Transformata Fouriera – wzory i własności

Transformata Fouriera – wzory i własności

Definicja: Jeśli f ∈ L¹(R¹), to

transformata Fouriera f (ξ) =ˆ ^R_Rf (x)e^−2iπξxdx, transformata odwrotna f (ξ) =ˇ ^R_Rf (x)e^2iπξxdx.

f (ξ) = ˆˇ f (−ξ) Własności: (λ 6= 0)

g(x) g(ξ)ˆ

f (λx) _|λ|¹ fˆ^_λ^ξ f (x − a) e^−2iπaξf (ξ)ˆ f (λx − a) _|λ|¹ e^−2iπξλafˆ^ξ_λ^ Definicja splotu: (f ∗ g)(x) = ^R_Rf (x − t)g(t) dt.

Transformata splotu: (f ∗ g)(ξ) = ˆ\ f (ξ) · ˆg(ξ).

Transformata a różniczkowanie: Jeśli f ∈ C^k(R¹) ∩ L¹(R¹) oraz f⁰, f⁰⁰, . . . , f^(k)∈ L¹(R¹), to dla każdego 1 ¬ j ¬ k

fd^(j)(ξ) = (2iπξ)^jf (ξ).ˆ

Jeśli x^kf (x) ∈ L¹(R¹), k = 0, 1, . . . , n, to ˆf jest n-krotnie różniczkowalna i fˆ^(k)(ξ) =(−2iπx)\^kf (x), k = 1, 2, . . . , n.

Przemienność: ^R f (x)ˆg(x) dx = ^R f (x)g(x) dx.ˆ

Transformaty wybranych funkcji z L¹(R¹)

Funkcja Transformata Uwagi

1I[a, b](x)







sin π(b−a)ξ

πξ e^{−iπ(a+b)ξ} dla ξ 6= 0

b − a dla ξ = 0

x^k

k!e^−axu(x) _(a+2iπξ)¹ k+1 a ∈ C, Re(a) > 0, k = 0, 1, 2, . . .

x^k

k!e^axu(−x) _{(−a+2iπξ)}⁻¹ k+1 a ∈ C, Re(a) > 0, k = 0, 1, 2, . . .

e^−a|x| _a2+4π^2a2ξ² a ∈ C, Re(a) > 0

sgn(x)e^−a|x| _a2^−4iπξ+4π²ξ² a ∈ C, Re(a) > 0

e^{−ax2 qπ}_ae^{−π2a ξ2} a ∈ R, a > 0

1I_[−a,a](x) ^{sin 2aπξ}_πξ a ∈ R, a > 0

1

Twierdzenie o odwracaniu: Jeśli f ∈ L¹(R) i ˆf ∈ L¹(R), tof (ξ) = f (ξ) we wszystkichˇˆ punktach ciągłości funkcji f .

Twierdzenie: Jeśli f ∈ C²(R) i f, f⁰, f⁰⁰∈ L¹(R), to ˆf ∈ L¹(R).

Twierdzenie Plancherela: Jeżeli f ∈ L¹(R¹) ∩ L²(R¹), to ˆf ∈ L²(R¹) i

|| ˆf ||₂ = ||f ||2.

Wzory uzyskane z formuły na odwrócenie (funkcje z L¹(R¹))

Funkcja Transformata Uwagi

1 (a+2iπx)^k+1

(−ξ)^k

k! e^aξu(−ξ) a ∈ C, Re(a) > 0, k = 1, 2, . . .

−1 (−a+2iπx)^k+1

(−ξ)^k

k! e^−aξu(ξ) a ∈ C, Re(a) > 0, k = 1, 2, . . .

1 a²+x²

π

ae^−2πa|ξ| a ∈ C, Re(a) > 0

q_π

ae^{−π2a x2} e^−aξ2 a ∈ R, a > 0

Definicja: Transformatą Fouriera na L²(R¹) nazywamy izometryczne rozszerzenie trans- formaty Fouriera z L¹(R¹) ∩ L²(R¹) na L²(R¹).

f (ξ) =Lˆ ²− lim

n→∞

Z n

−nf (x)e^−2iπξxdx f (ξ) =Lˇ ²− lim

n→∞

Z n

−n

f (x)e^2iπξxdx

Tożsamość Parsevala: Dla dowolnych funkcji f, g ∈ L²(R¹)

Z

f (x)g(x) dx =

Z f (x)ˆˆ g(x) dx hf, gi_L² =h ˆf , ˆgi_L²

||f ||₂ =|| ˆf ||₂

Transformaty wybranych funkcji z L²(R¹) Funkcja Transformata Uwagi

1

a+2iπx e^aξu(−ξ) a ∈ C, Re(a) > 0

1

a−2iπx e^−aξu(ξ) a ∈ C, Re(a) > 0

sin x

x π1I[⁻_2π^{1 ,}_2π¹ ]

2