Temat: Ćwiczenia w obliczaniu pola koła oraz pola wycinka koła.
Przypomnijmy:
Zad. 7.80/193 b) r=3, l=2π
Zastanówcie się, tak potocznie mówiąc „na chłopski rozum”, jak –patrząc na powyższy rysunek - policzyć pole odcinka koła? Od żółtego obszaru, który jest wycinkiem koła, należy odjąć pole żółtego trójkąta AOB !
Co mamy dane w zadaniu? r oraz l – długość łuku wycinka. Zerkając na wzory z pomarańczowej ramki zauważycie, że przecież wzór na długość łuku wycinka to my mamy. Zacznijmy więc od niego:
l=2 πr ∙ α
360
o uzupełniamy ten wzór o r=3 oraz l=2π2 π =2 π ∙3 ∙ α
360
o2 π =6 π ∙ α
360
o /∙ 360o
360o∙2 π=6 π ∙ α
720
oπ =6 πα
6 πα¿720oπ /: 6π
α α= 720° π
6 π
symbole π skracamy; dzielimy 720 przez 6α=120 °
mamy więc kąt środkowy wycinkaLiczymy więc pole wycinka koła oraz pole trójkąta AOB. Zacznijmy od pola wycinka:
P=π r
2∙ α
360
oP=π 3
2∙ 120°
360
o skracamy licznik i mianownik ułamka przez 120oP=π 9 ∙ 1
3
skracamy 9 oraz 3 przez trzy P=π 3P=3 π
Liczymy pole trójkąta AOB. Mamy dwa boki trójkąta ( ramiona mają długość r) oraz kąt zawarty między nimi, więc korzystamy ze wzoru:
P= 1
2 a ∙ b ∙ sinγ
P= 1
2 3 ∙3 ∙ sin 120 °
( zobacz w wyjaśnienie pod zadaniem)P= 1
2 ∙ 3 1 ∙ 3
1 ∙ √ 3
2
P= 9 √ 3
4
Obliczamy teraz pole ODCINKA KOŁA
P
odcinka koła=P
wycinka− P
∆ AOBP
odcinka koła=3 π − 9 √ 3
4
*** korzystając z poznanych wzorów redukcyjnych mamy:
sin1200=sin(900+300)=cos300=
√ 3
2
Zad. 7.83
W zadaniu dany mamy kąt WPISANY o mierze 45o. Jest on oparty na łuku l=3π. NA tym samym łuku oparty jest kąt ŚRODKOWY. Ma on miarę 90o, bo kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ma miarę dwa razy od niego większą.
Popatrzcie na wzory – pola wycinka i długości łuku wycinka. Jaki w nich jest kąt? KĄT ŚRODKOWY.
Więc my w zadaniu bierzemy pod uwagę kąt 90o.
Zbierzmy więc nasze dane z zadania: l=3π, α=90o. Patrząc na wzory z pomarańczowej ramki, do którego z nich mamy najwięcej danych? Do wzoru na długość łuku wycinka. Skorzystajmy z niego:
l=2 πr ∙ α
360
o3 π =2 πr ∙ 90°
360
o skracamy licznik i mianownik ułamka przez 90o3 π =2 πr ∙ 1
4
skracamy dwójkę oraz czwórkę przez dwa3 π =πr ∙ 1
2 1
2 πr =3 π
mnożymy równanie przez dwa żeby pozbyć się mianownikaπr =6 π
/:πr=6
Liczymy pole wycinka:
P=π r
2∙ α 360
oP=π 6
2∙ 90 °
360
o skracamy licznik i mianownik ułamka przez 90oP=π 36 ∙ 1
4
skracamy 36 oraz 4 przez cztery P=π 9P=9 π
Praca domowa:
Zad 7.85 wskazówka:
Interesuje nas pole zielonego obszaru . - Oblicz pole całego koła;
- oblicz pole jednego odcinka koła (wyznacz kąt AOC; oblicz pole wycinka koła o takim kącie; oblicz pole trójkąta o takim kącie; od pola wycinka odejmij pole trójkąta)
- od pola koła odejmij dwa odcinki koła)
