Wybrane rozwi ˛ azania - egz. TCiWdTD 7.02.2012
Zad. 1b. Poniewa˙z
(f 1 ∗ f 2 ) (t) = Z t
0
√ dτ τ √
t − τ =
¯ ¯
¯ ¯ τ = tr dτ = tdr
¯ ¯
¯ ¯ = Z 1 0
√ dr r √
1 − r = B µ 1
2 , 1 2
¶
= Γ 2 ¡ 1
2
¢ Γ (1) = π, wi ˛ec (f 1 ∗ f 2 ) 0 (t) = 0.
Zad. 2. Niech L {f (t)} = F (s). Wtedy Z ∞
s
F (σ) dσ = Z ∞
s
dσ Z +∞
0
e −σt f (t) dt = Z +∞
0
f (t) dt Z ∞
s
e −σt dσ = Z +∞
0
∙
− 1 t e −σt
¸ σ=∞
σ=s
f (t) dt =
= Z +∞
0
e −st f (t)
t dt = L
½ f (t) t
¾
(s) co dowodzi prawdziwo´sci wzoru a).
Poniewa˙z L {sin kt} (s) = s
2+k k
2, wi ˛ec z powy˙zszego wzoru wynika, ˙ze
L
½ sin kt t
¾ (s) =
Z ∞ s
k
σ 2 + k 2 dσ =
¯ ¯
¯ ¯ σ = kr dσ = kdr
¯ ¯
¯ ¯ = Z ∞
s k
dr
r 2 + 1 = arctg r | ∞
ks= π
2 − arctg s k . Podstawiaj ˛ ac s = 0 otrzymujemy, ˙ze
Z +∞
0
sin kt
t dt = L
½ sin kt t
¾
(0) = π 2 .
Zad. 3a. Z definicji transformaty Fouriera i wzoru na transformat ˛e odwrotn ˛ a wynika, ˙ze
F £ e it ¤
, ϕ ®
=
* e it ,
Z +∞
−∞
e −itτ ϕ (τ ) dτ +
= 2π · 1 2π
Z +∞
−∞
e it·1 dt Z +∞
−∞
e −itτ ϕ (τ ) dτ = 2πϕ (1) =
= h2πδ (ω − 1) , ϕi . Analogicznie łatwo pokaza´c, ˙ze
F £ e −it ¤
, ϕ ®
= h2πδ (ω + 1) , ϕi . Zatem F [cos t] = π [δ (ω − 1) + δ (ω + 1)].
Zad. 4a. Niech Z (x n ) (z) = F (z). Wtedy z 3
µ
F (z) − 1 z 2
¶
+ 3z 2 F (z) + 3zF (z) + F (z) = z z − 1 F (z) (z + 1) 3 = z 2
z − 1
F (z) = z 2
(z + 1) 3 (z − 1) .
Odwracaj ˛ ac transformat ˛e za pomoca tw. o residuach otrzymujemy x n = res
z=−1
z n+1
(z + 1) 3 (z − 1) + res
z=1
z n+1
(z + 1) 3 (z − 1) = ( −1) n 8
¡ 2n 2 − 1 ¢ + 1
8 .
Zad. 5a. Niech (x n ) b ˛edzie ci ˛ agiem dodatnich zer funkcji J 0 . Wtedy współczynniki szeregu Fouriera- Bessela wyra˙zaj ˛ a si ˛e wzorem
a n = 2
J 1 2 (x n ) Z 1
0
r ¡
1 + r 2 ¢
J 0 (x n r) dr =
¯ ¯
¯ ¯ x n r = t dr = x 1
n
