O D EFINICJI I STOTNO ´SCI 1

(1)

O D EFINICJI I STOTNO ´SCI ¹

JERZYPOGONOWSKI

Department of Applied Logic Adam Mickiewicz University

www.logic.amu.edu.pl

Omawiamy tutaj dokonan ˛a niedawno prób˛e zdefiniowania poj˛ecia istotno´sci.²Po- kazujemy nieprzydatno´s´c proponowanej definicji, a tak˙ze wskazujemy na niektóre inne punkty teorii wymagaj ˛ace opracowania.

Niech U b˛edzie dowolnym zbiorem i niech W b˛edzie przeciwsymetryczn ˛a i przechodni ˛a relacj ˛a w U . Cz˛e´sciowy ostry porz ˛adek W w U nazywa si˛e relacj ˛a wyprze- dzania w U . Definiuje si˛e relacj˛e nieodró˙znialno´sci R w U :

• (1) xRy wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi xW y i nie zachodzi yW x.

Jest widoczne, ˙ze tak zdefiniowana relacja R jest zwrotna i symetryczna. Nast˛epu- j ˛acy prosty przykład pokazuje, ˙ze nie dla ka˙zdej relacji wyprzedzania W odpowiednia relacja nieodró˙znialno´sci R jest przechodnia:

•

% -

y . . . . z

. .. %

x

(strzałki oznaczaj ˛a relacj˛e W , linie kropkowane relacj˛e R; mamy xRy oraz yRz, ale xW z, wi˛ec nie zachodzi xRz).

Aby R było relacj ˛a przechodni ˛a, a co za tym idzie, równowa˙zno´sci ˛a, potrzeba i wystarcza, ˙zeby zachodziły warunki:

• (2) je´sli xW z oraz xRy, to yW z je´sli zW x oraz xRy, to zW y.

Relacj˛e nieodró˙znialno´sci spełniaj ˛ac ˛a (1) i (2) nazywamy wielko´sci ˛a okre´slon ˛a na zbiorze U .³ Oznaczmy przez C zbiór wszystkich wielko´sci okre´slonych na U .

1Opublikowano w: Pozna´nskie Studia z Filozofii Nauki 1978, zeszyt 3: Zało˙zenia materializmu historycz- nego, 275–278.

2Izabella Nowak, Wojciech Patryas, Wojciech Szaban, O pewnym poj˛eciu istotno´sci, „Pozna´nskie Studia z Filozofii Nauki”, zesz. 2: Zało˙zenia dialektyki, s. 221–225. Niniejsza praca powstała w wyniku dyskusji z I. Nowak i W. Patryasem.

3W ksi ˛a˙zce Jerzego Kmity, Z metodologicznych problemów interpretacji humanistycznej, Warszawa 1971, zakłada si˛e ˙ze relacja nieodró˙znialno´sci jest przechodnia (s. 183). Jak pokazuje powy˙zszy kontrprzy- kład, nie dla ka˙zdej relacji wyprzedzania odpowiadaj ˛aca jej relacja nieodró˙znialno´sci jest równowa˙zno´sci ˛a.

Definiuj ˛ac poj˛ecie wielko´sci (jako równowa˙zno´sć) musimy si˛e zatem ograniczyć do relacji wyprzedzania W spełniaj ˛acych warunki (1) i (2). Z drugiej strony, pomini˛ecie warunków (2) i ograniczenie si˛e do relacji nieodró˙znialno´sci b˛ed ˛acych tolerancjami (tj. relacjami zwrotnymi i symetrycznymi) mo˙ze prowadzić do interesuj ˛acego uogólnienia poj˛ecia wielko´sci.

1

(2)

W zbiorze C wprowadzi´c mo˙zna w sposób naturalny pewien cz˛e´sciowy porz ˛adek ≺.

Oznaczmy mianowicie dla R ∈ C, x ∈ U przez R(x) klas˛e abstrakcji relacji R zawie- raj ˛ac ˛a element x. Dla P, Q ∈ C definiujemy:

• P ≺ Q wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego x ∈ U : P (x) ⊆ Q(x)

• P ¿ Q wtedy i tylko wtedy, gdy P ≺ Q oraz P 6= Q.

Intuicyjnie mówi ˛ac, P ¿ Q oznacza, ˙ze podział U wyznaczony przez P jest

„drobniejszy” od podziału U wyznaczonego przez Q. Dla dowolnej rodziny A ⊆ C oznaczmy przezV

A kres dolny rodziny A wzgl˛edem porz ˛adku ≺. ZatemV A jest najwi˛ekszym elementem zbioru C takim, ˙ze dla ka˙zdego Q ∈ A mamyV

A ≺ Q. Na koniec, niech E oznacza najmniejszy element w C, tj. relacj˛e równo´sci.

Proponowana przez autorów cytowanej pracy definicja zbioru wielko´sci istotnych dla danej wielko´sci F ∈ C ma posta´c nast˛epuj ˛ac ˛a:

• (3) zbiór S ⊆ C − {F } jest zbiorem wielko´sci istotnych dla F wtedy i tylko wtedy, gdy S jest najmniejszym zbiorem takim, ˙zeV

S ≺ F .

Jest oczywiste, ˙ze dla ka˙zdego F ∈ C istnieje zbiór S ⊆ C taki, ˙zeV

S ≺ F . Poka˙zemy jednak, ˙ze w przypadku ogólnym rodzina

SF = {S ⊆ C − {F } :^

S ≺ F } nie musi posiada´c elementu najmniejszego.

Twierdzenie

• 1) Je´sli F = E, to nie istnieje zbiór S ∈ SFtaki, ˙ze S spełnia (3).

• 2) Je´sli istniej ˛a ró˙zne a, b, c ∈ U takie, ˙ze F (a) = F (b) = F (c), to rodzina SF

nie zawiera elementu najmniejszego.

• 3) Je´sli istniej ˛a ró˙zne a, b, c, d ∈ U takie, ˙ze F (a) = F (b) oraz F (c) = F (d), to rodzina SFnie zawiera elementu najmniejszego.

Dowód

1) Jest oczywiste.

2) Zdefiniujmy Q1, Q2∈ C − {F }:

• Q1(a) = Q1(b), Q1(x) = {x} dla x 6= a, x 6= b,

• Q₂(b) = Q₂(c), Q₂(x) = {x} dla x 6= b, x 6= c.

WtedyV

{Q1} ≺ F orazV

{Q2} ≺ F , ale {Q1} i {Q2} s ˛a ró˙znymi elementami minimalnymi rodziny SF. Zatem SFnie posiada elementu najmniejszego.

3) Zdefiniujemy Q1, Q2∈ C − {F }:

• Q1(a) = Q1(b), Q1(x) = {x} dla x 6= a, x 6= b,

2

(3)

• Q2(c) = Q2(d), Q2(x) = {x} dla x 6= c, x 6= d.

Wtedy, jak w poprzednim przypadku,V

{Q1} ≺ F orazV

{Q2} ≺ F , ale {Q1} i {Q2} s ˛a znów ró˙znymi elementami minimalnymi rodziny SF.

Q.E.D Powy˙zsze twierdzenie pokazuje, ˙ze dla ˙zadnej wielko´sci F nie istnieje zbiór speł- niaj ˛acy (3). Je´sli w warunku (3) zamieni´c słowo „najmniejszy” na „minimalny”, to wi- da´c, ˙ze rodzina S_F^∗ = {{Q} : Q ¿ F } jest podrodzin ˛a rodziny minimalnych zbiorów S takich, ˙ze F /∈ S orazV

S ≺ F . Rodzina ta jest oczywi´scie niepusta dla ka˙zdego F 6= E, ale w ogólnym przypadku zawiera wi˛ecej ni˙z jeden element. Z drugiej strony, na pierwszy rzut oka widać, ˙ze elementy rodziny S_F^∗ nie s ˛a dobrymi kandydatami na zbiory wielko´sci istotnych dla F (z pomini˛eciem patologicznych przypadków). Warto zauwa˙zyć, ˙ze rodzina SFmo˙ze zawierać, oprócz minimalnych, równie˙z inne elementy nieporównywalne. Mo˙zna mianowicie pokazać, ˙ze dla niektórych F zbiory

S1= {Q ∈ C : Q ¿ F }, S2= {Q ∈ C : F ¿ Q}

s ˛a rozł ˛acznymi elementami rodziny SF.

Podsumowuj ˛ac widzimy, ˙ze proponowana definicja zbioru wielko´sci istotnych nie mo˙ze zostać przyj˛eta. Tak wi˛ec poj˛ecie istotno´sci pozostaje nadal poj˛eciem pierwot- nym. Mo˙zna przypuszczać, ˙ze własno´sci struktury (C, ≺) do´sć słabo charakteryzuj ˛a poj˛ecie istotno´sci. Istotno´sć wielko´sci nale˙załoby chyba wi ˛azać ´sci´slej z samym poj˛e- ciem wielko´sci (być mo˙ze wymagałoby to uogólnienia poj˛ecia wielko´sci).

Rozwa˙zania niniejsze pozwalaj ˛a wyjawić wa˙zne zało˙zenie, przyjmowane milcz ˛aco w esencjalizmie. W idealizacyjnej koncepcji nauki, przy omawianiu poj˛ecia istotno´sci i zwi ˛azanych z nim konstruktów, post˛epuje si˛e tak, jakby dla ka˙zdej wielko´sci istniał dokładnie jeden zbiór wielko´sci dla niej istotnych. Jednak˙ze jednoznaczno´sć zbioru wielko´sci istotnych nie wynika z pozostałych zało˙zeń teorii. Nie ma potrzeby dodawać, jakie ma to konsekwencje dla cało´sci teorii. Z drugiej strony interesuj ˛ace wydaje si˛e rozpatrzenie przypadku ogólniejszego, w którym ka˙zda wielko´sć mogłaby posiadać wi˛ecej ni˙z jeden zbiór wielko´sci dla niej istotnych.

3