w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego

Biotechnologia

w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”

Projekt „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość” jest współfinansowany

7. Funkcja wymierna

7.1. Definicja

Niech W (x) i Q(x) będą wielomianami. Zakładamy, że Q((x) ̸= 0. Funkcję postaci f (x) = W (x)

Q(x) nazywamy funkcją wymierną.

D

_f

= {x ∈ R : Q(x) ̸= 0}

7.2. Ułamki proste

Funkcje wymierne postaci

_(x−a)^A k

oraz

_(x2^Bx+C+px+q)^m

, gdzie A, B, C, a, p, q ∈ R, p

²

− 4q < 0, k, m ∈ N nazywamy ułamkami prostymi.

Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu i pewnej liczby ułam- ków prostych.

7.3. Funkcja homograficzna

Funkcja homograficzna to funkcja postaci f (x) =

^ax+b_cx+d

, gdzie ad ̸= bc, c ̸= 0.

Każdą funkcję homograficzną f (x) =

^ax+b_cx+d

możemy zapisać w postaci f (x) =

_x−p^s

+ q, gdzie s, p, q ∈ R, s ̸= 0.

Na przykład weźmy funkcję f (x) =

^−2x−3_x+2

.

Wtedy f (x) =

^−2x−3_x+2

= −2

^x+_x+2³²

= −2

^x+2_x+2⁻¹²

= −2

^x+2_x+2

− 2

_x+2⁻¹²

= −2 +

_x+2¹

. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

y =

^a_c

– równanie asymptoty poziomej x = −

^d_c

– równanie asymptoty pionowej D

_f

= R \ {−

^d_c

}, zbiór wartości R \ {

^a_c

}

7.4. Równanie wymierne

W (x)

Q(x) = 0 ⇐⇒ W (x) = 0 ∧ Q(x) ̸= 0 7.5. Nierówność wymierna

W (x)

Q(x) > 0 ⇐⇒ W (x) · Q(x) > 0 ∧ Q(x) ̸= 0

7.6. Przykładowe zadania

1. Rozłożyć funkcję f (x) =

_x2^7x+3+3x−4

na sumę ułamków prostych.

Rozwiązanie:

Zapisujemy mianownik w postaci iloczynowej x

²

+ 3x − 4 = (x + 4)(x − 1)

7x+3

x²+3x−4

=

_(x+4)(x^7x+3₋₁₎

=

_x+4^A

+

_x^B₋₁

=

^A(x_(x+4)(x^−1)+B(x+4)₋₁₎

=

^(A+B)x_(x+4)(x^−A+4B₋₁₎

Mnożymy stronami przez mianownik, stąd 7x + 3 ≡ (A + B)x − A + 4B, czyli

{

7 = A + B

3 = −A + 4B Stąd A = 5, B = 2.

Odpowiedź:

_x2^7x+3+3x−4

=

_x+4⁵

+

_x−1²

.

2. Rozłożyć funkcję f (x) =

_(x−1)(x^3x2⁻¹+2x+3)

na sumę ułamków prostych.

Rozwiązanie:

3x−1

(x−1)(x²+2x+3)

=

_x^A₋₁

+

_x2^Bx+C+2x+3

=

^A(x2+2x+3)+(Bx+C)(x−1)

(x−1)(x²+2x+3)

=

^(A+B)x2+(2A−B+C)x+3A−C (x−1)(x²+2x+3)

Zatem 2x

²

+ 3 ≡ (A + B)x

²

+ (2A − B + C)x + 3A − C, czyli









0 = A + B 3 = 2A − B + C

−1 = 3A − C

Stąd A =

¹₃

, B = −

¹₃

, C = 2.

Odpowiedź:

_(x−1)(x^3x2⁻¹+2x+3)

=

1 3

x−1

+

⁻

1 3x+2 x²+2x+3

. 3. Rozwiązać równanie

^x2+2x_x+2⁻¹⁵

= 0.

Rozwiązanie:

Założenia: x + 2 ̸= 0, czyli x ̸= −2.

x²+2x−15

x+2

= 0 ⇐⇒ x

²

+ 2x − 15 = 0

∆ = 64, x

1

= −5, x = 3 Odpowiedź: x ∈ {−5, 3}.

4. Rozwiązać równanie

_x(x+1)²

−

_x¹²

=

_6x¹

. Rozwiązanie:

Założenia: x ̸= 0 oraz x + 1 ̸= 0, czyli x ̸= −1, Stąd D = R \ {−1, 0}.

Przenosimy wszystko na lewą stronę

2

x(x+1)

−

_x¹2

−

_6x¹

= 0.

Sprowadzamy do wspólnego mianownika

2·6x−6(x+1)−x(x+1) 6x²(x+1)

= 0

−x²+5x−6 6x²(x+1)

= 0

−x

²

+ 5x − 6 = 0

∆ = 1, x

1

= 3, x

2

= 2

Odpowiedź: x ∈ {3, 2}.

5. Rozwiązać nierówność

^x+3_x−2

> 0.

Rozwiązanie:

D = R \ {2}, bo x − 2 ̸= 0

Nierówność

^x+3_x−2

> 0 jest równoważna nierówności (x + 3)(x − 2) > 0

Odpowiedź: x ∈ (−∞, −3] ∪ (2, +∞).

6. Rozwiązać nierówność 1 +

_x−4⁸

­

_x−1¹

. Rozwiązanie:

Założenia: x − 1 ̸= 0, czyli x ̸= 1 oraz x − 4 ̸= 0, czyli x ̸= 4. Stąd D = R \ {1, 4}.

Przenosimy wszystko na lewą stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika 1 +

_x−4⁸

−

_x−1¹

­ 0

(x−4)(x−1)+8(x−1)−(x−4) (x−4)(x−1)

­ 0

x²+2x (x−4)(x−1)

­ 0

x(x+2) (x−1)(x−4)

­ 0

x(x + 2)(x − 1)(x − 4) ¬ 0

Odpowiedź: x ∈ (−∞, −2] ∪ [0, 1) ∪ (4, +∞).

7.7. Zadania

Znaleźć dziedzinę funkcji:

1. f (x) =

_x2−2x+1^x

. 2. f (x) =

_(x−1)(x+2)^x(x+1)

. 3. f (x) =

^x4_x^+x3+1²⁺¹

. 4. f (x) =

_x2^x−4x+3²⁺²

. 5. f (x) =

_x(x^2x+12+x−2)

.

6. f (x) =

^x_x²3⁺³+1

. 7. f (x) =

_x2^3x+3x+6⁵⁺¹

. 8. f (x) =

_x^x+34−16

.

9. f (x) =

_(x2−9)(x^x52+1−10x+25)

. 10. f (x) =

^x−5_x

+

^2x_x+7⁻³

.

11. f (x) =

_5x3+2x^5x2−15x−6

. 12. f (x) =

²

x

√

4−|x|

. 13. f (x) =

_|x|(|x|−2)¹

. 14. f (x) =

√

x −

_x¹

. 15. f (x) =

⁴⁺_x(x^√x₋₃₎⁻¹⁰

. Sporządzić wykres funkcji:

16. f (x) =

^x−1_x

. 17. f (x) =

_|x|−1^|x|

. 18. f (x) =

^−2|x|−1_|x|+2

. 19. f (x) =

^x_x+2⁻²

.

20. f (x) =

_|x|²

. 21. f (x) =

_|3−x|¹

− 1.

22. f (x) = 1 +

_x⁴

. 23. f (x) = −

_x+3^x

. 24. f (x) =

_x−1⁴

− 3.

25. f (x) =

_−x+4²

+ 2.

26. f (x) =

^|x|+2_|x|+1

.

27. f (x) =

^4x+3_x−1

.

28. f (x) =

^3x+1_2x−1

.

29. f (x) =

_|x|−1¹

.

30. f (x) =

_|x|¹

− 4



. 31. f (x) =

_x−1¹ 

.

32. f (x) =

_x+2¹

− 1



. 33. f (x) =

^−x−1_x+3 

. Przedstawić w postaci sumy ułamków prostych:

34.

_x6−6x^x2+15+9x⁴

. 35.

_x^x4³+x^−x+22+1

. 36.

_(x−3)¹2(x+2)

. 37.

_x(x2^x+3+x+2)²

. 38.

_x3−x^x+42−2x

.

39.

_x2+2x+2^x6

. 40.

^x_x⁴4⁻¹+1

. 41.

^x_x⁵3⁻¹+1

. 42.

_1−x^x4

. 43.

_(x2+2)^{x 2}

.

44.

_x3+2x¹²+3

. 45.

^x_x³4^+x+1+x²

. 46.

_x^2x+33−2x²

. 47.

^x5_x^+x5−4x⁴⁻⁸

. 48.

(x+1)(x+2)(x^x −3)

. Rozwiązać równanie:

49.

_x+1²

+

^x+1_1−x

=

_x2^x−1²

. 50.

₂^2x_−x

+

⁴_x

= 3.

51.

_x+2^x

=

_x^3x₋₃

.

52.

^2x_x−1⁻³

+ 1 =

^6x−x_x−1²⁻⁶

. 53.

^x+2_x−2

=

^x+3_x−3

+

_x2+5x+6²

. 54.

_x−4⁴

−

_x+4⁴

=

^x_x²2⁺¹⁶−16

. 55.

_x+1^2x

+

^x_x⁻⁴₋₁

= 1.

56.

^2x_x+2⁻⁴

+

^3x_x+3⁻¹

= 1.

57.

_x^2x₋₁

−

_x+2^x

=

_x2^2x+x⁻²−2

. 58.

^x_x²2^+8x+2x−8⁻²

+

_x+4^x

=

_x2−2x+4²

. 59.

_x2−3x+2²

+

_x2⁵−4

=

_x2−4x+4²

. 60.

_x¹⁰₋₆

= 2x.

61.

_x−2¹

+

_x+2⁵

= 1.

62.

^x_x⁻⁵₋₂

+ x =

¹_x^−2x₋₂

. 63.

_x−1²

−

^x+2_x+5

= 1.

64.

^x_x+2⁻¹

=

^x+4_x−3

.

65.

_x2−x−2¹

−

_x2−4x+4¹

=

_x2+3x+2¹

. 66.

_x2+x¹−2

+

_x2−3x+2¹

=

_(x−2)^6−x2(x+2)

. 67.

_x2+x^x+9−12

−

_x2^x+5−x−6

=

_x^x2⁻¹−9

. 68.

_x2+2x^x+1−3

+

_x2²−1

=

_2x^2x+12−2x

.

69.

_x2−5x+6^x+1

−

_x^x+22−4

=

_x2^x−x−6⁻⁷

−

_x2+2x+8^x+4

. 70.

_x2^6x+3+4x+3

−

_x2^9x+2+5x+6

=

_x2^7x+4+5x+4

−

_x2^5x+2+3x+2

. 71. x

³

− x

²

−

_x3−x^{8 2}

= 2.

72.

^2x+1_x−1

= 3.

73.

_4−|3x−4|¹

=

⁷₂

. 74.

^|x−1|+x_x+1 ²

= 1.

75.

^|x+1|−2_x 

=

¹₂

. 76.

√x

6−x

+

⁶√^−xx

= 2.

77.

₂²₋^−x√ x

=

√2−x 2

. 78.

√x−5 x+2

+

√x−4 x+3

=

_x+2⁷

√x+2 x+3

. Rozwiązać nierówność:

79.

^x_x⁻²₋₃

−

_x−1²

<

_x2−4x+3⁸

. 80.

^x2_x^−5x+42−4

¬ 1.

81. 1 −

_x−2¹

+

_x+4¹

>

_x2^x+2x⁻¹⁴−8

. 82.

_x−3^x

+

_x+2¹

+

_x2^x+6−x−6

> 0.

83.

^x+2_x+1

+

_x−5⁸

<

_x2^x−4x−5⁻¹³

.

84.

⁽³_(x^−x)₋₁₎²3⁽²(x+2)^−x)

­ 0.

85.

^(x_(x+1)(2^{−3)3(1−x)}_−x)²

¬ 0.

86.

^3x+1_x−2

¬ 2.

87.

^2x+13_x+3

> 3.

88.

^x_x+1⁻¹

< x.

89. x

²

−

_x¹3

> x −

_x¹2

. 90. 1 <

^2x_x2²−2x−15^−7x−29

< 2.

91.

_x2^2x−6x+8⁻⁵

¬ −1.

92.

^x_x+1⁻²

< −

¹₂

. 93.

_x2^2x−6x+8⁻⁵

> −1.

94.

⁴_x^−x2

−

_x²

­ 1.

95. 3 − x ¬

_2−x¹

. 96. 1 +

_x−2²

>

⁶_x

. 97.

^x−1_x−2

<

^x−2_x−1

. 98.

^x_x²2^+x−x−2⁻²

>

^x_x²2^−x−2+x−2

. 99.

_x2^x−4x+4^2−2x

>

_x−2¹

. 100.

^x_x+1⁻³

¬

^x+2_x−2

. 101.

¹_|x|^−x

6 1.

102.

_|2−x|¹

> 1.

103.

_|x|¹

> x

²

− |x| + 1.

104.

^2x_x−1⁻¹

> 2.

105.

^|x+3|+x_x+2

> 2.

106.

^6x+5_x−4

¬ 2.

107.

_(x^(x+1)(x−2)−1)|x+1||x+2|⁵

¬ 0.

108.

_x^|2x−1|2−x−2

¬ 12.

109.

^|x+3|+x_x+2

> 1.

110.

^3√6+x_x^−x2+2

< 4.

111.

√^x2+2 x²+1

­ 2.

112.

√3x−1 2−x

> 1.

113.

^1−√_2x^1−8x2

< 1.

114.

^√3−x+1_x

< 1.

115.

√^x2−1

13−x²

­ x − 1.

116.

√30+x−x² x

<

√10 5

. 117.

√x+1 x−1

+ 3

√x−1 x+1

< 4.

Zbadać istnienie i liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru a, b, m:

118.

^m−x₃

=

^x_m⁻³

. 119.

^2x+1_2x−1

=

^m_m+1⁻¹

. 120.

_x−a^x

=

_x^b

+ 1.

121.

^a_x

=

_x+a^b

. 122.

^x+a_x−b

=

^x_x+b^−2a

. 123.

_|x−1|^x

= m.

124.

^x_x⁻¹₋₂

= m.

125. 1 − m =

²_x

− 1



. 126.

_|x|⁴

− 2



= m.

127. Dla jakiej wartości parametru m wartość ułamka

^x_x²2^−mx+1+x+1

jest większa od −3 dla każdego x ∈ R?

128. Dla jakich wartości parametrów a i b funkcje f (x) = 1 +

_x+1^a

+

_x−3^b

oraz g(x) =

_x2^x−2x−3²⁻¹³

są równe?

129. Dla jakich wartości parametru m zbiorem rozwiązań nierówności −3 <

^x_x²2^+mx−x+1⁻²

< 2 jest R?

130. Dla jakich wartości parametru m równanie

_2x^x+1₋₁

−

^2x+1_x−1

= m ma dwa pierwiastki, których suma jest mniejsza od m?

131. Dla jakich wartości parametrów a i b równanie

_x^a

+ b = 1 ma jedno rozwiązanie?

132. Dla jakich wartości parametru k równanie

^x+1_x+k

=

_x−k^x

nie ma rozwiązania?

133. Dla jakich wartości parametru m nierówność

^−x_2x²2^+mx−2x+3⁻¹

< 0 spełniona jest dla każdego x ∈ R?

Rozwiązać układ równań:

134.





1

x+y

= −1 − x

x

x+y

= −2 135.





14

2x−y

+

_x+y¹

= 1

3

y−2x

−

_2x−2y⁵

=

²⁹₁₄

136.





√x

y

−

^√y_x

=

³₂

x + xy + y = 9

137.





5 √

x + y −

^√18_x+y

= 27

√

x

²

− y

²

− 5 √

x − y = 4 138.





√ 3x

x+y

− 2 = −

^√x+y_3x

xy − 54 = x + y