Równania i nierówności wykładnicze
1. Cele lekcji
a. Wiadomości
Znajomość definicji równania wykładniczego i nierówności wykładniczej.
Znajomość twierdzeń dotyczących równań i nierówności.
b. Umiejętności
- Analizowanie rozwiązanych przykładów.
- Rozwiązywanie nierówności wykładniczych.
- Kształtowanie spostrzegawczości.
- Rozumowanie przez analogię.
2. Metoda i forma pracy
W tracie lekcji nauczyciel wprowadza uczniów w temat (pogadanka) – przypomnienie wiadomości. Następnie uczniowie pracują w grupach (metoda aktywizująca) oraz samodzielnie (gra dydaktyczna).
3. Środki dydaktyczne
- podręczniki, zbiór zadań - zeszyt
- domino matematyczne
4. Przebieg lekcji
a. Faza przygotowawcza
Czynności organizacyjne (sprawdzenie obecności, sprawdzenie i omówienie pracy domowej). Nauczyciel przeprowadza pogadankę z uczniami, która ma na celu przypomnienie zdobytych wiadomości dotyczących równań i nierówności, przypomnienie pojęcia funkcji wykładniczej.
b. Faza realizacyjna
Podanie przez nauczyciela celu i tematu lekcji. Uczniowie rozwiązują na tablicy przykłady wybrane przez nauczyciela. Następnie nauczyciel dzieli klasę na grupy i prosi, by każda z grup wytypowała lidera, który będzie prezentował wyniki pracy.
Nauczyciel krótko zapoznaje uczniów z zasadami gry w domino matematyczne, po czym rozdaje zestawy domina grupom. Uczniowie w wyznaczonym limicie czasowym kolejno dokładają kartki do siebie, by pasowało rozwiązanie. Wszyscy uczniowie przez cały czas dokonują niezależnych obliczeń na kartkach, tak aby móc ocenić poprawność ruchów poszczególnych graczy. Nauczyciel rozstrzyga ewentualne spory.
Gra kończy się, gdy wszystkie części zostaną ułożone. Grupa uczniów, która pierwsza zakończy grę, prezentuje prawidłowo ułożone domino. Nauczyciel podejmuje
dyskusję na temat przykładów, które sprawiły uczniom najwięcej problemów.
Przykłady te zostają rozwiązane przez ochotników na tablicy i wpisane do zeszytów.
c. Faza podsumowująca
Uczniowie podsumowują lekcję, mówią, czego się nauczyli. Nauczyciel ocenia pracę uczniów, ich wypowiedzi, aktywność – słownie lub stopniem szkolnym – krótko uzasadniając ocenę. Podaje pracę domową obowiązkową i nadobowiązkową.
5. Bibliografia
Pawłowski H., Matematyka 2, wyd. OPERON. Gdynia 2004 r.
6. Załączniki
a. Podsumowanie wiadomości
t u tut t t
t t t
a a
b a b a
b a ab
u t u
t a a
a ut at u a
a
Dla a ≠ 1 at = au t = u
Funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie.
b. Przykłady równań do rozwiązania
(2
x)
x∙ (4
x)
x= 64
Równanie zawiera aż trzy wyrażenia wykładnicze należy więc, poprzez dzielenie, zmniejszyć liczbę wyrażeń wykładniczych do dwóch
2 2
6 3
2 2 2
64 4 2
2 2
6 2 2 2
2 2
x x x
x x
x x
3
2 8 8 6
3 3
247 3
9 27
3 9
0 3
9
2 8 ) 4 3 ( 2
3 2
2 8 4 3
2 8 4 3
x
x x
x x
x x x
x x
x x
- Pierwsze równanie - drugie równanie nie ma pierwiastków
0 2 3 2
3 0
x
x
Rozwiązując nierówności wykładnicze postępujemy podobnie, jak w przypadku równań.
Przykład: zadanie
Rozwiąż nierówności wykładnicze (2x+2)2 + 4 ∙ 2 x+3 – 48 < 0
Wprowadzamy zmienną pomocniczą z = 2x+2 i otrzymujemy z2 + 8 z – 48 < 0
ten trójmian zeruje się w punktach:
z1 = –12 z2 = 4
2 1 lub 3 2 2
3
1 2
0 2 2 3
0 2 2
3 2 3
4 6 2 3 4 9
4 2 6 4 9
) 4 ( : / 4 2 6 9
2 1
2 2
2 2
x x
x x x
x x
x x
x x
z z
z z z
czyli ostatnia nierówność zachodzi dla z takich, że –12 < z < 4
Wyjściowa nierówność jest równoważna podwójnej nierówności –12 < 2x+2 < 4
Skoro funkcja wykładnicza przyjmuje wartości dodatnie, warunek -12 < 2x+2 jest zawsze spełniony. Wystarczy więc ograniczyć się do rozwiązania nierówności 2x+2 < 4 = 22. Rozwiązaniem jest zbiór takich x, dla których x + 2 < 2, to znaczy x < 0
Odpowiedź: x < 0 Domino
START 27x 92x33x 243 2
1
x 22x 4x 5x0,5
x = - 0,5 x 1 2x
3 9 1
5
1
x
2 x 2 1 x 3
) 1 , 0
(
x 93x4 38x2 0
x = –3 STOP
c. Zadanie domowe
Zadanie z zeszytu ćwiczeń dla ucznia – wydawnictwo OPERON.
Nadobowiązkowe: zaprojektuj i wykonaj domino matematyczne
7. Czas trwania lekcji
45 minut.
8. Uwagi
Można zakończyć lekcję kilkuminutową, jednozadaniową kartkówką. Lekcja ta jest lekcją nr 5 w klasie drugiej.
