Wykład XI i XII
• Transformata Fouriera dla funkcji i transformata odwrotna,
• Właściwości transformat Fouriera dla funkcji,
• Transformata Fouriera dla dystrybucji,
• Transformaty najważniejszych dystrybucji,
• Transformata Fouriera-Bessela (Hankela),
• Transformaty trójwymiarowe.
Transformata Fouriera dla funkcji
( )
( )
− −=
e
x
dx
k
ikx
2
1
ˆ
Uwaga: żeby powyższa definicja miała sens, musi zachodzić
lim
( )
=
0
→
x
Transformata odwrotna
( )
( )
− − − −=
dxe
dye
y
k
ikx ixy
24
1
ˆˆ
Dwukrotne zastosowanie transformaty Fouriera daje
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
− + − → − − − + − + + − + + − − − + + − → − →=
=
=
=
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 0 4 2 0 2 04
1
lim
ˆˆ
lim
4
1
ˆˆ
1
lim
y k z x a y k y k i x y k ix x y k ix x xe
y
dy
k
a
dx
e
e
e
e
dxe
y
dy
k
e
( )
x
e
(
)
(
y
k
)
e
y k x+
=
=
+ − → − →
2 2 2 2 4 0 4 02
1
lim
2
1
lim
Ciąg deltopodobny
( )
k
=
dy
(
y
+
k
) ( )
y
=
( )
−
k
−
2
1
2
1
ˆˆ
( )
( )
−=
k
e
ikx
ˆ
x
dx
Pochodna transformaty
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
^2
1
ˆ
n n n ikx n nx
i
dx
x
e
x
i
k
=
−
=
−
− −Transformata pochodnej
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
k
ik
dx
x
e
ik
dx
x
e
k
ikx n n ikx n n
ˆ
2
1
2
1
^=
=
=
− − − −Transformata iloczynu dwóch funkcji
Analogicznie jak dla transformaty odwrotnej można pokazać że
1 2
^( )
k
e
ikx 1( ) ( )
x
2x
dx
1( ) (
k
1 2k
k
1)
dk
1
ˆ
1ˆ
2
( )
k
2
1
ˆ
ˆ
2
1
2
1
=
=
−
=
− − −• Transformata iloczynu dwóch funkcji jest równa splotowi transformat
Transformata splotu dwóch funkcji
( )
(
) ( )
( ) (
)
(
)
(
)
( ) ( )
k
k
y
x
e
y
x
d
y
dye
y
y
x
dy
dxe
k
y x ik iky ikx 2 1 1 2 2 1 ^ 2 1ˆ
ˆ
2
2
1
2
1
=
−
−
=
−
=
− − − − − − − −• Transformata splotu dwóch funkcji jest równa iloczynowi transformat
pomnożonemu przez 2
Iloczyn skalarny transformat
Analogicznie jak dla transformaty odwrotnej można pokazać że
(
1 2)
1( ) ( )
2 2 1( )
2( )
(
1,
2)
2
1
4
1
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
=
=
=
− − − − −y
dye
x
dxe
dk
dk
k
k
ikx ikyTransformata funkcji przesuniętej
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
k
e
a
x
e
a
x
d
e
a
x
dxe
k
ikx ika ik x a ikaa
ˆ
2
1
ˆ
− − − − − − −−
=
−
−
=
=
Transformata funkcji parzystej i nieparzystej
Niech funkcja
f
ma określoną parzystość,
( )
−
x
=
( )
x
( )
( )
dye
( )
y
( )
k
dx
dy
x
y
x
dxe
k
ikx iky
ˆ
2
1
2
1
ˆ
=
−
=
−
=
−
=
=
=
−
− − −( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
− − − − −−
=
−
=
−
=
=
−
−
=
=
x
kx
dx
i
k
x
x
x
kx
dx
k
x
x
x
kx
dx
i
x
kx
dx
x
dxe
k
ikx
sin
2
ˆ
cos
2
1
ˆ
sin
2
cos
2
1
2
1
ˆ
• Transformata funkcji parzystej jest funkcją parzystą i czysto rzeczywistą
• Transformata funkcji nieparzystej jest funkcją nieparzystą i czysto
Transformata Fouriera dla dystrybucji
• Transformatą Fouriera dystrybucji T nazywamy dystrybucję 𝑇, spełniającą
tożsamość
( ) ( )
( ) ( )
ˆ
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
T
k
k
dk
T
x
x
dk
T
T
=
=
=
− −Jeżeli T jest funkcją całkowalną, powyższa definicja pokrywa się z definicją
transformaty Fouriera dla funkcji
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
,
ˆ
ˆ
2
1
2
1
ˆ
,
f
dk
k
f
k
x
f
dxe
k
dk
k
dke
x
dxf
f
f
T
ixk ikx=
=
=
=
=
− − − − − − −• Transformata delty Diraca
Transformaty najważniejszych dystrybucji
( )
( )
( )
2
1
ˆ
,
1
2
1
1
2
1
2
1
0
ˆ
ˆ
,
,
ˆ
=
=
=
0=
=
=
− − dk
k
dk
k
e
i k• Transformata funkcji stałej
Odwracając powyższy wzór otrzymujemy
1
=
2
ˆ
1ˆ
=
Stąd tzw. całkowe
przedstawienie delty Diraca
( )
− − − − −
=
=
=
e
dk
e
dk
e
dk
x
ixk ikx ikx
2
1
2
1
1
2
1
• Transformata potęgi
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
n n( )
n n n n n n n n n n n n n n ni
x
i
i
i
i
x
ix
i
x
x
x
x
x
=
−
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
=
=
^ ^ ^,
1
,
,
1ˆ
,
1
ˆ
,
1
ˆ
,
1
ˆ
,
,
Bardzo ważny, chociaż nieformalny wzór, wykorzystywany powszechnie w fizyce ciała stałego, kwantowej teorii pola, optyce dyfrakcyjnej…
Widać, że w sensie dystrybucyjnym transformatę można obliczać nawet dla
funkcji, które nie mają transformaty w sensie dystrybucyjnym (𝑥𝑛nie znika w
