Dyskretna Transformata Fouriera Jeśli znamy wartości funkcji okresowej

Dyskretna Transformata Fouriera

Jeśli znamy wartości funkcji okresowej f w N równomiernie rozłożonych na odcinku [0, a) punktach, możemy wyznaczyć przybliżone współczynniki c_n szeregu Fouriera funkcji f . Mając zatem dane N punktów i wartości funkcji f w tych punktach: y_k = f (k_N^a), k = 0, 1, · · · , N − 1, wyznaczyć można N przybliżonych współczynników Fouriera:

c_n≈ 1 N

N −1

X

k=0

y_ke^−2iπnNk dla n = −N

2, · · · ,N 2 − 1.

Definicja Dyskretną trasformatą Fouriera (DFT) ciągu y₀, y₁, · · · , y_{N −1} nazywamy ciąg liczbowy Y₀, Y₁, · · · , Y_{N −1} dany wzorem:

Y_n= 1 N

N −1

X

k=0

y_kω_N^−nk dla n = 0, 1, · · · , N − 1, ω_N = e^2iπN1. Piszemy:

Y = (Y₀, Y₁, · · · , Y_{N −1}) = F_N((y₀, y₁, · · · , y_{N −1})).

Przybliżone współczynniki Fouriera mają zatem postać:

cn≈ c^N_n =







Y_n, gdy 0 ¬ n < ^N₂ Y_n+N, gdy − ^N₂ ¬ n < 0.

Transformata F_N : C^N → C^N jest odwracalnym przekształceniem liniowym. Odwzorowa- nie odwrotne dane jest wzorem:

y_k=

N −1

X

n=0

Y_nω_N^nk dla k = 0, 1, · · · , N − 1, ωN = e^2iπN1. F_N⁻¹ zadaje się macierzą:

Ω_N =



















1 1 1 ... 1

1 ω_N¹ ω²_N ... ω_N^{(N −1)} 1 ω_N² ω⁴_N ... ω_N^{2(N −1)} ... ... ... ... ... 1 ω^{(N −1)}_N ω_N^{2(N −1)} ... ω_N^{(N −1)2}



















Macierzą odwzorowania F_N jest natomiast Ω⁻¹_N = _N¹Ω_N.

Wyznaczenie ciągu (Y₀, Y₁, · · · , Y_{N −1}) przy użyciu DFT wymaga wykonania rzędu N²mno- żeń. Znacznie szybciej można go wyznaczyć korzystając z algorytmu FFT (Fast Fourier Transform). Koszt FFT jest rzędu N log N .