Elementy logiki i teorii mnogości, 2015/2016 ćwiczenia 2.
10 listopada 2015
Zadania
1. Niech A2= {n ∈ N∶ ∃k∈Nn = 2k} oraz A3= {n ∈ N∶ 3∣n}. Wyznacz A2∩A3. 2. Znajdź sumę i przecięcie dla każdej z następującej rodzin zbiorów:
(ℵ) {{∅}, {∅, {∅}}}
{∅, N, {n+12 ∶n ∈ N}}
{∅, {∅}, {∅, {∅}}}
3. Udowodnij, że dla każdego zbioru B, B = ⋃ P(B)
4. (ℶ) Niech A = {{∅}, {N, ∅}, {{7}, R, ∅}}. Wyznaczyć ⋃ A oraz ⋃ ⋃ A i ⋂ ⋃ A.
5. Udowodnij, że dla dowolnej rodziny zbiorów A następujące warunki są równoważne:
⋃ A ⊆ A
dla dowolnych x, Z, jeśli x ∈ Z i Z ∈ A, to x ∈ A
dla dowolnego Z, jeśli Z ∈ A, to Z ⊆ A
A ⊆ P(A)
6. Niech A = {(x, x + 7)∶ x ∈ R}. Wyznaczyć ⋂ A oraz ⋃ A.
7. Relację r, r′⊆A2nazywamy przeciwzwrotną, jeśli ∀a∈A⟨a, a⟩ ∉ r. Czy jeśli r, r′⊆A2 są przeciwzwrotne, to r ∩ r′oraz r ∪ r′też?
8. (ℷ) Relację r ⊆ N2nazwiemy skierowaną, jeśli ∀x,y,z∈N(⟨x, y⟩ ∈ r ∧ ⟨x, z⟩ ∈ r) → ∃t∈N(⟨y, t⟩ ∈ r, ⟨z, t⟩ ∈ r). Czy jeśli R jest rodziną relacji skierowanych i dla każdych r, s ∈ R zachodzi r ⊆ s lub s ⊆ r, to ⋃ R jest relacją skierowaną?
1
