Przyk lad 3.1. Niech A =

(1)

Wyk lad 3 Wyznaczniki

1 Okre´ slenie wyznacznika

Niech A b edzie macierz _, a kwadratow _, a stopnia n > 1 i niech i, j b _, ed _, a liczbami naturalnymi ≤ n. _, Symbolem A ij oznacza´ c b edziemy macierz kwadratow _, a stopnia n − 1 powsta l _, a z macierzy A _, przez skre´ slenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy A.

Przyk lad 3.1. Niech A =







1 2 3 4 3 2 3 4 7





 . W´ owczas A 12 =

"

4 2 3 7

#

oraz A 21 =

"

2 3 4 7

# . 2

Wyznacznikiem nazywamy tak a funkcj _, e przyporz _, adkowuj _, ac _, a ka˙zdej macierzy kwadratowej _, A pewn a liczb _, e (oznaczan _, a przez det(A)), kt´ _, ora spe lnia nast epuj _, ace warunki: _,

(i) je´ sli A = [a] jest 1 × 1-macierz a, to det(A) = a, _, (ii) je´ sli

A =







a 11 a 12 . . . a 1n

a ₂₁ a ₂₂ . . . a _2n .. . .. . . .. .. . a _n1 a _n2 . . . a _nn







, (1)

gdzie n > 1, to

det(A) =

n

X

i=1

(−1) ⁱ⁺ⁿ · a _in · det(A _in ). (2) Wyznacznikiem macierzy A nazywa si e warto´ _, s´ c det(A) tej funkcji dla macierzy A.

Funkcja-wyznacznik jest jednoznacznie wyznaczona przez warunki (i) i (ii).

Wyznacznik macierzy A postaci (1) oznaczamy te˙z nast epuj _, aco: _,

det(A) =

a 11 a 12 . . . a 1n

a ₂₁ a ₂₂ . . . a _2n .. . .. . . .. .. . a _n1 a _n2 . . . a _nn

. (3)

Powy˙zsza definicja daje r´ ownie˙z efektywn a metod _, e obliczania wyznacznika dowolnej macierzy _, kwadratowej A.

Przyk lad 3.2. Z w lasno´ sci (ii) i (i) otrzymujemy wz´ or:

a b c d

= ad − bc. (4)

Rzeczywi´ scie,

a b c d

= (−1) ¹⁺² · b · det[c] + (−1) ²⁺² · d · det[a] = ad − bc. 2

(2)

Przyk lad 3.3. Ze wzoru (4) mamy, ˙ze

5 2 7 3

= 5 · 3 − 2 · 7 = 15 − 14 = 1. 2

Przyk lad 3.4. Z w lasno´ sci (ii) i przyk ladu 3.2:

a ₁ a ₂ a ₃ b 1 b 2 b 3

c 1 c 2 c 3

= (−1) ¹⁺³ · a ₃ ·

b ₁ b ₂ c 1 c 2

+

+(−1) ²⁺³ · b ₃ ·

a 1 a 2

c ₁ c ₂

+ (−1) ³⁺³ · c ₃ ·

a 1 a 2

b ₁ b ₂

= a 3 (b 1 c 2 − b ₂ c 1 ) − b 3 (a 1 c 2 − a ₂ c 1 ) + c 3 (a 1 b 2 − a 2 b 1 ) = a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 1 b 2 c 3 − a ₃ b 2 c 1 − a ₁ b 3 c 2 − a ₂ b 1 c 3 .

Zatem aby obliczy´ c wyznacznik stopnia 3 wystarczy dopisa´ c do niego z prawej strony dwie pierwsze kolumny i nast epnie wymno˙zy´ _, c prawosko´ snie wyrazy ze znakiem + oraz lewosko´ snie ze znakiem - i doda´ c otrzymane wyniki. Taka metoda obliczania wyznacznika stopnia 3 nazywa si e regu l _, a Sarrusa. Istotnie: _,

a ₁ a ₂ a ₃ b 1 b 2 b 3

c ₁ c ₂ c ₃

a ₁ a ₂ b 1 b 2

c ₁ c ₂

= a ₁ b ₂ c ₃ + a ₂ b ₃ c ₁ + a ₃ b ₁ c ₂ − a ₃ b ₂ c ₁ − a ₁ b ₃ c ₂ − a ₂ b ₁ c ₃ . 2

Przyk lad 3.5. Stosuj ac regu l _, e Sarrusa obliczymy wyznaczniki: _,

−3 4 1

−2 3 2

−1 4 3

−3 4

−2 3

−1 4

= −27 − 8 − 8 − (−3 − 24 − 24) = −43 + 51 = 8,

2 4 1 4 3 2 3 4 3

2 4 4 3 3 4

= 18 + 24 + 16 − (9 + 16 + 48) = 58 − 73 = −15,

2 −3 1 4 −2 2 3 −1 3

2 −3 4 −2 3 −1

= −12 − 18 − 4 − (−6 − 4 − 36) = −34 + 46 = 12,

2 −3 4 4 −2 3 3 −1 4

2 −3 4 −2 3 −1

= −16 − 27 − 16 − (−24 − 6 − 48) = −59 + 78 = 19. 2

2 W lasno´ sci wyznacznik´ ow

Twierdzenie 3.6. Je˙zeli macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A przez zamian e _, miejscami dw´ och wierszy (kolumn), to det(B) = − det(A).

Twierdzenie 3.7. Je˙zeli macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A przez pomno˙zenie pewnego wiersza (kolumny) przez dowoln a liczb _, e a, to det(B) = a · det(A). _,

Twierdzenie 3.8. Je˙zeli macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A przez dodanie do pewnego wiersza (kolumny) innego wiersza (innej kolumny) pomno˙zonego (pomno˙zonej) przez dowoln a liczb _, e, to det(B) = det(A). _,

Stosuj ac operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy kwadratowej A mo˙zemy j _, a _,

(3)

sprowadzi´ c do postaci tr´ ojk atnej g´ _, ornej:

C =







c 11 c 12 c 13 . . . c 1n

0 c 22 c 23 . . . c 2n

0 0 c ₃₃ . . . c _3n .. . .. . .. . . .. .. . 0 0 0 . . . c _nn







, (5)

gdzie c _ij dla wszystkich i ≤ j s a dowolnymi liczbami. _,

Twierdzenie 3.9. Wyznacznik macierzy C postaci (5) jest r´ owny iloczynowi wszystkich jej element´ ow na g l´ ownej przek atnej, czyli det(C) = c _, ₁₁ · c ₂₂ · . . . · c _nn .

Twierdzenia 3.6-3.9 umo˙zliwiaj a nam efektywne obliczenie dowolnego wyznacznika przy po- _, mocy operacji elementarnych. Poka˙zemy to na nast epuj _, acym przyk ladzie. _,

Przyk lad 3.10. Obliczymy wyznacznik

W =

1 −1 1 −2

1 3 −1 3

−1 −1 4 3

−3 0 −8 −13

.

Po wykonaniu kolejno operacji w ₂ − w ₁ , w ₃ + w ₁ , w ₄ + 3 · w ₁ uzyskujemy, ˙ze

W =

1 −1 1 −2

0 4 −2 5

0 −2 5 1

0 −3 −5 −19 .

Nast epnie, stosuj _, ac operacj _, e w _, ₂ + w ₄ , uzyskamy, ˙ze

W =

1 −1 1 −2

0 1 −7 −14

0 −2 5 1

0 −3 −5 −19 .

Po zastosowaniu kolejno operacji w 3 + 2 · w 2 , w 4 + 3 · w 2 otrzymamy, ˙ze

W =

1 −1 1 −2

0 1 −7 −14

0 0 −9 −27

0 0 −26 −61

.

Stosuj ac twierdzenie 3.7 do trzeciego wiersza uzyskujemy, ˙ze _,

W = (−9) ·

1 −1 1 −2

0 1 −7 −14

0 0 1 3

0 0 −26 −61

.

(4)

Po wykonaniu operacji w 4 + 26 · w 3 otrzymamy, ˙ze

W = (−9) ·

1 −1 1 −2

0 1 −7 −14

0 0 1 3

0 0 0 17

.

Zatem z twierdzenia 3.9: W = (−9) · 1 · 1 · 1 · 17 = −153. 2 Z twierdzenia 3.7 mamy natychmiast nast epuj _, acy _,

Wniosek 3.11. Je˙zeli pewien wiersz (kolumna) macierzy kwadratowej A sk lada si e z samych _, zer, to det(A) = 0.

Z twierdzenia 3.8 i z wniosku 3.11 otrzymujemy od razu nast epuj _, acy _,

Wniosek 3.12. Je˙zeli macierz kwadratowa A ma identyczne dwa wiersze (kolumny), to det(A) = 0.

Twierdzenie 3.13. Wyznacznik macierzy transponowanej macierzy kwadratowej A jest r´ owny wyznacznikowi macierzy A, czyli det(A ^T ) = det(A).

Twierdzenie 3.14 (Cauchy’ego). Je˙zeli A i B s a macierzami kwadratowymi tego samego _, stopnia, to det(A · B) = det(A) · det(B).

Twierdzenie 3.15 (Rozwini ecie Laplace’a wzgl _, edem i-tego wiersza). _,

a 11 a 12 . . . a 1n

.. . .. . . .. .. . a _i1 a _i2 . . . a _in

.. . .. . . .. .. . a _n1 a _n2 . . . a _nn

= −1) ⁱ⁺¹ · a _i1 det(A _i1 ) + . . . + (−1) ⁱ⁺ⁿ · a _in det(A _in ).

Twierdzenie 3.16 (Rozwini ecie Laplace’a wzgl _, edem j-tej kolumny). _,

a 11 . . . a 1j . . . a 1n

a 21 . . . a 2j . . . a 2n

.. . . .. .. . . .. .. . a n1 . . . a nj . . . a nn

= (−1) ^1+j · a _1j det(A _1j ) + . . . + (−1) ^n+j · a _nj det(A _nj ).

W praktyce najszybszym sposobem obliczania wyznacznika jest stosowanie operacji elementarnych i rozwini ecia Laplace’a wzgl _, edem takiego wiersza (kolumny), w kt´ _, orym wyst epuje co _, najwy˙zej jeden niezerowy wyraz. Poka˙zemy to w nast epnym przyk ladzie. _,

Przyk lad 3.17.

1 1 3 4 2 0 0 8 3 0 0 2 4 4 7 5

w

4

−4·w

1

=

1 1 ^↓ 3 4

2 0 0 8

3 0 0 2

0 0 −5 −11

= (−1) ¹⁺² · 1 ·

2 0 ^↓ 8

3 0 2

0 −5 −11

= (−1) · (−1) ³⁺² ·

(5)

(−5) ·

2 8 3 2

= (−5) · (2 · 2 − 3 · 8) = 100. Strza lkami ↓ oznaczyli´ smy kolumn e, wzgl _, edem kt´ _, orej zastosowano rozwini ecie Laplace’a. _, 2

Przyk lad 3.18. Stosuj ac rozwini _, ecie Laplace’a wzgl _, edem trzeciego wiersza obliczymy wy- _, znacznik:

2 −3 4 1 4 −2 3 2

a b c d

3 −1 4 3 .

Mamy, ˙ze

W =

2 −3 4 1 4 −2 3 2

a b c d

3 −1 4 3

= (−1) ³⁺¹ a

−3 4 1

−2 3 2

−1 4 3

+(−1) ³⁺² b

2 4 1 4 3 2 3 4 3

+(−1) ³⁺³ c

2 −3 1 4 −2 2 3 −1 3

+

(−1) ³⁺⁴ d

2 −3 4 4 −2 3 3 −1 4 .

Cztery wyznaczniki stopnia trzy obliczymy stosuj ac regu l _, e Sarrusa: _,

−3 4 1

−2 3 2

−1 4 3

−3 4

−2 3

−1 4

= −27 − 8 − 8 − (−3 − 24 − 24) = −43 + 51 = 8,

2 4 1 4 3 2 3 4 3

2 4 4 3 3 4

= 18 + 24 + 16 − (9 + 16 + 48) = 58 − 73 = −15,

2 −3 1 4 −2 2 3 −1 3

2 −3 4 −2 3 −1

= −12 − 18 − 4 − (−6 − 4 − 36) = −34 + 46 = 12,

2 −3 4 4 −2 3 3 −1 4

2 −3 4 −2 3 −1

= −16 − 27 − 16 − (−24 − 6 − 48) = −59 + 78 = 19.

St ad W = 8a + 15b + 12c − 19d. _,

Przyk lad 3.1. Niech A =

Wyk lad 3 Wyznaczniki

1 Okre´ slenie wyznacznika

Niech A b edzie macierz , a kwadratow , a stopnia n > 1 i niech i, j b , ed , a liczbami naturalnymi ≤ n. , Symbolem A ij oznacza´ c b edziemy macierz kwadratow , a stopnia n − 1 powsta l , a z macierzy A , przez skre´ slenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny macierzy A.