Wybrane zagadnienia matematyki XIX wieku
analiza – Cauchy i Weierstrass algebra – Abel i Galois
geometrie nieeuklidesowe – Riemann, Łobaczewski i Bolyai,
teoria mnogości – Cantor i Zermelo, topologia –Poincare i Riesz.
Hilbert i jego Problemy
Precyzja w analizie
Augustin Louis Cauchy (1789-1857) matematyk francuski, autor wzorcowych podręczników analizy matematycznej.
Sprecyzował podstawy analizy, opierając je na pojęciach granicy i ciągłości. Był pierwszym, który podał
precyzyjny dowód twierdzenia Taylora, ustanawiając jego powszechnie znaną postać różniczkową.
Zawdzięczamy mu również kilka ważnych twierdzeń
analizy zespolonej (twierdzenie o residuach), równań różniczkowych oraz zapoczątkowanie studiów nad
grupami permutacyjnymi i teorią wyznaczników.
Carl Weierstrass (1815-1897) - matematyk niemiecki, zwolennik arytmetyzacji analizy matematycznej, twórca precyzyjnego pojęcia granicy funkcji. Pracował też nad teorią funkcji analitycznych i teorią szeregów.
Wiele jego prac dotyczy również rachunku
wariacyjnego. Nauczyciel Georga Cantora, Feliksa Kleina i Sofii Kowalewskiej
Augustin Cauchy
Carl Weierstrass
Algebra współczesna
W XIX wieku rozwój algebry wszedł na nowe tory i nabrał dużej dynamiki. Carl Friedrich Gauss udowodnił
podstawowe twierdzenie algebry, a wkrótce potem wprowadził formy kwadratowe. Évariste Galois
pokazał, że na ogół równanie algebraiczne stopnia > 4 nie ma rozwiązania wyrażającego się przez działania algebraiczne na jego współczynnikach i zbudował teorię (dziś zwaną teorią Galois), która to wyjaśnia.
Niels Henrik Abel (1802-1829) - udowodnił niemożność rozwiązania równania algebraicznego stopnia
wyższego niż cztery przez pierwiastniki, prowadził badania w dziedzinie teorii szeregów i całek
eliptycznych.
Pojawiły się nowe struktury algebraiczne: kwaterniony Hamiltona i oktawy Cayleya. Jednocześnie Cayley zrobił kolejny krok w badaniu grup przekształceń i zdefiniował abstrakcyjną grupę algebraiczną, co dało początek dynamicznemu rozwojowi teorii grup,
ważnej dla wielu dziedzin matematyki i dla zastosowań.
Évariste Galois (1813-1832) - Jeden z prekursorów teorii grup oraz nowoczesnej teorii równańalgebraicznych (teoria Galois).
Jako pierwszy użył nazwy grupa w odniesieniu do tej struktury algebraicznej.
Arthur Cayley (1821-1895) - Współtwórca teorii wyznaczników. Autor pierwszej aksjomatycznej
definicji grupy oraz twierdzenia Cayleya.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) – niemiecki matematyk, zajmujący się również fizyką teoretyczną i eksperymentalną oraz filozofią przyrody, profesor Uniwersytetu w Getyndze, członek korespondent Berlińskiej Akademii Nauk i Royal Society.
Zapoczątkował systematykę geometrii nieeuklidesowych.
Opublikował fundamentalne prace dotyczące klasyfikacji wszystkich istniejących rodzajów geometrii (łącznie z
nieeuklidesowymi) oraz możliwości tworzenia dowolnej liczby nowych przestrzeni na przestrzenie wielowymiarowe. Uzyskał też przełomowe wyniki dotyczące teorii liczb i teorii funkcji analitycznych (pojęcie funkcji holomorficznej – doktorat).
Był autorem pracy o szeregach trygonometrycznych i teorii całki, w której wprowadził całkę nazywaną dziś całką
Riemanna (habilitacja).
Powierzchnie Riemanna Bernhard Riemmann
Geometrie nieeuklidesowe
Próby zastąpienia piątego postulatu Euklidesa (Aksjomatu Równoległości) zaczęły się jeszcze w starożytności. Jedni starali się wydedukować go z
pozostałych i w ten sposób, przekształcając w twierdzenie, zlikwidować problem, inni próbowali go zastąpić innym, równie silnym, ale intuicyjnie bardziej oczywistym. Kiedy wszystkie te próby nie przyniosły pożądanego rezultatu, pojawił się nurt nowy, mianowicie dowodzenie nie wprost, tzn. próba pokazania, że po dołączeniu zaprzeczenia PR do pozostałych założeń geometrii nieeuklidesowej
uzyskuje się sprzeczność. Jednak sprzeczności nie udało się uzyskać.
Carl Friedrich Gauss rozpoczął rozważania na temat geometrii nieeuklidesowej. János Bolyai był synem przyjaciela Gaussa i autorem książeczki w której
przedstawia systematycznie nową geometrię. Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski opublikował na ten temat kilka prac, a w końcu obszerną książkę, w której wyłożył,
niezależnie od Janosa Bolyai, tę nową geometrię. Mimo ich wielkiej wagi, prace Bolyai’a i Łobaczewskiego długo
pozostawały niezauważone
Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski (1792-1856)
János Bolyai (1802-1860)
Teoria mnogości
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) – matematyk niemiecki. Zauważył, że między każdym odcinkiem leżącym na prostej, a tą prostą istnieje wzajemnie
jednoznaczna odpowiedniość. Zagadnienia te doprowadziły Cantora do wprowadzenia pojęć równoliczności i mocy zbioru (liczby kardynalnej). W szczególności odkrył pojęcie przeliczalności i pokazał za pomocą rozumowania
przekątniowego, że zbiór liczb naturalnych nie jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.
Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953) w 1905 roku rozpoczął prace nad aksjomatyzacją teorii mnogości i w 1908 przedstawił system jej aksjomatów. System ten został następnie zmodyfikowany niezależnie przez Fraenkla i
Skolema i pod nazwą aksjomatów Zermela-Fraenkla jest do dziś najpowszechniej stosowanym systemem aksjomatów teorii mnogości. Zermelo, używając aksjomatu wyboru
udowodnił twierdzenie mówiące, że każdy zbiór można dobrze uporządkować.
Georg Cantor
Ernst Zermelo
Topologia
Topologia jest jednym z najważniejszych działów matematyki, badającego
własności niezmiennicze bez względu na zginanie, rozciąganie, skręcanie, ale bez rozrywania różnych części lub zlepiania różnych punktów (niezmienniki funkcji ciągłych).
Za twórcę topologii uważa się Bernharda Riemanna, który jako pierwszy
prowadził badania stricte topologiczne i wprowadził pojęcia otoczenia punktu na płaszczyźnie i punktu skupienia.
Jako osobna dziedzina matematyki topologia zaczęła się rozwijać u progu XX wieku, a przez kolejne 50 lat była najbujniej rozwijającą się dziedziną
matematyki, w czym niemały udział mieli matematycy skupieni w polskiej
szkole matematycznej. Termin „topologia” został po raz pierwszy użyty w druku przez niemieckiego matematyka Johanna Benedicta Listinga w 1847.
Georg Cantor Giuseppe Peano Henri Poincare
W 1854 Riemann wygłosił na uniwersytecie w Getyndze wykład habilitacyjny O hipotezach, jakie leżą u podstaw geometrii w którym wprowadził podstawy geometrii Riemanna.
W końcu XIX w. Georg Cantor rozważał otwarte i domknięte podzbiory
przestrzeni euklidesowych, a także operacje wnętrza i domknięcia w tych przestrzeniach.
W 1890 Giuseppe Peano podał przykład ciągłego odwzorowania z odcinka [0,1] na kwadrat [0,1] × [0,1]. Ten i inne przykłady krzywych Peana były bodźcem do rozwoju teorii wymiaru.
W 1894 Henri Poincaré wprowadził pojęcie grupy podstawowej i pokazał, że dwuwymiarowa powierzchnia zwarta (bez brzegu), o trywialnej grupie
podstawowej, jest homeomorficzna z dwuwymiarową sferą.
W 1895 Henri Poincaré opublikował pracę Analysis Situs, w której wprowadził pojęcia homotopii i liczb Bettiego, które Emma Noether zastąpiła grupami homologii, i dał pierwsze systematyczne podejście do topologii, ustalając podstawy topologii algebraicznej.
W 1906 Maurice Fréchet w swojej rozprawie doktorskiej wprowadził pojęcie przestrzeni metrycznej. Fréchet rozważał też abstrakcyjne struktury
topologiczne zdefiniowane w terminach ciągów zbieżnych (co jest
odzwierciedlone we współczesnej terminologii przez pojęcie przestrzeni Frécheta).
W 1914 r. Felix Hausdorff wprowadził pojęcie przestrzeni topologicznej, a podana przez niego definicja obejmuje szeroką klasę przestrzeni znanych dzisiaj jako
przestrzenie Hausdorffa (aksjomaty Hausdorff w zasadzie zaadaptował z
wcześniejszych badań Hilberta, dotyczących szczególniejszej sytuacji z geometrii klasycznej).
Definicję przestrzeni topologicznej w terminach operacji domknięcia,
równoważną z dziś powszechnie stosowaną, sformułował Kazimierz Kuratowski.
Dawid Hilbert (1862-1943)
Niemiecki matematyk, profesor Uniwersytetu w Getyndze.
Zajmował się algebraiczną teorią liczb, teorią równań całkowych, zagadnieniami rachunku wariacyjnego, podstawami geometrii i logiki matematycznej oraz problemami fizyki matematycznej.
• W 1899 roku podał formalne aksjomatyczne ujęcie geometrii klasycznej.
• Badania Hilberta w zakresie rachunku wariacyjnego oraz teorii równań całkowych doprowadziły do powstania
ważnego pojęcia przestrzeni Hilberta oraz innych pojęć analizy funkcjonalnej.
• Na początku lat dwudziestych podjął badania w zakresie podstaw matematyki. Wystąpił z programem
sformalizowania logiki matematycznej; szukał sposobu zagwarantowania zupełności i niesprzeczności układu aksjomatów teorii matematycznej.
Problemy Hilberta – lista 23 zagadnień matematycznych przedstawiona przez Davida Hilberta na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w 1900 roku podczas referatu pokazującego stan matematyki na przełomie XIX i XX wieku. Niektóre z tych zagadnień to:
1. Hipoteza continuum (nie istnieje zbiór o mocy pośredniej pomiędzy mocą zbioru liczb całkowitych i liczb rzeczywistych) (Udowodniono, że hipoteza ta jest niezależna od aksjomatyki Zermela-Fraenkla teorii mnogości.)
3. Czy mając dane dwa wielościany o równej objętości, można zawsze rozłożyć jeden z nich na skończoną liczbę wielościennych części, a następnie złożyć je w drugi? (Rozwiązany przez Maxa Dehna, który podał kontrprzykład.) 8. Hipoteza Riemanna (część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji
dzeta jest równa ½) i hipoteza Goldbacha (każda liczba parzysta większa od 2 może być wyrażona jako suma dwóch liczb pierwszych) (Problem otwarty.) 10. Przewidzenie rozwiązywalności każdego równania diofantycznego
(Rozwiązany – zgodnie z twierdzeniem Matijasiewicza jest to niemożliwe.) 18. Czy istnieje nieforemny wielościan pozwalający na wypełnienie przestrzeni?
Jakie jest najgęstsze upakowanie sfer? (Rozwiązany, ale dowód postulatu Keplera wciąż czeka na powszechną akceptację.)
Uwaga: Pełnąlistęproblemów Hilberta, wraz z interesującymi odnośnikami, można znaleźćw Wikipedii.
