Elementy logiki i teorii mnogości, 2015/2016 ćwiczenia 1.
9 listopada 2015
Zadania
1. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C:
(ℵ) (A ∪ B) ∖ C = (A ∖ C) ∪ (B ∖ C)
A ∪ B = A △ B △ (A ∩ B)
A ∩ (B △ C) = (A ∩ B) △ (A ∩ C)
A = B wtedy i tylko wtedy, gdy A △ B = ∅
jeśli A △ B = C, to B = A △ C
2. Czy prawdą jest, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi równość (A ∖ B) ∪ B = A?
3. (ℶ) Sprawdź, czy prawdą jest, dla dowolnych zbiorów A, B, C, zachodzi równoważność: (B △ C) ∩ A ⊆ B, wtedy i tylko wtedy, gdy B ∩ C ∩ A ⊇ C ∩ A. Jeśli tak, udowodnij, jeśli nie – podaj kontrprzykład.
4. (ℷ) Oznaczenie: niech ⟨a, b⟩ = {{a}, {a, b}}. Udowodnij, że ⟨a, b⟩ = ⟨c, d⟩ wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.
Zadania domowe
Do oddania na kartce na zajęciach w przyszłym tygodniu.
1. Sprawdź, czy prawdą jest, dla dowolnych zbiorów A, B, C, zachodzi: A ∖ (B ∖ C) = (A ∖ B) ∪ (A ∩ C). Jeśli tak, udowodnij, jeśli nie – podaj kontrprzykład.
2. Wypisz wszystkie elementy i podzbiory zbioru:
{∅, {∅, {∅}}, {∅} ∪ {{∅}}, {{∅}} ∩ {∅, {{∅}}}, {∅, {∅, {∅}}}}.
1
