Wykład VIII Mechanika

1

Wykład VIII Mechanika

Teoria małych drgań

Mamy układ M ciał punktowych poddanych f więzom.

funkcja Lagrange’a: LT(x₁,x₂,...x_3M)V(x₁,x₂,...x_3M) więzy: f_i(x₁,x₂,...x_3M)0, i1,2,...f

stopnie swobody: N 3M  f współrzędne uogólnione:



q₁,q₂,...qN



Zakładamy, że V(q₁,q₂,...q_N) ma minimum w (q₁⁰,q₂⁰,...q_N⁰) i rozwijamy V(q₁,q₂,...q_N) wokół tego minimum

) )(

2 ( ) 1 (

) ,...

, ( ) ,...

,

( ^{0 0}

1

, ,

2 0

0 1 0 0 2 0 1 2

1

0 0 0

j j i i N

j

i i j q q q q

i i N

i i q q

N

N q q q q

q q q V

q q q V

q q V q q q V

j j i i i

i



 



 

 

 



 

  







Macierz

0 0, 2

j j i

i q q q

j q i

ij q q

K V



 



  jest symetryczna tzn. K_ij K_ji i dodatnio określona, bo w

) ,...

,

(q₁⁰ q₂⁰ q⁰_N jest minimum. Dodatnia określoność oznacza, że

, 1

0

N

i ij j i j

u K u





 dla dowolnych

niezerowych wektorów rzeczywistych u(u₁,u₂,...u_N)R^N .

Rozważamy teraz energię kinetyczną, która zapisujemy w postaci

3 3 3

2

1 1 1 1 , 1 1

1 1 1

2 2 2

M M N N N M

i i i i

i i i i k i j k

i i j j k k j k i j k

x x x x

T m x m q q m q q

q q q q

     

        













 



 

 

    ^. Wprowadzamy oznaczenie



 





 

 ^M

i k

i j i i N

jk

q x q m x q

q q

3

1 2

1, ,... ) (

i definiujemy symetryczną macierz masy M^jk ^jk(q₁⁰,q₂⁰,...q_N⁰), o której zakładamy, że jest dodatnio określona. Energię kinetyczną przybliżamy jako





 ^N

k j

k j kjq q M T

1

2 ,

1   .

2

Wykład VIII cd. Mechanika

Wprowadzamy nowe współrzędne: h_i q_iq_i⁰, i1,2,...N

funkcja Lagrange’a:

_  





 ^N

j i

j i ij j i

ijhh K hh

M L

1

2 ,

1  

równania Lagrange’a: i N

h h h L h

h h L dt

d

i i

 





, 2 , 1 ,

) 0 , ( )

,

(  









 

⁰

1







 N

j

j ij j

ijh K h

M  ,

gdzie skorzystaliśmy z symetryczności macierzy M i K. Szukamy teraz rozwiązań w postaci:

N i

e c

h_i _i ^it, 1,2,... („fizyczne” rozwiązanie odpowiada części rzeczywistej e^it cost)

_ 

^



^{ }



0

1

2 j N

j

ij

ij M c

K 

Równanie charakterystyczne ^det



^{Kˆ 2Mˆ}



^0 jest równaniem stopnia N ze względu na ² i ma co najwyżej N różnych rozwiązań.

Twierdzenie

Rozwiązania równania charakterystycznego są rzeczywiste (²R) i dodatnie (² 0). Dowód

   

* 2 2 *

1 1 , 1

0 0

N N N

i ij ij j ij ij i j

i j i j

c K  M c K  M c c

  

    

  

j j j j j j

j a ib a c b c

c   ,  , 

  ^{ }   _    



 















 ^N

j i

j i j i j i j i ij ij

N

j i

j j i i ij

ij M a ib a ib K M aa bb i ab ba

K

1 ,

2 1

,

2  ( )



   

⁰

1 ,

2 2

2      





 N

j i

j i j i ij ij

ji ji

ij

ij M K M K M ab ba

K   

Równanie

 

^{* 0}

1 ,

2 





 i j

N

j i

ij

ij M c c

K  przybiera postać

   









N 

j i

j i j i ij

ij M aa bb

K

1 ,

2 0



   

 

 





N 

j i

N

j i

j i j i ij j

i j i

ij aa bb K aa bb

M

1

, , 1

2

Ponieważ M_ij,K_ij,a_i,b_i są rzeczywiste, więc ²R, a ze względu na dodatnią określoność

ij ij K

M , mamy ² 0.

 

 













 _N

j i

j i j i ij N

j i

j i j i ij

b b a a M

b b a a K

1 ,

1 ,

2



^{ˆ ˆ}



⁰

det K²M 