Elementy logiki i teorii mnogości, 2013/2014 ćwiczenia 12.
12 stycznia 2015
Zadania
1. Znajdź wszystkie relacje równoważności na zbiorze{1, 2, 3}. Wskaż podziały im odpowiadające.
2. Udowodnij, że∼ jest relacją równoważności w zbiorze X. Znajdź moce poszczególnych klas abstrakcji oraz moc zbioru ilorazowego.
(ℵ) X = R, x ∼ y ⇔ x − y ∈ Z,
X = P (N) ∖ {∅}, A ∼ B ⇔ (min A = min B ∧ sup A = sup B), przyjmujemy, że jeśli A jest nieograni- czony, to sup A= ∞.
X = NN, f∼ g ⇔ ∀n∈N2∣(f(n) − g(n)).
3. (ℶ) Niech X będzie zbiorem wszystkich funkcji niemalejących N → N oraz ∼⊆ X2będzie zadane następu- jąco:
f∼ g ⇔ (∀m∃ng(n) ≥ f(m)) ∧ (∀k∃lf(l) ≥ g(k))
Wykaż, że ∼ jest relacją równoważności.
Znajdź moce zbiorów [f]∼ oraz [g]∼, gdzie f(n) = 100, g(n) = n2.
Znajdź moc zbioru X/ ∼.
4. (ℷ) Niech R będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności w zbiorze liczb naturalnych. Dla dowolnej funkcji S∶ N → R definiujemy relację R∞(S) = {⟨x, y⟩ ∈ N2∶ ∃i∈N∀j≥ixS(j)y}. Wykazać, że dla każdego S∶ N → R relacja R∞(S) jest relacją równoważności. Czy R∞ jest funkcją naR?
Zadania domowe
Niech∼⊆ (QN)2 będzie zdefiniowane następująco f∼ g ⇔ ∀n∈N∣f(n)∣ = ∣g(n)∣.
1. Udowodnij, że∼ jest relacją równoważności.
2. Znajdź moce poszczególnych klas abstrakcji i moc zbioru ilorazowego.
1
