e /¿ -fa ch kinem atisch üb erbestim m t und rA-fach statisch un
b estim m t, w en n s + p — 2 k x — 3 k2 = rk , s + p — rk = r d , rk + rd — n g e se tz t w erd en .
Ist s + p < 2 k l + 3 k, , dann ist das G eb ild e r/;-fach kinem atisch un
b estim m t oder b e w eg lich m it r k Freiheitsgraden.
Wir w o llen hier w eiter nur den Fall der statischen U nbestim m theit oder kinem atischen Ü b erb estim m th eit vom Grade rk näher untersuchen.
Es gib t also: 2 £1+ 3 f c2 G leich gew ich tsb ed in gu n gen m it s + p = 2/s, + 3&2 + r k unbekannten Kraftgrößen und s + p V ersch ieb ungsbedingu ngen m it 2 ^ + 3 ^ , — s + p — rk = r d unbekannten V ersch iebungsgröß en. D ie a u fg estellten b eid en G leich u n gssystem e w e ise n auf z w ei versch ied en e L ösu n gsw ege, w en n zw isch en den Kraftgrößen S und den V ersch ieb u n gs
größen £ nur lineare B ezieh u n gen vorhanden sind von der Form 2 k\ T 3 /¿2
(6) S m = S m o - 2 J S m i i i
1 = 1
(7) s« = e « o - ^ * / § |
S etzt man ln die s + p V ersch ieb u n gsgleich u n gen (1) und (2) die f nach G leich u n g (7) ein, so en tsteh en s + p G leich u ngen für s + p unbekannte
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D P R S T A H L B A U
H e r t w i g , Das „Kraftgrößenverfahren“ und das „Formänderungsgrößenverfahren“ usw. B e i l a g e z u r Z rli* irh rH i „ D ie B a u t e c h n i k “
Kraftgrößen. Teilt man die unbekannten Kraftgrößen in zw ei Gruppen, näm lich in d ie Gruppe der zu einem statisch bestim m ten G eb ild e not
w en d igen S 0 und in ein e Gruppe der statisch ü berzähligen X , so kann man r d G leichungen
(8) S m =
rd X :
zu einer Substitution benu tzen und dann die w eiteren rk -G leich u n gen mit rk unbekannten X t auflösen. Das ist das Kraftgrößenverfahren.
Auf dem anderen W ege führt man in die 2 £ , + 3 ß2 G leich g ew ich ts
bedin gungen (4) und (5) durch die G leich u n g (6) die 2 k x + 3 k2 unbekannten Form veränderungen £(- ein, so daß r,d G leich u n gen m it rd unbekannten £
B ela stet man w eiter d ie se s S ystem mit den ü b erzähligen X , so entstehen w eitere Form änderungen am H aup tsystem , die sich den ersten überlagern und eb e n so lineare F unktionen der X sind:
A bb. 4.
entsteh en . W elchen der b eiden W ege man g eh t, ist in b ezu g auf die R echenarbeit b ei strenger L ösu ng der G leich u n gen ziem lich g leich gü ltig, aber nicht gleich g ü ltig mit Rücksicht auf die Ü bersichtlichkeit und mit Rücksicht auf etw aige an zuw en d en d e N äherungsrechnungen. Im a llgem ein en kann man zunächst sagen : ist rd < i r k , dann ist das Form änderungsverfahren vorzu zieh en , ist rk < r d , dann das K raftgrößenverfahren. D ie Abb. 3 u. 4 z eig en B e isp iele für b eid e F älle.
Um die E lastizitätsgleichu ngen beim Kraftgrößenverfahren oder die G leich gew ich tsb ed in gu n gen beim Formänderungsverfahren oh n e die eben b esch rieb en e um ständliche a llg em ein e Substitution zu gew in n en , kann man d ie versch ied en sten W ege benu tzen: anschauliche A b leitu n gen b ei b estim m ten B eisp ielen oder das Prinzip der v irtu ellen V errückung oder das M inimum der Form änderungsarbeit. Ferner kann man b ei der Auf
ste llu n g der G leich u n gen g leic h Rücksicht nehm en auf ein e leichte Lösbar
keit, indem man die U nbekannten so w ählt, daß d ie V erteilu ng der U n
bekannten im G ielch un gssystem e in e einfache L ösu ng der h om ogen en G leich u n gen erm öglich t, w ie z. B. bei dreiglied rigen und ähnlichen G leich un gen . Zunächst so llen die G leich ungen ohne B enutzun g a ll
gem ein er Prinzipien ab g eleitet w erden, w e il dann die Zusam m enhänge am anschaulichsten erscheinen.
§ 2. D ie d u a le n V e rfa h re n .
U m die M erkm ale der b eiden Verfahren klar herauszuarbeiten, w ollen wir sie an ein em B eispiel erläutern, m üssen dab ei allerdings m anches B ekannte w ied erh olen .
Der W erkstoff d es eb en en S y stem s (Abb. 5), d. h. der E lastizitäts
m odul, d ie Stabquerschnitte, der Einfachheit halber m it festen Q uer
schn itten F und festen Trägheitsm om enten J, se ien g e g eb en . D ie Zahl
(10) J s j f = 2 X , 9 k i ,
ii
d. h. es en tsteh en auch Ä n deru ngen der Lücken und der W inkel zw ischen den Stab en den b ei a. Im g e g eb en en S ystem sind die Lücken nicht vor
handen und die Stabenden gegen ein an d er starr verspannt. Man gew in n t aus den b eid en g en a n n ten B elastungszu stän den den Form änderungszustand des g e g e b en en S y stem s, w enn man
(11a) J s x = J s p
setzt, und es entsteht ein G leich u ngssystem
(11b) ] X i S r i = 2 ' P m \ , n { r = 1.2. . . ! * ) ,
unter B enutzun g der G leich ungen (9) und (10), zur B erech n u n g der über
zäh ligen X , w en n man zugleich noch nach dem M axw ellsch en Satz <)'rm
= dm r schreibt. J ed e w eitere statische Größe S m wird durch die über
zähligen X ausgedrückt in der Form (12)
der G lcich gew lch tsb edin gu n gen von der Form (4) und (5) ist 2 + 3 k2
= 2 • 1 + 3 • 1 = 5, die Zahl der unbekannten Stabkräfte S k e und der Ein
sp ann ungsm om en te A lk e s + p — 15 + 8 = 2 3 , der Grad der statischen U n bestim m theit rk — 23 — 5 — 18. A ls statisch üb erzählige Größen X so llen gew ä h lt w erd en : elf Stabkräfte und sieb en V erspannungsm om ente zw isch en je z w e i Stäben am K notenpunkt a. Das statisch bestim m te H auptsystem ist also das G eb ild e der punktierten Stäbe mit G elenken b e i a und b und den ü berzähligen Stäben, d ie an den K notenpunkten a und b lä n gsb ew egilch und mit frei drehbaren Endtangenten bei a an
gesch lo ssen sind. Die im vorigen Paragraphen ein gefü hrte Substitution b ed eu tet nun nichts anderes als d ie Forderung, daß am System d ie G leich gew ich tsb ed in g u n g en und die F orm änderungsbedingungen m iteinander verträglich sind. A us d ieser Forderung folgt die folgen d e Betrachtung:
B elastet man das H auptsystem m it den äußeren B elastun gen , dann ent
steh en an den lä n g sb ew eg lich en A n schlüssen Lücken zw isch en den Stab
en d en und dem K notenpunkt und bei a W inkeländerungen zw ischen den Stäb en , die lineare Funktionen der B elastungen P sind:
0) JsP02Pm8km.
in d en en die W erte S m o und S m ,■ d ie statischen Größen S m im Haupt
system bei einem B elastungszu stan d X = 0 und im B elastungszu stand X l
— — 1 sind.
W ie verläuft das du ale Form änderungsveriahren?
Es gib t 2 3 A2 = 2 • 1 -f- 3 • 1 = 5 un bekannte Form änderungen
$a ;;a | Ä 7jb , das sind d ie K om ponenten der K notenpunktverschiebungen bei a und b, und der K notendrehw inkel v a , d ie alle zusam m en m it £ bezeich n et w erden so llen . D ie Zahl der F orm änderu ngsb ezieh ungen ist s + p = 15 + 8 = 23 und enthält s = 1 5 G leich u n gen von der Form (1) und p — 8 von der Form (2). Der Grad der kinem atischen Ü berbestim m t
heit rk ist r/ ( = = 2 3 — 5 = 1 8 . In den G leich ungen feh len also 18 U n bekannte. D ie feh len d en U nbekannten w erden w ied er aus der Forderung g ew o n n en , daß d ie F orm än deru ngsb ezieh ungen und d ie G leich gew ich ts
b ed in gu n gen verträglich sein m üssen. Es m üssen also außer den r d = 2 k y 4- 3 k2 = 5 unbekannten Form änderungen rk = 18 w eitere U n bekan nte in das G leich u n gssystem ein gefü hrt w erden . D ie notw en d ige Zahl w eiterer Unbekannter stellen d ie rk Kraftgrößen in den V erb indungen, w e lc h e die kinem atische Ü b erbestim m theit erzeu gen . D ie Kraftgrößen im kinem atisch bestim m ten S ystem , das ja auch statisch bestim m t ist, und d ie Kraftgrößen in den Ü b erb estim m th eiten m üssen im G leich gew ich t steh en . Drückt man nun a lle unbekannten Kraftgrößen als lineare Funktion der unbekannten Form änderungen nach G leich u n g (6) aus, dann stim m t die Zahl der G leich g ew ich tsb ed in gu n gen zw ischen den Kraftgrößen des kinem atisch bestim m ten S y stem s und den Kraftgrößen In den Ü b erbestim m th eiten gerade mit der Zahl rd der ersch ein en d en unbekannten Form änderungen f (. überein. D enn die Zahl der G leich g ew ich tsb ed in g u n g en entspricht der Zahl der V e r
sch ieb u n gsk om p on en ten , also der Zahl der unbekannten £,-. D ieser G ang entspricht w ieder der ob en b esch rieb en en rein form alen Substitu tion . In dem K raftgrößenverfahren sind d ie B ezieh u n g en 8m und S jt in den G leich ungen (11b) einfach zu berechnen. D enn es sind V erschieb ungen d es bestim m ten H aup tsystem s. S chw ieriger ist die D eu tu ng der Größen S m o und S m i in den G leich u n gen (6). Der Zustand £ = 0 stim m t nicht mit dem kinem atisch b estim m ten Z ustande überein. W ie sie h t’ein b ela stetes S ystem im Zustand £ = 0 au s? D ie K notenpu nk tverschieb un gen i¡k und die K notendrehw ink el r k m üssen 0 sein , d. h. die Endpunkte k der Stäbe lieg en fest und die S tab en den sind an den K notenpunkten k b ieg u n g s
fest an gesch lossen , haben starr ein gesp an n te nicht drehbare E ndtangenten.
Im übrigen können durch Z w isch en b elastu n gen zw ischen den festen K noten
punkten die Stäbe in der Stabachse und senkrecht zur Stabachse Form änderungen erleiden . B elastungen ln den K notenpunkten w erden an den festen K notenpunkten unm ittelbar aufgenom m en, erzeu gen also in den die K notenpunkte verbindenden T eilen kein e Spannung. Ein Zustand £( = — 1 m it £,• = — 1 und den übrigen £ = 0 entspricht einem S y stem , das un
b ela stet ist und ein en Freiheitsgrad b esitz t mit der V ersch ieb un g £(- = — 1.
Ist £(- ein e V ersch ieb u n g \ h oder >¡k d es P unktes k, so en tsteh en nach der Form el (1) in den Stabrichtungen k e Längenänderungen J s k e — c o s a k e oder = sin <xk e g leich der Projektion der V ersch ieb ung £,- = — 1 in der Stabrichtung, und ferner nach Form el (3) V erdrehungen der Stäbe &k e
= sin «k e ’. s k e oder cos ock e : s k e . D en Längenänderungen zJ s k e en t
sprechen Stabkräfte S k e und den Stabdrehungen &k e M om en te M k e . Sind die Stäb e zw isch en den starren K notenpunkten gerad e, dann g e lte n d ie folgen d en Form eln:
a) An ein em b eid e rseits elastisch ein gesp an n ten Balken en tsteh en bei V erdrehungen r k e = — 1 d ie M om ente
(12a)
M k e = - 4 E J ,k e
*ke
2 E J k t
° k e
(Abb. 6a).
J a h rg a n g 6 H e ft 19
15. S e p te m b e r 1933 H e r t w i g , Das »K raftgrößenverfahren“ und das „Form änderungsgrößenverfahren“ usw .
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b ei r k e =
An ein em nur auf einer S eite elastisch ein gespan n ten Balken entsteht 1
3 E J k e
(13) M k e = - ---- (Abb. 6b).
s k e
Abb. 6a u. b.
b) An ein em Balken, der an b eid en Enden starr ein gesp an n t und m it einer Last P und ein em Lastm om ent M b elastet ist, sind die Ein- sp an n u n gsm om en te
(14a) - p v i n m
112 r /
ek ' in fo lg e P y
( M k e = (Abb. 7 a).
( l4 b ) \ = + M 3 £ [2 — 3 £ ] } infoIge M
Ist der Balken nur an ein em Ende ein gesp an n t, so ist P„ l
(15a) M k e = -
(15b)
[ r - d T l in fo lg e p v
M (Abb. 7b).
M k c = + ‘2‘ [ 1 - 3 ( S T ]
q
C:
f l f f
D
b
b) ß
0
Abb. 7 a u. b.
s in d : (16)
c) D ie B ezieh u n g en zw isch en den Kraftgrößen und Form änderungen J s ,
-’A e '
k e s k e
E F ,
E J, k c * P k c
k e k c
(17) M ,.e — ok e [ 4 r k + 2 v e — 6 0-ke) , M ek — qk e ( 2 r k + 4 r e —- 6;>k , w en n b e id e S tab en d en an K noten m it K notendrehw ink eln , also an K notenpunkte zw eiter Art anschließen,
0 8 ) M k t = ek e ( i r k - 3 9 k e ).
w en n am E nde k ein K notenpunkt zw eiter Art, am K notenpunkt e ein Knotenpunkt erster Art liegt.
Ist £ = — 1 ein K notendrehw inkel, dann en tsteh en nach Form el (17) M om en te M k e = 4 Qk e und M e k — 1 q k e , w enn das Ende e auch ein e E inspannung b esitzt, und nach Form el (18) ein M om ent M he = 3 Qk e , w enn der Stab am E nde e ein G elen k b esitzt. Ferner entstehen an den K noten
punkten Querkräfte
M k c -f- M k 6 o k
d9)
Q k e = - kes —Ar e k e
an b eid erseits ein gesp an n ten Stäben und
(20)
Qk e = - ~ -s k e
b ei e in seitig b ei k ein gespan n ten Stäb en . Dam it sind d ie Z ustände £ = 0 und Ci = — 1 v o llstä n d ig besch rieb en .
An jed em K notenpunkt m it B ew eg lich k eiten gib t e s also entsprechend der Zahl der £ G leich g ew ich tsb ed in g u n g en der Form (4) und (5)
2 S k e -cosock e + P x = 0, 2 S k e - s l n « k e + P = 0, 2 M k e + M k = 0.
e e ^ e
S etzt man in d ie se G leich u n gen die S k c und i \ n M k e als Funktion der
£;- ein, dann en tsteh en G leich u ngen der Form
- 0, (21a)
(21b)
I 2 P ' - S k e W • c o s °~k e + ^ S L - co s «k e + P x
) i e e
2 S i 2 S k e Sr Sin «ke + 2 s°ke ■ sin «ke + P• = 0,
i e c *'
2 Si Z M k e t l + S M l e + M k e = 0.
D ie Su m m enausdrücke über d ie G rößen S k e , M k e und d ie S g e und M ak e sind K om ponenten der im Knotenpunkt k angreifenden Kraftgrößen b e i den Zuständen £(= — 1 und £ = 0 in den Richtungen £•. W erden sie mit Z b ezeich n et, dann lauten die G leich un gen:
(2 1c)
Für die B eiw erte Z ¡ j g ilt auch der Satz von der G eg en seitig k eit, denn das ga n ze duale Verfahren der Form änderungsgrößen folgt aus den Sätzen über die Form änderungsarbeit, daß e in e V ersch ieb ung S = - _
ö I und ein e K notenlast P = 0 A ist. D en Satz über die G eg en seitig k eit
0 <)
Z j ( — Z t j kann man auch m it H ilfe d e s Prinzips der v irtu ellen Verrückung e b en so b ew e isen w ie den Satz über d ie G eg en seitig k eit der Sjj = S j i.
D ie E lastizitälsgleich u n gen (11 b) d es K raftgrößenverfahrens kann man, w ie schon an ged eu tet, auch mit dem Prinzip der virtu ellen Verrückungen ab leiten , indem man die A rbeitsgleich ungen für den wirklichen Form
änderungszustand des g e g eb en en b ela steten S y stem s und die B elastu n gs
zustän de X t = — 1 ansetzt. D ie G leich ungen (21) d es Form änderungs
verfahrens kann man g ew in n en , indem man die A rb eitsgleich u n g für den wirklichen Kräfte- und Spannungszustand des g e g eb en en Sy stem s und die V ersch ieb ungszu ständ e £; — — 1 anschreibt.
D en Ordinaten der B iegu n gslin ie Smi beim Kraftgrößenverfahren en t
sprechen d ie Größen Z mi . Wirkt ein e Kraft P m am Starrsystem , dann en tsteh en am Punkt / in Richtung von £f K om ponenten Z m i. Nach dem Satz der G eg en seitig k eit kann man Z m i = Z lm se tze n . Z im wäre ein e Kraft P m im Punkte rn, d ie beim Zustand £,• = — 1 d iese V ersch iebung erzeugt. Trägt man d iese Kräfte auf den W irkungslinien der parallelen Kraft P m auf, so hat man ein e der B iegu n gslin ie entsp rech ende B elastu n gs
lin ie. Aus den Ordinaten dieser B elastungslin ien la sse n sich E influßlinien der £ zu sam m en setzen . D ie E influßlinie einer statischen Größe S m setzt sich zusam m en nach der G leich u ng (6) S m = S m 0 — 2 S m £,• aus der E influßlinic S m o d es Starrsystem s und den Einflußlinien der £,-. Natürlich kann man auch d iese E influßlinien als ein e ein zig e B elastu n gslin lc zu sam m en gesetzter V ersch ieb u n gszu slän d e £(- deuten.
Außerdem kann man auch im Form änderungsverfahren d ie Einfluß
linien als B iegu n gslin ien deuten. Das oben g e g e b e n e B eisp iel gehört In die A u fgabenk lasse, b ei der rd < . r k ist, denn das System ist 18 fach statisch unbestim m t, es sind aber nur fünf G leich u n gen m it unbekannten
£(- zu lösen.
Nun g ib t es aber in der Praxis w en ig sten s unter eb enen G ebilden w e n ig e A ufgaben mit rd < rlt. Es wäre also das Form änderungsverfahren gar nicht b ed eu tu n gsvoll, w enn e s nicht b ei m anchen G eb ild en ein en anderen großen Vorzug vor dem Kraftgrößenverfahren hätte. B ei Auf
gaben mit rd > r k , bei denen also die Zahl der unbekannten £(- größer ist als der Grad der statischen U n b estim m th eit, kann es trotzdem mit V orteil v erw en d et w erden, w e il man unter den unbekannten £(- leicht diejen igen ausschalten kann, d ie ein en geringen Einfluß auf das E nd
ergebn is haben. V on d iesen Fällen so ll der nächste A bschnitt handeln.
§ 3. N ä h e r u n g s lö s u n g e n b e im F o r m ä n d e r u n g s v e r fa h r e n . D ie B ed eu tu n g derartiger N äh erun gslösu ngen ist am klassisch en B ei
sp iel für das Form änderungsverfahren, näm lich an der N eb en sp an n u n gs
berechn ung e in es Dreieckfachw erks, am b esten zu erläutern. Im Dreieck- fachwerk hängen die K notenpu nk tverschieb un gen £ und tj nur von den L ängenänderungen J s der Stäbe ab. Sind nun die A u sb iegun gen der Stabachsenpunkte senkrecht zu den Stabachsen von derselb en G rößen
ordnung w ie d ie L ängenänderung in folge der g leich m äßig über den Stab
querschnitt v erteilten Längsstabkräfte, dann sind d ie Beiträge der Ver
bieg u n g en zu den Längenänderungen J s nur klein g e g en die J s , können also vern ach lässigt w erd en . So führt d iese einfache Ü b erlegu n g zu dem w ichtigen E rgebnis, daß man die K notenpunktverschiebungen £ und tj aus dem Fachwerk mit G elen k en , also ohn e N ebenspannun gen g en ü g en d gen au errechnen kann. Dann geh ören die £ und ij und die aus ihnen nach der Form el (3) bestim m baren Stabdrehw inkel zu den schon bekannten Größen, und unter den £ sind nur noch d ie K notendrehw inkel v unbekannt.
Bei k K notenpunkten zw eiter Art gen ü gen zur B erech nu ng der k un
bekan nten K notendrehw inkel d ie k M om en ten gleichu ngen .
Auf Grund der obigen Ü b erlegu n g von E ngeßer hat M anderla zuerst die N eb enspan nungen berechn et und Mohr d iese R echnung durch Ein
führung der K noten- und Stabdrehw inkel üb ersichtlicher gem acht. Führt man in die G leich u n g
2 £ , ■ 2 M k e + 2 M"k e A- M k = 0
{ e c
die Stab dreh w ink el i>k e ein, dann en tsteh en die bekannten G leichungen von M ohr:
(22) r k 2 A ? k e + 2 7 o k e r e= 2 6 ( > k c O-k e — 2 M k e M k( A = 1 , 2 . . k).
e e e
D as W esen tlich e d ieser N eb enspan nun gsb erechn un g ist d ieE n g eß ersch e Betrachtung, ob man die Stab dreh w ink el d es H auptsystem s für die Stab
drehw ink el des b ieg u n g sfesten G eb ild e s ein setzen darf. D as ist für das D reieckfachw erk n achgew iesen w orden. Natürlich darf man d ie se s Ergebnis nicht ohn e w eiteres auf andere F achw erke, z. B. auf ein R hom benfachwerk übertragen.
1 4 8
D E R S T A H L B A U
H e r t w i g , Das .K raftgrößenverfahren“ und das .Form änd erun gsgröß en verfahren“ usw . Beilage zur zeitschritt .Die Bautccimik*
E ine w eitere Gruppe von A ufgaben liefern die R ah m en system e. Sind hier die Stabdrehw inkel w en ig sten s te ilw e is e leicht bestim m bar? Solan ge das statisch bestim m te H aup tsystem nur g e r a d e Stäb e enthält, gelten natürlich d ieselb en Betrachtungen über die K notenversch iebu ngen I und y und die Stabdrehw inkel >7, so im n eb en steh en d en B eispiel A bb. 8. Hier gibt es nur drei G leich u n gen von der Form (22) für die drei unbekannten v . Enthält aber das statisch bestim m te H auptsystem noch erheblich gekrüm m te Stäbe oder Stab zü ge, dann können im a llgem ein en d ie Stabdrehw inkel nicht als bekannt vorau sgesetzt w erden. A ndrerseits brauchen aber bei v ielen Aufgaben nicht alle Stabdrehw inkel des statisch bestim m ten Haupt
sy stem s als U nbekannte eingeführt zu w erd en , sondern nur je nach der
b)
7777, 7 m , m z Abb. 8.
geforderten G en auigkeit der Rechnung ein e kleinere Zahl. U m die M indestzahl einzuführender Stabdrehw inkel fe stzu stelle n , sind von Fall zu Fall A bschätzungen n otw en dig. Um sie durchführen zu können, seien d ie Form änderungen einfacher G rund elem ente der R ah m cn geb ilde hier n eb en ein an d ergestellt, Abb. 9 a , b, c.
3 ) ^ = / ^ — - b c ) S3 = f y a 2 ' - Y j - Ist y 7 von derselb en G rößenordnung w ie S.,, dann ist d) um ein e G rößenordnung k lein er als ä2. Ist y 3 groß g e g en S2, dann ist S3 groß g e g en Sl und d2. Enthält nun ein H auptsystem krum m e Stäbe und Stab
zü g e der Form c), dann sind die Sehn en änd erun gen dieser G eb ild e und die K notenpunktverschie
bungen ihrer b ew eg lich en E nd
punkte groß geg en die Form änderungen <5) und d, der Stab
formen a) und b). D ie Form ände
rungen ä3 hängen aber ab von der M om en tenfläche dieser G eb ild e, erzeu gt durch d ie B elastung und die Ü b erzäh ligen. Sicher sind also die d3 des statisch bestim m ten H aup tsystem s und d es statisch unbestim m ten S y stem s nicht an
nähernd g leich . Daher können in der U ntersuchung von Rahm en
g eb ild en , deren H aup tsystem e krumme Stäb e und Stabzüge ent-
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3
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b)
V Z / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Z Z A
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Abb. 10a u. b.
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i ^ 777777^ 7777Z W 77777^ 97777P 77/, Abb. 11a u. b.
halten m it P feilhöhen / , die groß sind g egen ü b er den A b m essu n gen der Stäb e, d ie K notenpunktverschiebungen und die Stabdrehw inkel der Stab
seh n en im g e g eb en en S ystem nicht m ehr den entsprechenden V er
schieb un gen des statisch bestim m ten H aup tsystem s g leic h g e setz t w erden.
N och üb ersichtlicher kann die M indestzahl der U nbekannten fe stg estellt w erd en , w enn man auf das sogen an n te von O stenfeld und Mann benu tzte G rundsystem zurückgeht, das a lle Stab züge m it steifen Ecken in solch e m it G elen k en auflöst und p B ew eg lich k eiten besitzt. A ls un bekannte Form änderungen erscheinen dann k K notendrehw inkel v , p Stabdreh
w in k el und 5 Längenänderungen der Stäb e, d ie auch gekrüm m t sein können. Nun so llen nur klein e Größen erster Ordnung unter den Form
änderungen berücksichtigt w erd en . Dann lassen sich s ’ Längenänderungen gerader Stabe im statisch un bestim m ten S ystem den en d es statisch be-
K i o !
10 16 Z2. ¿8
9 15 il ¿7
s ¿0 ¿6
H
c t 2
stim m ten H aup tsystem s g leich setzen , und es b leib en nur k + p U nbekannte, d. h. im B eispiel der Abb. 10 fünf U nbekannte.
Im R ah m en geb ilde der Abb. 10b entspricht der Stabzug 0 — 1— 2 des statisch bestim m ten H aup tsystem s dem Fall c) der Abb. 9. Der Stab- drehw lnkel der S eh n e 0 — 2 ist abh ängig von den M om en ten, muß also als U n bekan nte eingeführt w erd en . D ie K notenpunktverschiebungen sind durch die Form änderungen des S tab zu ges 0 — 1— 2 im w esen tlich en b e stim m t. Es g en ü g t also, n eb en den unbekannten K notcndrehw inkeln
bis »'4 als fünfte U n bekan nte y 1L 17 23 29 den D reh w inkel O-0 _ , belzu - behalten und die übrigen Stabdrehw inkel durch t70_ , auszudrücken. N eb en den G leich ungen der Form (22) ist a lso noch ein e w eitere G leich ung aus denen der Form (21 a) au szu w äh len. W ie d ies am einfachsten m öglich ist, wird w eiter unten an ein em allgem ein eren B eispiel g e z e ig t.
Eine m öglichst a llg e m eine R egel für d ie bei R ah m en geb ilden ein zu fü h
rende M indestzahl un bekannter Stabdrehw inkel soll hier nicht g eg eb en w erden, es sei auf d ie U ntersuchungen von O sten feld und Mann ver
w iesen . Es so ll das Verfahren nur an einem h eu te w ichtigen B eispiel erläutert w erd en , dem m eh rstieligen Stockw erkrahm en m it z s Stielen und z e Stockw erken. Sind a lle Ecken und F üße eingespannt, dann ist der Grad der statischen U n bestim m theit rk gleich 3 (z s — 1) z e. Beim Form änderungsverfahren erscheinen zunächst z s - z c unbekannte K notendreh
w in k el. Durch ähnliche Ü b erlegu n gen , w ie ob en beim B eispiel der Abb. 11, findet man, daß z e unbekannte Stabdrehw inkel in den G leich ungen b eib eh alten w erd en m üssen, so daß (z s + l ) z e U nbekannte ersch einen.
Man hat also beim Form änderungsverfahren 2 (zs — 2) z e U n bekannte w en iger als beim Kraftgrößenverfahren.
Zur B erechnung der U nbekannten steh en zunächst die M om en ten
gleich u n gen der Form (22) zur V erfü gun g. D ie A usw ahl w eiterer not
w en d iger G leich ungen für die
7 13 19 ¿5
6 1Z 18 Z6
Abb. 12.
a) U nbekannten & aus den G leich un
g e n der Form (21 a) ist unbequem . Man stellt am einfachsten nach dem V orschlag von D o m k e 3) die erforderlichen un abhängigen G lei
chungen m it H ilfe d es Prinzips der virtu ellen V errückung auf.
(23) W2 h2 0 2 + &2 ( Mi2 + M 2l + Af78 + Mg 7 + . . . ) = 0. Mit Form el (17) w erd en die M om en te ausgedrückt
44*2 4" Af2i = 6 $12 ( h 4“ r 2 2 ^12) usw . und e in g esetzt. Dann en t
steh t für jed es Stockw erk ein e G leich ung
(23 a) Wk h k + 6 k 2 [ v { k _ i u
4" v ki) ° \ k - \)k
— 12 -S & \ k _ i)k p'(A _ i, k — 0, in der die S u m m en über alle K notenpunkte i der D eck en lage k auszu d eh n en sind. Schreibt man erst die G leich un gen der Form (22) und dann die eb en entw ickelten (23a) an, dann en tsteh t ein Raster, das sich durch fortgesetzte A uflösun g d reiglied riger G leich u n gen lö sen läßt, das zu zeig en hier zu w eit führen w ü rd e. N atürlich kann man auch Iterationen oder V ernachlässigungen m annigfacher Art ein führen.
B eim Kraftgrößenverfahren benutzt man m it Erfolg statisch unbestim m te H au p tsystem e, um die R echnung übersichtlicher zu gestalten . Beim Form
änderungsverfahren gib t es entsp rechen de M aßnahm en. Sie seien auch an einem B eisp iel erläutert (Abb. 13).
D ie Zahl der unbekannten Form änderungen ist 7 - 3 = 21, die Zahl s der gerad en Stäb e ist s — 10 und d ie Zahl p der T angenteneinsp ann ungen ist p = 20.
3) D o m k e , Handbuch für E lsenb etonb au, Bd. 10.
Abb. 13a bis c.
J a h rg a n g 6 H e it 19
15. S e p te m b e r 1933 H e r t w l g , Das „Kraftgrößenverfahren* und das „F orm änderungsgrößenverfahren“ usw . 1 4 9
Das System ist neunfach kinem atisch üb erbestim m t und vom g leich en Grade statisch unbestim m t. Da man aber nicht alle Form änderungen als U nbekannte einzuführen braucht, kann das Form änderungsverfahren trotz
dem brauchbar sein.
Man könnte die K notendrehw inkel r 2, r 4, v a und die Stabdrehw inkel der S eh n e t>02, 0-2 i , 0-i e , Fea, also sieb en U n bekan nte einführen, oder
man kann d ie K notendrehw inkel v 2 und v 6 und d ie Stabdrehw inkel i9-02,
>9-68 oder ein en Stab dreh w ink el und d ie Längenünderungen -V26, also im ganzen fünf U nbekannte benu tzen, dann m üssen d ie S tab zü ge 0 — 1— 2 und 2 — 3 — 4— 5 — 6 als Starrsystem für sich betrachtet und ihre Form
änderungen berechn et w erden. Das entspricht der B enutzun g statisch un
b estim m ter H aup tsystem e beim Kraftgrößenverfahren.
Ü ber d ie E r h ö h u n g d er F lie ß g r e n z e in p r is m a tis c h e n B a lk en a u s Baustahl.
E. C h w a lla , Brünn.
A lle R e c h te V o r b e h a lte n . V on Prof.
Den U ntersuchungen der auf B ieg u n g beanspruchten Stäb e aus Bau
stahl lieg en so w o h l innerhalb als auch außerhalb d es H o o k e s c h e n B ereiches die fo lg en d en V oraussetzungen zugrunde:
1. D ie Q uersch nitte bleib en eben und senkrecht auf der Stabachse ( B e r n o u 11 Isch e H y p o th e se )1). H- D ie Q uerschnittsfigur d es Stab es erfährt w ährend der B elastu n g kein e merkbare V eränderung. III. In jenen Fasern, in den en d ie sp ezifisch e L ängenänderung m onoton anw ächst, gehorchen d ie Faserspannungen dem für gleich m äß igen Z ug oder Druck g elten d en Sp an n u n gs-D eh n u ngs-G esetz. IV. In jen en Fasern, in d enen d ie sp ezifisch e L ängenänderung nach Erreichen ein es en d lich großen W ertes ein en Abbau erfährt, gilt das lineare E lastizitätsgesetz der Entlastung.
Z u V o r a u s s e t z u n g I. Innerhalb d es G eltu n gsb ereich es des H o o k e s c h e n G esetz es ist die B erechtigu ng dieser V oraussetzu ng für den Fall der querkraftfreien B ieg u n g exakt n a ch g ew iesen . Bei V orhandensein von Querkräften treten gerin gfü gige V erw ölb un gen der Q uerschnitte auf, deren Einfluß, w ie der V ergleich mit exakten L ösungen der Elastizitäts
theorie zeig t, vernach lässigt w erden darf; bei konstanter Querkraft ergibt sich ungeachtet d ieser Q uersch nittsverw ölb ung ein linearer A n satz für die a x ia le D eh n u n g e x unm ittelbar als F o lg e der S t. V e n a n t s c h e n A n
nahm e dy = d z = Ty z = 0 2). Für die Z ulässigk eit der B e r n o u l li s c h e n H y p o th ese außerhalb des H o o k e sc h en B ereiches sprechen die E rgeb nisse zahlreicher V ersuche, d ie m it G uß eisen b alk en ( B a c h 3), P i n e g i n 4), L u d w i k 5), H e r b e r t 6) u. a.) und armierten B etonbalk en durchgeführt wurden; auch ein V ersuch B a u s c h i n g e r s m it ein em F iu ßstah lbalken und die ex p erim en telle B estätigu n g der unter V oraussetzu ng eben b leib en d er Q uerschnitte berechn eten K nicklasten gedrungener B austahlstäbe darf zur S tü tzu ng der H yp oth ese angeführt w erden. E ine th eoretisch e Begründung der Z ulässigk eit ein es linearen A n satzes für d ie axiale D ehn un g ex b ei b elieb ig em F orm än deru ngsgesetz w urde von G r ü n i n g 7) und D o m k e 8) g e g e b e n . G r ü n i n g setzt lin eare M om en ten verteilun g und V erhältnis
gleic h h e it der Längs- und Q uerdeh nung voraus und zeig t, daß dann die V erträglichk eitsglelchu ngen auch bei nicht linearen F orm än deru ngsgesetzen durch ein en linearen A nsatz für d ie axiale D eh n u n g t x b efried igt w erd en . D o m k e untersucht die G leich g ew ich tsla g e e in es auf B iegu n g beanspruchten Stab es vom F orm än deru ngsgesetz d = c p ( e ) und schreibt für die im Q uer
schnitt , F “ vorhandene N orm alspan nungsverteilu ng die B ed in gu n gen A/ = f d • d F , A4 — f d • | • d F an, w o b ei den Norm alabstand der F läch en e le m en te von der N u llin ie (die als Hauptachse vora u sg esetzt wird) b ed eu tet.
Er läßt den Fall z u , daß die Längenänderungen *A. - d x der ein zeln en Fasern und die V erdrehungen dco der e in zeln en F läch en elem en te während der B elastung b e lie b ig e W erte an n eh m en , definiert d ie Größen ?0 - d x und dco0 als Durchschnittsw erte aller im Q uerschnitt , F “ vorkom m en den cx - d x b zw . d ca und variiert den vorhandenen Spannungszustand. D ie Schnitt
größen leisten h ierb ei die v irtu elle Arbeit
*0 ■ d x • S N + d c a 0. S M = e0 ■ d x f ä d ■ d F + d m 0f S d ■ | • dF, während die innere Arbeit f e x - d x - S d - d F b c t r ä g t . Für den G leich gew ich ts
zustand g ilt dann d ie B edin gu n g
J [ f ‘x - d x - S d - d F — e0 - d x f S d ■ d F — d c o J S d • g . d F ] = 0
d c o,.
oder f d x f S d
d x dro0
d x
d F — 0,
: C4 + C2* |, a lso b ei einer linear erfüllt w erd en kann.
d ie a llg em ein nur mit * = *0 + über den Q uerschnitt verteilten D ehnun g
Z u V o r a u s s e t z u n g II. Bei Balken mit V ollquerschnitten ist d iese V oraussetzu ng praktisch im m er erfüllt. V om exak ten Standpunkt tritt allerdings ein e Ä nderung der Q uerschnittsfigur zu fo lg e der Q uerdehnung ein, so daß sich das Q uersch nittsträgheitsm om ent während der B elastung etw as ändert und der funktionale Z u sam m en hang z w isch en dem Spannungs-
») J.
2) E.
3) C.
4) W.
6) P.
6) H.
7) M.
S. 153.
®) O. D o m k e , H andb. f. E lsenb etonb au, 4. Aufl., I. Band, S. 269.
B e r n o u l l i , Mdm. d e Paris, 1705.
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m om ent „A4“ und der örtlichen Krüm m ung „k " nur mit (allerdings w e ite st
g eh en d er) Annäherung ein linearer ist. B ei Stäben mit dünnw andigen H ohlquerschnitten kann d ie Q uerpressung, die im Z uge der A u sb iegun g auftritt, ein e merkbare A bplattung der Q uerschnittsfigur und dam it eine m erkbare Ä nderung der B ieg esteifig k eit zur F o lg e haben , wodurch der Z usam m enhang zw isch en „A4“ und „k “ auch nicht näh erun gsw eise linear wird. B ei Stäben m it Q uerschnitten, die ein e starke A bplattung zulassen (w ie z .B . b ei dünnw andigen Rohren), kann die Kurve M = f ( k ) sogar ein ausgeprägtes M aximum au fw eisen ; das Sp annungsm om ent und die auftretende größte N orm alspannung ist dann an ein en Größtwert geb u n d en, der auch b ei b e lie b ig großer Krüm m ung nicht überschritten w erden k an n 9).
Z u V o r a u s s e t z u n g III u n d IV. Sind d ie V oraussetzungen 1 und II erfüllt und d ie Spannungs-D ehnungs-K urven für die B iegezu g- und B ieg e druckspannungen b ek an n t, dann kann jed em W ert , k “ der örtlichen A chsenkrüm m ung im Rahm en der „technischen B ieg u n g sleh re“ ein d eu tig ein W ert d es inneren S p ann un gsm om en tes zu geord n et und dam it die Funktion M — f ( k ) analytisch oder graphisch fe stg e le g t w erden . Nach V oraussetzu ng III und IV w erd en hierbei die S p a n n u n g s-D eh n u n g s-L in icn der B iegesp an n u n gen einfach durch die Form änderungskurven für g le ic h m äßigen Z ug und Druck ersetzt. Schon C o n s i d è r e 10) und R i t t e r 11), der d ie B tegesp an n u n gsverteilu n g in ein er überlasteten E isenb ahnsch iene graphisch b estim m te, war dieser L ö su n g sw eg bekannt und E n g e ß e r 13), S c h ü l e , B a c h 8), P i n e g i n 4), M e y e r 13), H e r b e r t 8) und P e t e r m a n n 14) b ed ien ten sich d ie se s V erfahrens bei der U ntersuchung d es auf B iegu n g beanspruchten G u ß eisen b alk en s; bei der genauen Spannungserm ittlung in arm ierten B etonbalken w urde es von M ö r s c h 15) und H e i n t e l 16) ein
geführt und seith er vielfach an g ew en d et.
D ie Z u lässigk eit d ie se s L ösungsverfahrens ist für Balken aus spröden W erkstoffen durch d ie B estätigung der zahlreichen exp erim en tellen Er
g e b n isse n ach gew iesen ; b ei Balken aus B austahl, ein em zähen W erkstoff mit ausgeprägtem plastisch en Bereich, p flegt man sie vornehm lich aus zw ei V ersuchen ab zu leiten , die M e y e r 13) vor 25 Jahren mit prism atischen Balken durchführte. D ie Balken hatten d ie A b m essu n gen 5 0 • 100 • 1300 mm und w urden in der M itte durch ein e E inzellast belastet. M e y e r hat für v ersch ied en e Laststufen die D u rchb iegun g und d ie E ndverdrehung d es B alkens g e m essen und m it den W erten verglich en , d ie in der g eschild erten W else aus der Form änderungskurve für gleichm äßigen Z ug und Druck en tw ick elt w erd en konnten. D ie so g ew o n n en en Lösungskurven zeig en im allg em ein en ein e g u te Ü b erein stim m u n g, lassen jedoch erkennen, daß d ie g e m ess e n en D u rchbiegungen und V erdrehungen v ie l länger dem H o o k e s c h e n G es etz e folgen , als nach der gesch ild erten Theorie zu er
w arten w äre. D ies b ed eu tet, daß die G renze d es H o o k e sc h e n B ereiches im Balken höher als beim ein ach sigen V ersuch g e le g en Ist; die Durch
b iegu n gen und E ndverdrehungen waren aber als ein zig b eobach tete G rößen nicht g e e ig n e t, derartige Ä nderungen in der B iegesp an n u n gs
v erteilu n g m it auffallender D eutlich keit zu z eig en , und daher g in g auch M e y e r auf d ie se E rscheinung nicht näher ein. V ie le Jahre später fand E i s e l i n 17) b ei der Durchführung von Z ugversuchen mit g elo ch ten Stäben, daß die E lastizitäts- und d ie F ließgren ze am Lochrand erheb lich über den üb lichen W ert g e h o b e n w erd en kann, und auch B i e r e t t 18) konnte b ei sein en in großem M aßstab durchgeführten U ntersuchungen von B olzen verb in du n gen ein e überraschend starke Erhöhung der E lastizitäts
gren ze n ach w eisen . D ie örtliche B ehind erun g der Form änderung schien von w esen tlich em Einfluß auf d ie H öh en lage der Elastizitäts- und F ließgren ze zu sein und es war daher zu erwarten, daß sich ähnliche Erscheinungen auch b ei der B iegu ng von Baustahlbalken bem erkbar
9) V g l. E. C h w a l l a , W iener B erichte, IIa, 1931, S. 163, und Z. f. ang.
Math. 1933, S. 48.
10) A. C o n s i d è r e , Ann. ponts ch a u ssées, 1886.
u ) W. R i t t e r , A n w en d u ngen der graphischen Statik, I. Band, Zürich 1888.
12) F. E n g e ß e r , Z. d. V d l 1898, S. 903.
1S) E. M e y e r , Z. d. V d l 1908, S. 167.
14) J. P e t e r m a n n , Dissertation, Berlin 1914.
15) E. M ö r s c h , Der E isenb etonb au, 3. A ufl., Stuttgart 1908.
lö) K. H e i n t e l , B erech nu ng der E insenkung von E isenbetonplatten und Plattenb alk en , Berlin 1909.
17) O. E i s e l i n , Bauing. 1924, S. 250.
1S) G. B i e r e t t , Mitt. d. d eutsch en M aterialprüfungsanst., Sonder
heft XV, 1931.
. ■ D E R S T A H L B A U
15U C h w a l l a , Uber die Erhöhung der Fließgren ze in prismatischen Balken aus Baustahl B e i l a g e i u r Z e i t s c h r i f t . D i e B o u te c h n i k -
m achen m üssen. T h u m und W u n d e r l i c h 10) stellten den Beginn des F ließ en s in derartigen Balken m it H ilfe der Fließfiguren fest und konnten tatsächlich ein en starken Einfluß der Q uerschnittsform auf die F ließ gren zen lage aufzeigen; für Balken m it quadratischem Q uerschnitt ergaben sich F ließgrenzenerh öhu ngen von 36 bis 45 °/0, b e i B ieg u n g um die D iagonale solch e bis zu 8 3 % und b ei Profilen, die aus schm alen Recht
ecken zu sa m m en g esetzt sind, b loß so lch e von etw a 6% . K u n t z e 20) veröffentlichte hierauf ein e einfache B ezieh u n g für das zu erwartende Maß der F ließgren zenerh öhu ng, indem er das .W id erstan dsm ittel* der Streckgrenze g leic h se tzte , und P r a g e r 21) sk izzierte ein e auf N a k a n i s h i 22)
1 r 1
1 ! 1
♦
¡ 2201 .
100_
100 ¡ _ 220 ~ T\a) B elastungsschem a.
b) Spiegelanordnung.
A bb. 1 a u. b.
zurückgehende und aus dem V ergleich mit dem S ied e v erzu g von F lü ssig keiten entw ickelbare Theorie der F ließgren zenerhöhu ng, d ie sich den V ersu ch sergeb n issen T h u m - W u n d e r l i c h s anpaßt.
Im folgen d en so ll nun über z w e i V ersuche berichtet w erd en , deren Ziel d ie Erm ittlung d es g e s a m t e n V e r l a u f e s der S p a n n u n g s - D e h n u n g s -
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kgem % 0 0loo + — 4- —
5 500 0,080 0,080 188 202
22000 0,340 0,324 750 806
44 000 0,692 0,648 1506 1618
55 000 0,864 0,804 1892 2032
60 500 0,948 0,884 2080 2234
66000 1,036 0,964 2268 2435
71 500 1,120 1,040 2455 2635
77 000 1,200 1,120 2648 2845
82 500 1,284 1,196 2840 3052
88000 1,364 1,276 3030 3253
93 500 1,452 1,356 3215 3455
99 000 1,536 1,436 3388 3640
101 750 1,576 1,472 3460 3715
104 500 1,620 1,516 3535 3795
107 250 1,664 1,556 3600 3870
110000 1,712 1,600 3665 3935
112 750 ! 1,756 1,644 3720 4000 3865 3865
115 500 1,804 1,708 3750 4025 4050 3735
118 250 1,852 1,756 3770 4050 4250 3612
121000 : 1,912 1,820 3760 4040 4430 3480
123 750 ^ 1,984 1,920 3720 4000 4540 3350
126 500 2,044 1,996 3614 3880 4410 3255
129 250 2,144 2,200 3505 3765 4220 3190
132 000 2,512 2,480 3370 3620 3970 3115
134 750 2,784 2,872 3290 3535 3628 3220
137 500 i 5,076 5,164 3240 3480 3428 3290
138 600 5,348 5,472 3260 3505 3415 3350
139 700 5,644 5,760 3265 3508 3420 3354
140 800 8,484 8,756 3275 3520 3465 3325
141 900 10,392 12,160 3778 3525 3690 3145
K u r v e der in prism atischen Baustahlbalken auftretenden B iegesp ann ungen w ar23); d ie se s Problem ist nicht nur von grundsätzlicher B ed eu tu n g für die
10) A. T h u m und F. W u n d e r l i c h , D ie F ließgren ze b ei behinderter Form änderung, Forschung auf dem G eb iete d. In gen ieu rw esen s 1932, S . 261.
20) W. K u n t z e , Erm ittlung d es E influsses ungleichförm iger Span
nungen und Q uerschnitte auf die Streckgrenze, Stahlbau 1933, S. 49.
21) W. P r a g e r , D ie F ließgren ze bei behinderter Formänderung, F orschung auf dem G eb iete d. In gen ieurw esens 1933, S. 95.
22) F. N a k a n i s h i , Rep. Aeron. Res. Inst., T okio 1931, S. 83.
23) D ie V ersuche w urden im Laboratorium für E lastizität und F estig keit an der D eutschen T echnischen H ochschule in Brünn vorgen om m en.
Für die freundliche Ü b erlassu ng des Laboratoriums bin ich Herrn Prof.
Dr. R. G i r t l e r und für d ie Mitarbeit den Herren ing. W e in h o l d und
T heorie d es Stahlbaues, sondern kann auch bei der A u sw ertung versch iedener V ersuche m it M odellstäb en e in e R olle sp ielen . D ie V ersuche erfolgten in A n
leh nu ng an d ie U ntersuchungen, die H e r b e r t im Rahmen seiner G öttinger D issertation 6) mit G uß eisenb alk en vornahm . D ie Probebalken hatten die A b m essun gen 66 • 40 • 800 mm und waren an den Schm alseiten abgeh ob elt;
das M aterial war ein w eich er Elcktrostahl der Marke „Poldi T8“. Der T afel II.
M S. <
11 O k g /c m 2 k g /c m 2 k g /c m 2 kg ,'cm2
kgcin »/«O %0 + - + -
5 500 0,100 0,100 190 190
22000 0,404 0,424 760 760
44 000 0,792 0,820 1537 1537
55 000 0,968 0,984 1925 1925
60 500 1,056 1,068 2120 2120
66000 1,144 1,172 2315 2315
71 500 1,236 1,256 2512 2512
77 000 1,328 1,340 2705 2705
82 500 1,416 1,424 2895 2895
88000 1,496 1,512 3100 3100
93 500 1,584 1,600 3280 3280
99 000 1,680 1,688 3460 3460
101 750 1,728 1,732 3545 3545
104 500 1,776 1,776 3620 3620
107 250 1,816 1,816 3700 3700 3775 3625
110000 1,872 1,900 3765 3765 4010 3555
112 750 1,928 1,956 3820 3820 4450 3355
1 1 5 5 0 0 1,980 2,064 3875 3875 4730 3285
118 250 2,024 2,128 3920 3920 4900 3272
121000 2,072 2,200 3955 3955 4935 3300
123 750 2,124 2,268 3960 3960 4715 3415
126 500 2,164 2,360 3910 3910 3910 3910
129 250 2,232 2,384 3890 3890 3245 4860
132 000 2,624 2,560 3380 3380 3072 3755
134 750 3,900 4,080 3240 3240
137 500 ; 5,988 5,980 3250 3250
140 250 11,136 10,724 3295 3295
statische Z ugversuch, der mit N orm alstäben aus d erselb en Charge durch
geführt w urde, ergab im M ittel die Streckgrenze d$ — 2,47 t/cm 2, die Z u gfestigk eit dz — 3,75 t/cm 2, d ie Bruchdehnung <% = 2 6 % und d ie Ein
schnürung = 6 9 % . Die Balken w urden in einer L osenh ausen-U niversal- priifm aschine (Typ U H P , 15 t M eßbereich) durch zw ei gleich große Kräfte P
T afel III.
M
kgem
cu
% 0
eo
°/oo
au
k g /c m 2
do
k g /c m 2
140 250 11,136 10,724 + 3295 — 3295
132 000 11,076 10,668 + 3019 — 3019
121000 10,944 10,564 + 2657 — 2657
110000 10,820 10,436 + 2301 — 2301
99 000 10,672 10,300 + 1944 — 1944
88000 10.520 10,160 + 1594 — 1594
77 000 10,352 10,000 + 1243 — 1243
66000 10,180 9,840 + 900 — 900
55 000 10,000 9,660 + 555 — 555
44 000 9,816 9,476 + 208 — 208
33 000 9,620 9,280 — 139 + 139
22000 9,420 9,080 — 490 + 490
11000 9,216 8,876 — 835 + 835
5 500 9,100 8,768 — 930 -1- 930
11000 9,160 8,824 — 739 + 739
22000 9,340 9,000 — 376 + 376
33 000 9,524 9,176 — 10 + io
44 000 9,700 9,352 + 380 — 380
55 000 9,872 9,524 + 771 — 771
66000 10,044 9,696 + 1162 — 1162
77 000 10,208 9,852 + 1560 — 1560
88000 10,376 10,008 + 1955 — 1955
99 000 10,532 10,160 + 2365 — 2365
110000 10,696 10,308 + 2760 — 2760
121000 10,844 10,452 + 3150 — 3150
nach Abb. 1 a b elastet, so daß im M ittelfeld e der Fall querkraftfreier B iegu n g vom M om ent Af = 2 2 , 0 P t c m vorlag. D ie M essun g der oberen und unteren Randdehnung erfolgte bis tief im plastischen Bereich mit H ilfe von D o p p elsp ieg eln , d ie zu b eiden S eiten d es B alkens angeordnet Dr. S c h e i n o s t zu Dank verpflichtet. D ie g esam te rechnerische A u s - '' w ertung der V ersuche hat m ein A ssisten t, Herr Ing. W. J o s c h t , durch
geführt.
