Elementy logiki i teorii mnogości, 2015/2016 ćwiczenia 4.
17 listopada 2015
Zadania
Rozwiązania należy uzasadnić!
1. (ℵ) Niech An= {x ∈ R∶ x ≤ n} dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃∞n=1An oraz ⋂∞n=1An. 2. Niech An= {x ∈ R∶n1 ≤x ≤ n} dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃n=1∞ An oraz ⋂∞n=1An.
3. Niech An=
⎧⎪
⎪
⎨
⎪⎪
⎩
(−1n,n1)∶2 ∤ n,
(n+11 , n)∶ 2 ∣ n dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃∞n=1An oraz ⋂∞n=1An. 4. Niech At= {x ∈ R∶ ∣x − 2∣ > t2} dla t ∈ R. Znajdź ⋃t∈RAtoraz ⋂t∈RAt.
5. Niech An,m= {x ∈ R∶ m − (1 + (−1)n) ≤x ≤ m + (1 + (−1)n+1)} dla n, m ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋂∞n=1⋃∞m=1An,m
oraz ⋃∞m=1⋂∞n=1An,m.
6. (ℶ) Niech An= (−3 + (−1)n, 0) dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋂∞m=1⋃n≥mAn oraz ⋃∞m=1⋂n≥mAn.
7. (ℷ). Niech f ∶ Q → {r ∈ R∶ r > 0} oraz niech Iq = (q − f (q), q + f (q)) dla q ∈ Q. Rozstrzygnij czy zawsze zachodzi ⋃q∈QIq=R.
1