Elementy logiki i teorii mnogości, 2015/2016 ćwiczenia 4.

Elementy logiki i teorii mnogości, 2015/2016 ćwiczenia 4.

17 listopada 2015

Zadania

Rozwiązania należy uzasadnić!

1. (ℵ) Niech An= {x ∈ R∶ x ≤ n} dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃^∞n=1An oraz ⋂^∞_n=1An. 2. Niech An= {x ∈ R∶n¹ ≤x ≤ n} dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃n=1^∞ An oraz ⋂^∞_n=1An.

3. Niech A_n=

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

(−¹_n,_n¹)∶2 ∤ n,

(_n+1¹ , n)∶ 2 ∣ n dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃^∞n=1A_n oraz ⋂^∞_n=1A_n. 4. Niech A_t= {x ∈ R∶ ∣x − 2∣ > t²} dla t ∈ R. Znajdź ⋃t∈RA_toraz ⋂_t∈RA_t.

5. Niech An,m= {x ∈ R∶ m − (1 + (−1)ⁿ) ≤x ≤ m + (1 + (−1)ⁿ⁺¹)} dla n, m ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋂^∞n=1⋃^∞_m=1An,m

oraz ⋃^∞_m=1⋂^∞_n=1An,m.

6. (ℶ) Niech An= (−3 + (−1)ⁿ, 0) dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋂^∞m=1⋃n≥mAn oraz ⋃^∞_m=1⋂n≥mAn.

7. (ℷ). Niech f ∶ Q → {r ∈ R∶ r > 0} oraz niech I^q = (q − f (q), q + f (q)) dla q ∈ Q. Rozstrzygnij czy zawsze zachodzi ⋃_q∈QIq=R.

1