Elipsy paralaktyczna i aberracyjna

(1)

Astronomia sferyczna

Wykład 7: WSPÓŁRZ ˛EDNE HELIO- i BARYCENTRYCZNE

Tadeusz Jan Jopek

Instytut Obserwatorium Astronomiczne, Wydział Fizyki UAM

Semestr II

(Uaktualniono 2015.04.14)

Wprowadzenie Pralaksa roczna Aberracja roczna Aberracja planetarna

Cz ˛e´s´c I

Paralaksa i aberracje

1 Wprowadzenie

Poprawki paralaktyczna i aberracyjna

2 Pralaksa roczna Paralaksa roczna

3 Aberracja roczna Aberracja roczna

4 Aberracja planetarna

Aberracja roczna a aberracja planetarna Aberracja planetarna

Poło˙zenia gwiazd wyznaczone z obserwacji wykonanych z powierzchni orbituj ˛acej wokół Sło ´nca Ziemi, wykazuj ˛a cykliczne zmiany. Zmiany te s ˛a zło˙zeniem dwóch zjawisk: paralaksy i aberracji rocznej.

Paralaksa roczna gwiazd jest niewielkim k ˛atem, zawsze mniejszym od 1⁰⁰, który zale˙zy od odległo´sci gwiazdy od obserwatora. Z tego powodu paralaksa ma fundamentalne znaczenie w wyznaczaniu odległo´sci do gwiazd.

Metoda paralaksy trygonometrycznej wyznaczania odległo´sci jest podstawow ˛a w astronomii, słu˙z ˛ac ˛a do kalibrowania innych sposobów okre´slania odległo´sci do ciał niebieskich.

Aberracja roczna, równie˙z wywołana ruchem orbitalnym obserwatora, powoduje zmiany współrz ˛ednych gwiazd niezale˙znie od ich oddalenia od obserwatora. S ˛a to zmiany du˙ze dochodz ˛ace do około 20⁰⁰.

W przypadku gwiazd aberracja roczna to jedyna poprwwka aberracyjna.

Inaczej ma si ˛e sprawa dla ciał z Układu Słonecznego. Tutaj pełna poprawka aberracyjna nazywana aberracj ˛a planetarn ˛a dodatkowo obejmuje wpływ czasu propagacji ´swiatła od obiektu do obserwatora.

Paralaksa roczna (1)

00 11

0 1

00 11

X

r’

C R r

p

Z

Paralaksa to rezultat jednoczesnej obserwacji tego samego obiektu przez obserwatorów jednego w miejscu Z i drugiero w miejscu C.

Paraleksa p jest k ˛atem o jaki trzeba zmieni´c obserwacj ˛e wykonan ˛a w miejscu Z tak aby była równa obserwacji wykonanej w miejscu C, i odwrotnie.

Mówimy wi ˛ec o transformacji współrz ˛ednych ciał z miejsca Z geocentrycznego, do miejsca C heliocentrycznego (barycentrycznego). Ma ona posta´c:

r = r⁰+R (1)

Wielko´s´c k ˛ata paralaksy p zale˙zy od odległo´sci do danego obiektu r oraz od odległo´sci R mi ˛edzy Z i C, miejscami jednoczesnych obserwacji.

Paralaksa roczna (2a)

00 11

0 1

00 11

X

r’

C R r

p

Z

Z trójk ˛ata CZX (X oznacza gwiazd ˛e) z twierdzenia sinusów wynika

sin p =R

r sin Z (2)

gdzie k ˛at Z jest elongacj ˛a gwiazdy (k ˛at CZX ).

K ˛at p zmienia si ˛e wraz ze zmianami poło˙zenia Ziemi na orbicie. St ˛ad potrzeba nam standaryzacji i jest ni ˛a tzw.paralaksa roczna gwiazdy — k ˛at π, definiowany za pomoc ˛a

sin π =1

r (3)

przy czym odległo´s´c r jest tu podana w jednostkach astronomicznych.

Zatem, paralaksa π odpowiada warunkom, w których R = 1 [JA], Z = 90^◦.

Paralaksa roczna (2b)

W ci ˛agu roku, w efekcie zjawiska paralaksy gwiazda opisuje na sferze elips ˛e o półosi wielkiej w przybli˙zeniu równej k ˛atowi paralaksy rocznej π.

Paralaksy roczne gwiazd s ˛a bardzo małe, nie znamy ani jednego przypadku gwiazdy z paralaks ˛a π wi ˛eksz ˛a od 1⁰⁰dlatego, na podstawie równania (3), przy zachowaniu du˙zej dokładno´sci, odległo´s´c gwiazdy mo˙ze by´c okre´slona formuł ˛a

r = π⁻¹ (4)

gdzie r wyra˙zone jest w parsekach a paralaksa w sekundach łuku.

Parsekjest to odległo´s´c odpowiadaj ˛aca paralaksie π = 1⁰⁰. Gdyby w formule (4) paralaksa π była wyra˙zona w radianach, wówczas odległo´s´c r byłaby w jednostkach astronomicznych.

Zachodz ˛a nast ˛epuj ˛ace zwi ˛azki

1 prc = 206265 [JA]

1 prc = 3.2616 [lat swietlnych]

1 prc = 3.0857 · 10¹³ [km]

(5)

(2)

Wobec bardzo małych warto´sci paralaksy istnieje mo˙zliwo´s´c przybli˙zenia zale˙zno´sci (1). Niechs i s⁰b ˛ed ˛a wersorami wektorówr i r’, mamy wi ˛ec

rs − r⁰s⁰=R

Mno˙z ˛ac to równanie dwukrotnie wektorowo przezs, stosuj ˛ac prawa iloczynu wektorowego b ˛edziemy mieli

s × s × (r s) − s × s × (r s⁰) =s × s × R

−((s · s⁰)s − (s · s)s⁰) =r⁻¹(s × (s × R)) Kład ˛acs · s⁰≈ 1, uwzgl ˛edniaj ˛ac (4) dostaniemy

s⁰− s = π · (s × (s × R)) a po ponownym wykorzystaniu twierdze ´n iloczynu wektorowego

ds = π((s · R) s − R) (6)

Sferyczn ˛a wersj ˛e równania (6) uzyskamy kład ˛ac zaR, s, d s ich składowe:

R = (X , Y , Z )

s = (cos α cos δ, sin α cos δ, sin δ)

ds = (− sin α cos δ d α−cos α sin δ d δ, cos α cos δ d α−sin α sin δ d δ, cos δ d δ) Składowe równania wektorowego (6) maj ˛a zatem posta´c

− sin α cos δ d α − cos α sin δ d δ = π((s · R) cos α cos δ − X ), cos α cos δ d α − sin α sin δ d δ = π((s · R) sin α cos δ − Y ),

cos δ d δ = π((s · R) sin δ − Z ) Z równa ´n tych dostaniemy, dla π w sekundach łuku

d α = π

15sec δ(X sin α − Y cos α),

d δ = π(X cos α sin δ + Y sin α sin δ − Z cos δ) (7) d α b ˛edzie w sekundach czasowych a d δ w sekundach łuku.

Aberracja roczna (1)

Podamy wzory na klasyczn ˛a, uproszczon ˛a poprawk˛e aberracyjn ˛a pierwszego rz ˛edu. Szybko´s´c orbitalna Ziemi wynosi ∼ 30 km/s co stanowi 10⁻⁴ szybko´sci ´swiatła.

Oznacza to, ˙ze aberracyjne przemieszczenie b ˛edzie rz ˛edu 10⁻⁴radianów, co odpowiada około 20⁰⁰łuku. Dlatego efekty drugiego rz ˛edu (s ˛a one na poziomie 10⁻⁸radianów) nie zawsze s ˛a zaniedbywalne, szczególnie w precyzyjnych pracach astrometrycznych.

Jednak udokładnianie klasycznego podej´scia mija si ˛e z celem, gdy˙z efekty relatywistyczne s ˛a tego samego rz ˛edu co drugi wyraz rozwini ˛ecia klasycznego.

s*

0000 1111

00 00 11 11

0000 1111

X

C R p

Z r’

r

r⁰okre´sla poło˙zenie gwiazdy X wzgl ˛edem nieruchomego obserwatora w punkcie Z . Poło˙zenie wyznaczone przez poruszajacego si ˛e obserwatora Z wskazuje wersors^∗. Stosuj ˛ac wzór pierwszego rz ˛edu na przesuni ˛ecie aberracyjne (wykład 3), podstawiaj ˛ac w nim zaV pr ˛edko´s´c Ziemi ˙R, otrzymamy

ds = s^∗− s⁰= −1

cs⁰× (s⁰× ˙R) (8) Zmieniaj ˛acs⁰przez jego barycentryczny odpowiedniks, nie poniesiemy istotnego uszczerbku na precyzji poprawki. Po wykorzystaniu to˙zsamo´sci wektorowych otrzymamy

ds =1

c( ˙R − ( ˙R · s)s) (9)

Poprawka paralaktyczna (6) ró˙zni si ˛e od poprawki aberracyjnej (9) tym, ˙ze wektorR poło˙zenia obserwatora zast ˛apiono jego pochodn ˛a ˙R, a paralaks ˛e π przez 1/c.

Dlatego po dokonaniu w równaniach (7) stosownych zmian mo˙zemy aberacyjny przyrost ds wyrazi´c we współrz ˛ednych sferycnych α, δ w postaci

d α = c⁻¹sec δ( ˙Y cos α − ˙X sin α)

d δ = c⁻¹( ˙Z cos δ − ˙X cos α sin δ − ˙Y sin α sin δ) (10) W równaniu (10) szybko´sć ´swiatła c i składowe ˙R musz ˛a być wyra˙zone w identycznych jednostkach. W systemie stałych astronomicznych szybko´sć podawana jest w JA/doba. W tych jednostkach

c = 173.14 [JA/doba] (11)

Aberracja roczna a aberracja planetarna (1)

Dot ˛ad milcz ˛aco zakładali´smy, ˙ze ´zródło promieniowania jest nieruchome wzgl ˛edem barycentrum C Układu Słonecznego. Co nie jest prawd ˛a. Ruch własny gwiazd jest czym´s bardzo powszechnym.

A zatem poprawienie obserwowanego poło˙zenia gwiazdy na paralaks ˛e i aberracj ˛e roczn ˛a metod ˛a dopiero co opisan ˛a, nie daje geometrycznej barycentrycznej pozycji na moment obserwacji powiedzmy t. Opisana tutaj redukcja daje poło˙zenie jakie gwiazda zajmowała o interwał τ wcze´sniej.

Czas τ jest czasem propagacji ´swiatła pomi ˛edzy gwiazd ˛a i obserwatorem.

W celu otrzymania geometrycznego poło˙zenia na moment t, musimy do obliczonej podan ˛a wy˙zej metod ˛a pozycji doda´c rezultat iloczynu

τ · ruch wasny

Poprawka ta nazywana jestaberracj ˛a wiekow ˛a. Ze wzgl ˛edu na du˙ze niepewno´sci w pomiarach odległo´sci gwiazd, tym samym i du˙ze niepewno´sci w τ w praktyce poprawka ta nie jest brana pod uwag ˛e.

St ˛ad, przyczynek od aberracji wiekowej tkwi w tym co rozumiemy pod poj ˛eciem barycentryczne poło˙zenie gwiazdy.

Aberracja roczna a aberracja planetarna (2)

Poprawka czasu propagacji ´swiatła nie mo˙ze by´c ignorowana w przypadku obiektów wewn ˛atrz Układu Słonecznego. Dla tych ciał mówimy o tzw.

aberracji planetarnej, rozumiej ˛ac przez to ł ˛aczny efekt zmiany geocentrycznego poło˙zenia obiektu, powodowany zarówno niezerow ˛a pr ˛edko´sci ˛a obserwatora jak i samego obiektu.

Mamy wówczas pełn ˛a poprawk˛e od miejsca widomego do geometrycznego.

Poprawka zaaberracj ˛e roczn ˛auwzgl ˛ednia jedynie zmiany poło˙zenia ciał wywołane ruchem ´srodka Ziemi wzgl ˛edem barycentrum Układu Słonecznego.

Aberracja planetarna (1)

0000 1111

0 1 00 11

00 11

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

G r

P P’

s s’

R s*

ρ ρ’

R . r . τ

Z

Obserwacji planety dokonano w momencie t.

Punkty G, Z , P s ˛a poło˙zeniami barycentrum US, ´srodka Ziemi i planety, wszystkie poło˙zenia w momencie t.

r i R s ˛a barycentrycznymi wektorami poło˙ze ´n planety i Ziemi. Wektor ρs daje geometryczny kierunek do planety w momencie t. Mamy, ˙ze

r = ρs + R (12)

Ale obserwowany kwant promieniowania nie został wyemitowany w miejscu P lecz w miejscu P⁰, w którym planeta znajdowała si ˛e w momencie (t − τ ). Niech ~ZP⁰= ρs⁰. s⁰okre´sla kierunek do planety poprawiony jedynie na aberracj ˛e roczn ˛a. St ˛ad z równania (8), aberracja roczna wynosi tu

ds⁰=s^∗− s⁰= −c⁻¹s × (s × ˙R) (13) gdzies⁰zast ˛apiono po prawej stronie przezs.

(3)

0000 1111

0 1 00 11

00 11

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

G r

P P’

s s’

R s*

ρ ρ’

R . r. τ

Z

Dołó˙zmy teraz ruch planety z P⁰do P w czasie τ . Je˙zeli pominiemy przyspieszenie planety to mo˙zemy poło˙zy´c, ˙ze wektor P~⁰P = τ ˙r, czyli

ρ⁰s⁰= ρs − τ ˙r (14) Mno˙z ˛ac (14) dwukrotnie przezs, korzystaj ˛ac z to˙zsamo´sci rachunku wektorowego, otrzymamy

(s · s⁰)s − s⁰= −τ ρ⁰s × (s × ˙r) Skoro ρ⁰=cτ , orazs · s⁰≈ 1, to z dokładno´sci ˛a do rz ˛edu pierwszego, poprawka na czas propagacji ma posta´c

s⁰− s = c⁻¹s × (s × ˙r) (15)

Równania (13) i (15) s ˛a do siebie podobne, ł ˛acz ˛ac je dostaniemy poprawk˛e na aberracj ˛e planetarn ˛a w postaci

s^∗− s = c⁻¹s × [s × (˙r − ˙R)] (16) Zatem zmiana poło˙zenia planety na skutek aberracji planetarnej zale˙zy tylko od wzgl ˛ednej pr ˛edko´sci Ziemi i planety.

Ró˙zniczkuj ˛ac równanie (12) otrzymamy

˙r − ˙R = ˙ρs + ρ ˙s

Podstawiaj ˛ac praw ˛a stron ˛e do równania (16), zauwa˙zaj ˛ac, ˙zes · ˙s = 0, kład ˛ac ρ ≈ ρ⁰=cτ otrzymamy wyj ˛atkowo prosty wzór

s^∗=s − τ ˙s (17)

Poprawka (17) naaberracj ˛e planetarn ˛ajest łatwiejsza do obliczenia ni˙z wyliczenie ka˙zdej z jej składowych z osobna.

Podsumowanie (1)

Podsumowuj ˛ac, widome miejsce naprzykład planety obliczamy nast ˛epuj ˛aco:

w kroku pierwszym obliczamy jej geocentryczn ˛a efemeryd ˛e, tzn.

współrz ˛edne (α, δ) oraz odległo´s´c ρ.

B ˛ed ˛a to współrz ˛edne odpowiadaj ˛ace wersorowis w momencie t.

Za pomoc ˛a ρ z wystarczaj ˛ac ˛a dokładno´sci ˛a obliczamy czas propagacji τ = ρ/c.

Wyliczamy współrz ˛edne widome (α^∗, δ^∗), w tym celu korzystamy z formuł

α^∗= α − τd α dt δ^∗= δ − τd δ

dt (18)

Pochodne rektascensji i deklinacji znajdziemy numerycznie w oparciu o efemeryd ˛e planety.

Podsumowanie (2)

Problem odwrotny, wyznaczenie barycentrycznego miejsca nieznanego obiektu z jego miejsca widomego jest bardziej zło˙zony. Musi on obejmowa´c wyznaczenie orbity obiektu.

W tym celu równanie (17) trzeba zmodyfikowa´c, mianowicie

s = s^∗+ τ ˙s (19)

Główna trudno´s´c polega na tym, ˙ze czas propagacji τ nie jest znany a priori.

St ˛ad, zanim b ˛edzie mo˙zna obliczyć poprawki z tytułu aberracji planetarnej, trzeba dokonać pewnych oszacowa ń.

W tym celu bierzemy współrz ˛edne widome takimi jakimi s ˛a i antydatujemy momenty ich obserwacji o pewien interwał τ , po czym z co najmniej trzech obserwacji wyznaczamy orbit ˛e wst ˛epn ˛a ciała.

Nast ˛epnie w oparciu o znan ˛a ju˙z orbit ˛e obliczamy odległo´s´c geocentryczn ˛a ρ i now ˛a lepsz ˛a warto´s´c τ .

Porces powtarzamy a˙z do uzyskania zbie˙zno´sci rozwi ˛azania na τ .

Elipsy paralaktyczna i aberracyjna Człony E - aberracji rocznej

Cz ˛e´s´c II

Elipsy paralaktyczna i aberracyjna

5 Elipsy paralaktyczna i aberracyjna Formuły przybli˙zone

6 Człony E - aberracji rocznej

Paralaksa, formuły przybli˙zone (1)

Równania (7) na przyrosty paralaktyczne d α i d δ maja posta´c

d α = π

15sec δ(X sin α − Y cos α), d δ = π(X cos α sin δ + Y sin α sin δ − Z cos δ) Przesuni ˛ecia paralaktyczne gwiazd nie przekraczaj ˛a 1⁰⁰. Dlatego w składowych (X , Y , Z ) mo˙zna ograniczy´c si ˛e do trzech cyfr znacz ˛acych bez powa˙znego uszczerbku w precyzji wyznaczanych d α, d δ.

Dla wi ˛ekszo´sci gwiazd barycentrum US mo˙zna uto˙zsamić ze ´srodkiem masy Sło ńca. Zatem w celu obliczenia składowych X , Y , Z poło˙zenia Ziemi mo˙zemy wykorzystać uproszczone formuły .

Mimo´sród orbity Ziemi wynosi około 1/60 i je´sli nie interesuj ˛a nas paralaksy mniejsze od 0.⁰⁰01 mo˙zna traktowa´c orbit ˛e Ziemi jako kołow ˛a.

Nast ˛epny krok polega na zastosowaniu współrz ˛ednych ekliptycznych zamiast równikowych. Skoro λ i β = 0 s ˛a współrz ˛ednymi Sło ´nca, to

R = (X , Y , Z ) = (− cos λ, − sin λ, 0) (20)

0 1

00

G11

G’

x y β λ

Kład ˛ac (X , Y , Z ) = (− cos λ, − sin λ, 0) do (7), zast ˛epuj ˛ac (α, δ) przez (λ, β), przybli˙zone zmiany d λ, d β spowodowane paralaks ˛a wynios ˛a

d λ = −π sec β sin(λ − λ) d β = −π sin β cos(λ − λ) (21) Niech XGY oznacza układ współrzednych o pocz ˛atku w gwie´zdzie G obserwowanej ze ´srodka Sło ´nca.

x i y s ˛a składowymi przesuni ˛ecia paralaktycznego gwiazdy G⁰obserwowanej z Ziemi.

x = −d λ cos β

y = d β (22)

K ˛at (λ − λ) przebiega w ci ˛agu roku warto´sci [0, 360^◦].

(4)

0 1

00

G11

G’

x y β λ

Eliminuj ˛ac (λ − λ) z (21), korzystaj ˛ac z (22) otrzymamy równanie ´sladu zakre´slonego na sferze przez gwiazd ˛e G⁰, obserwowan ˛a ze ´srodka Ziemi.

x² π²+ y²

π²sin²β=1 (23) Jest toelipsa paralaktycznao półosi wielkiej π, półosi małej π sin β.

Dla gwiazdy o szeroko´sci ekliptycznej β = 90^◦ elipsa przchodzi w okr ˛ag. W miar ˛e malenia szeroko´sci elipsa ulega spłaszczeniu, by dla β = 0 przybra´c posta´c zdegenerowan ˛a — odcinka.

Rozmiary elips paralaktycznych zale˙z ˛a od odległo´sci gwiazd. Dla gwiazd bliskich Sło ´nca elipsy s ˛a wi ˛eksze.

Aberracja, formuły przybli˙zone (1)

Niskiej precyzji formuły na aberracj ˛e roczn ˛a otrzymamy w podoby sposób ograniczaj ˛ac si ˛e do heliocentrycznej orbity Ziemi. Eliptyczno´s´c orbity uwzglednimy przez podstawienie

R = V˙ 0+V1 (24)

V0to składowa poprzeczna o stałej długo´sci,V1to składowa równoległa do półosi małej orbity Ziemi. Z teorii ruchu orbitalnego mamy

V0=V0(sin λ, − cos λ, 0)

V1=eV1(−sin(Ω + ω), cos(Ω + ω), 0) (25)

V0= k²(1 + m) a(1 − e²)

1/2

; V1=eV0

e — mimo´sród, a — póło´s wielka, Ω — długo´s´c w ˛ezła wst ˛epuj ˛acego, ω — argument perihelium, k — stała grawitacji Gaussa, m — masa Ziemi.

Przyczynki aberacyjne od obu pr ˛edko´sciV0iV1mo˙zna rozpatrywa´c osobno.

Kład ˛ac składowe wektoraV₀do równa ´n (10), czyli do d α = c⁻¹sec δ( ˙Y cos α − ˙X sin α)

d δ = c⁻¹( ˙Z cos δ − ˙X cos α sin δ − ˙Y sin α sin δ)

po zamianie (α, δ) na (λ, β) dostaniemy uproszczone formuły na aberracyjne zmiany współrz ˛ednych gwiazdy

d λ = κ sec β cos(λ − λ)

d β = κ sin β sin(λ − λ) (26)

gdzie κ tzw. stała aberracji jest bezwymiarowym stosunkiem V₀/c, c — pr ˛edko´s´c swiatła w pró˙zni. Zgodnie z teori ˛a ruchu orbitalnego Ziemi mamy

κ =k c

1 + m a(1 − e)²

1/2

(27)

k ... patrz wzór (25). κ nie jest stał ˛a absolutn ˛a bowiem e, a nieco si ˛e zmieniaj ˛a. W systemie stałych MUA z roku 1976, na epok˛e J2000 κ wynosi

κ =20.⁰⁰49552 (28)

0 1

00

G11

G’

x y β λ

Eliminuj ˛ac w formułach

d λ = −κ sec β cos(λ − λ) d β = κ sin β sin(λ − λ) k ˛at λ − λ oraz wykorzystuj ˛ac zwiazki (22) otrzymamy równanie ´sladu zakre´slonego na sferze przez gwiazd ˛e G⁰obserwowan ˛a ze ´srodka Ziemi:

x² κ²+ y²

κ²sin²β=1 (29) Jest toelipsa aberracyjnao półosi wielkiej κ, półosi małej κ sin β.

Dla gwiazdy o szeroko´sci ekliptycznej β = 90^◦elipsa przchodzi w okr ˛ag. W miar ˛e malenia szeroko´sci elipsa ulega spłaszczeniu, by dla β = 0 przybra´c posta´c zdegenerowan ˛a — odcinka.

Rozmiary elips aberracyjnych NIE zale˙z ˛a od odległo´sci gwiazd.

Elipsy paralaktyczna i aberracyjna — porównanie

0 1

00

G11

G’

x y β λ

Porównajmy wzory (21) i (26), podane poni˙zej d λ = −π sec β sin(λ − λ) d β = −π sin β cos(λ − λ) d λ = −κ sec β cos(λ − λ) d β = κ sin β sin(λ − λ)

Gdy λ = λ, przesuni˛ecie paralaktyczne wynosi dλ = 0, dβ = −π sin β.

Przesuni ˛ecie aberacyjne d λ = −κ, d β = 0.

3 miesi ˛ace pó´zniej λ = λ − 90^◦przesuni ˛ecie paralaktyczne wynosi d λ = π, d β = 0, a przesuni ˛ecie aberacyjne d λ = 0, d β = −κ sin β.

Pomiedzy zmianami paralaktycznymi i aberracyjnymi mamy przesuni ˛ecie w fazie o 90^◦ze wzgl ˛edu na poło˙zenie Sło ´nca.

Przesuni ˛ecie aberracyjne od pr ˛edko´sciV1otrzymać mo˙zna podobnie, wstawiaj ˛ac jej składowe do równa ń (10). Zmiany współrz ˛ednych ekliptycznych maj ˛a postać

d λ = κe sec β cos(˜ω − λ)

d β = κe sin β sin(˜ω − λ) (30)

Warto´sci te znane s ˛a jako tzw.człony Eaberracji rocznej. S ˛a one niezale˙zne od długo´sci Sło ´nca λ zatem nie wykazuj ˛a zmian rocznych.

Przesuni ˛ecia aberracyjne (30) maj ˛a amplitud ˛e κe = 0.⁰⁰343, ale dla danej gwiazdy powoduj ˛a przesuni ˛ecie całej elipsy aberracyjnej o stał ˛a wielko´s´c.

Człony E , nie s ˛a jednak stałymi absolutnymi bowiem dla danej pary (λ, β), wykazuj ˛a pewne zmiany wiekowe.

Dygresja. Człony E.

Do roku 1960 przesuni ˛ecie aberracyjne obliczano zgodnie z tym co powidziano wy˙zej, bowiem nie odró˙zniano barycentrum od ´srodka Sło ´nca a wpływy odV0iV1wyznaczano osobno.

W widomych miejscach gwiazd nie uwzgl ˛edniano poprawek danych wzorami (30). Poprawki te zwane członami E , tkwiły w tzw. heliocentrycznych poło˙zeniach gwiazd.

Podej´scie to praktykowano zarówno w katalogach gwiazd jak i w rocznikach astronomicznych. W katalogach miejsca ´srednie gwiazd zawierały człony E . Roczniki podawały współczynniki dla transformacji od miejsca widomego do

´sredniego ignoruj ˛ac człon E . Uwzgl ˛edniano jedynie formuł ˛e (26).

W 1976 roku MUA wydała zalecenie by w miejscach ´srednich nie pozostawia´c aberracyjnych członów E . Zadecydowano te˙z, ˙ze aberracja roczna b ˛edzie obliczania ´sci´sle, w oparciu o pr ˛edko´s´c Ziemi wzgl ˛edem barycentrum Układu Słonecznego.

Od roku 1984 Astronomical Almanac podaje współczynniki aberracyjne obliczone wła´snie w taki sposób.

Paralaksa a system kopernika ´nski

Cz ˛e´s´c III

Paralaksa a system kopernika ´nski

(5)

7 Paralaksa a system kopernika ´nski Dzieło Kopernika

Poszukiwania paralaksy gwiazd Upolitycznienie problemu Odkrycie aberracji gwiazd Odkrycie paralaksy

Przybli˙zony opis paralaksy i aberracji rocznej w ekliptycznym układzie współrz ˛ednych pozwala, dla ka˙zdej gwiazdy, na wyprowadzenie równa ´n elips paralaktycznych i aberracyjnych, czyli trajektorii po których, na skutek omawianych zjawisk, w ci ˛agu roku przemieszcza si ˛e obserwowane ze ´srodka Ziemi poło˙zenie gwiazdy.

Obie elipsy ró˙zni ˛a si ˛e rozmiarami, a dodatkowo ruch po elipsie paralaktycznej i ruch po elipsie aberracyjnej s ˛a wzgl ˛edem siebie przesuni ˛ete w fazie o 90^◦. Od momentu opublikowania “O obrotach sfer niebieskich” Mikołaja Kopernika, obserwacja paralaksy, obserwacja elipsy paralaktycznej gwiazdy stanowiła tzw. krzy˙zowe do´swiadczenie je´sli chodzi o prawdziwo´s´c hipotezy Kopernika.

Dzieło Kopernika, AD 1543

Z przedmowy — “ ... ruchy i zjawiska...

planet i ich sfer da si ˛e wyja´sni´c, je˙zeli si ˛e je odniesie do ruchów Ziemi. I nie w ˛atpi ˛e,

˙ze utalentowani i uczeni matematycy zgodz ˛a si ˛e zupełnie ze mn ˛a, pod warunkiem, ˙ze dopełni ˛a tego, czego przede wszystkim wymaga ta nauka, tj.

zechc ˛a nie powierzchownie, ale do gł ˛ebi poznać i przemy´sleć to wszystko, co ja na dowód mych twierdze ń w tym dziele podaj ˛e. ...”

Dzieło Kopernika dedykowane papie˙zowi Pawłowi III, wzbudziło zainteresowanie hierarchów Ko´scioła.

Protestanci Luter i jego bliski współpracownik Melanchton odrzucili je natychmiast.

Poszukiwania paralaksy — Tycho Brahe 1546–1601

Dowodem poprawno´sci i wy˙zszo´sci modelu Kopernika nad systemem geocentrycznym byłaby obserwacja paralaksy rocznej gwiazdy — naturalnej konsekwencji modelu Kopernika.

Usiłowania wielu wytrawnych

obserwatorów jak Tycho Brahego ko ´nczyły si ˛e niepowodzeniem.

Precyzja obserwacji Brahego wynosiła 15⁰⁰-35⁰⁰. Zatem Brahe nie mógł zmierzy´c paralaksy rocznej gwiazd.

Wobec niepowodzenia Tycho Brahe zachował rezerw ˛e w stosunku do modelu Kopernika. Zaproponował swój własny model układu planetarnego z centralnie poło˙zon ˛a nieruchom ˛a Ziemi ˛a, Sło ´ncem obiegaj ˛acym Ziemi ˛e ale z planetami obiegaj ˛acymi Sło ´nce.

Poszukiwania paralaksy — Galileo Galilei 1546 – 1642

Galileusz był zwolennikiem modelu Kopernika. Propagował go tak energicznie, ˙ze popadł w konflikt z ówczesnymi czynnikami politycznymi.

Dlatego stan ˛ał przed s ˛adem, w skład którego wchodzili naukowcy zajmuj ˛acy si ˛e t ˛a sam ˛a dziedzin ˛a nauki co Galileusz.

Galileusz nie potrafił poda´c dowodu na rzecz systemu kopernika ´nskiego, dlatego zmuszono go do odwołania

propagowanych stwierdze ´n.

Współczesny filozof Paul Feyerabend w ksi ˛a˙zce “Przeciw metodzie” twierdzi

— “Proces Galileusza był jednym z wielu procesów s ˛adowych. Nie wyró˙zniał si ˛e ˙zadnymi szczególnymi wła´sciwo´sciami, by´c mo˙ze z wyj ˛atkiem tego, ˙ze Galileusza potraktowano do´s´c łagodnie, pomimo kłamstw i prób oszustwa z jego strony”.

Poszukiwania paralaksy — James Bradley 1693–1762

James Bradley pomiarów poło˙ze ´n gwiazd dokonywał z precyzj ˛a 1⁰⁰.

Poszukuj ˛ac paralaksy, w roku 1728 odkrył zjawisko aberracji rocznej gwiazd a nieco pó´zniej zjawisko nutacji ziemskiej osi obrotu.

Bradley stwierdził cykliczne zmiany pozycji gwiazdy, jednak ich roczny rozkład nie zgadzał sie z tym jakiego spodziewano si ˛e w wyniku zmian paralaktycznych. Cykliczno´s´c była przesuni ˛eta w fazie o 3 miesi ˛ace (90^◦).

Bradley poprawnie zinterpretował zaobserwowane zjawisko, zwane dzisiaj aberacj ˛e rocz ˛a, jako powodowane ruchem orbitalnym Ziemi. Tym samym udowodnił poprawno´s´c systemu kopernika ´nskiego na długo przed pierwszym pomiarem paralaksy rocznej gwiazdy.

Pierwsze wyznaczenia paralaks gwiazd

Pierwsze paralaksy roczne gwiazd zmierzyli:

Friedrich W. Bessel w roku 1838, gwiazda 61 Cygni,

Thomas Henderson w roku 1839, gwiazda α Centari,

Friedrich G.W. Struve w rkou 1938, gwiazd α Lyrae.

W roku 1828 Ko´sciół (papie˙z Pius VII) zdj ˛ał z indeksu “O obrotach ...”, które wpisano na ´n w AD 1616.

Rysunek:Tajektoria barycentrum Układu Słonecznego wzgledem ´srodka Sło ´nca w latach 1945 to 1994.

[http://en.wikipedia.org/wiki/Barycentric_coordinates_%28astronomy%29]

Poczatek wykładu